中考数学一轮复习专题15 相交线与平行线-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版）

这是一份中考数学一轮复习专题15 相交线与平行线-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版），文件包含中考数学一轮复习专题15相交线与平行线-知识点梳理讲义教师版doc、中考数学一轮复习专题15相交线与平行线-知识点梳理讲义原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1、复习线段、角有关的概念、性质及计算，并能应用于解决实际问题；
2、使学生认识平面内两条直线的位置关系，在研究平行线时，能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质。
一、线段
1．线段的性质
所有连接两点的线中，线段最短，即过两点有且只有一条直线．
2．同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有 平行， 相交 两种。垂直与相交的
的关系：垂直是特殊的相交。
3．垂线及其性质
垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短(简说成：垂线段最短)．
4．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
例1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠COE＝65°，则∠BOD为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义求得 SKIPIF 1 < 0 ；然后根据余角的定义可以推知 SKIPIF 1 < 0 ；最后由对顶角的性质可以求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （对顶角相等）．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
二、余角和补角：
1、余角：
定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。
性质：同角或等角的余角相等。
2、补角：
定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
性质：同角或等角的补角相等。
例2．如图，将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠ SKIPIF 1 < 0 ，则∠ SKIPIF 1 < 0 的大小是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质和互为余角的性质解答即可．
【详解】
解：如图示：
∴由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
三、对顶角
我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
例3．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A．75°B．80°C．100°D．120°
【答案】A
【分析】
根据对顶角相等可得：∠1=∠2=30°，从而得∠BOC=150°，进而即可求解．
【详解】
解：∵∠1+∠2=60°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ×150°=75°．
故选A．
四、同位角、内错角、同旁内角
直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
例4．下列各图中，∠ SKIPIF 1 < 0 与∠ SKIPIF 1 < 0 是一定相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据邻补角、同旁内角、对顶角的定义，分别进行判断即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
A、∠ SKIPIF 1 < 0 与∠ SKIPIF 1 < 0 是邻补角，不一定相等；
B、∠ SKIPIF 1 < 0 与∠ SKIPIF 1 < 0 是同旁内角，不一定相等；
C、∠ SKIPIF 1 < 0 与∠ SKIPIF 1 < 0 是任意的两个角，不一定相等；
D、∠ SKIPIF 1 < 0 与∠ SKIPIF 1 < 0 是对顶角，则∠ SKIPIF 1 < 0 =∠ SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D．
五、平行线的判定
1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
（3）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条线互相平行
例5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④垂线段最短．其中（ ）
A．①④是真命题B．①③是真命题
C．②③是真命题D．①②④是真命题
【答案】A
【分析】
根据垂线段，平行线的判定和性质判断即可；
【详解】
解：①同旁内角互补，两直线平行；该命题正确，②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；该命题不正确，应改为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；该命题不正确，应改为：两直线平行，同位角相等；④垂线段最短；该命题正确；
故选择：A
六、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
注意：已知平行用特征，探索平行用判定
例6．如图，已知直线a//b，c//b，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．45°
【答案】B
【分析】
根据平行线的传递性可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 a//b，c//b，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∠1=60°，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选B．
1．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．38°B．104°C．142°D．76°
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义，对顶角相等即可求得．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 射线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选D．
2．（2022·山东济宁学院附属中学）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ，将含有45°角的三角板 SKIPIF 1 < 0 的直角顶点C放在直线b上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A．25°B．20C．35D．30
【答案】A
【分析】
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【详解】
解：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
3．（2022·杭州市十三中教育集团（总校）九年级二模）小明从 SKIPIF 1 < 0 处出发沿北偏东50°方向行走至 SKIPIF 1 < 0 处，又从 SKIPIF 1 < 0 处沿南偏东70°方向行走至 SKIPIF 1 < 0 处，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【答案】B
【分析】
根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．
【详解】
解：如图：
∵小明从A处沿北偏东50°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，
∴∠DAB=50°，∠CBE=70°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE=∠DAB=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=50°+70°=120°．
故选B．
4．（2022·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，AB∥EF，FD平分∠EFC，若∠DFC＝50°，则∠ABC＝（ ）
A．50°B．60°C．100°D．120°
【答案】C
【分析】
先根据角平分线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由平行线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB∥EF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选C．
5．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【分析】
由已知条件 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由平角的性质可得 SKIPIF 1 < 0 代入计算即可得出答案．
【详解】
解：如图，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·全国九年级课时练习）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，过点 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 平行于半径 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的度数是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质和圆周角定理计算即可；
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选A．
7．（2022·杭州市采荷中学九年级二模）如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】25°
【分析】
直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF=60°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC=180°，
∵∠EFC=120°，
∴∠ABF=180°-∠EFC=60°，
∵∠A+∠E=∠ABF，∠E=35°，
∴∠A=25°．
故答案为：25°．
8．（2022·如皋市实验初中九年级期末）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________度．
【答案】55
【分析】
先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠1+∠ABC+∠2=180°，再根据BC⊥AB，∠1=35°，即可得出∠2的度数．
【详解】
∵直线a∥b，
∴∠1+∠ABC+∠2=180°，
又∵BC⊥AB，∠1=35°，
∴∠2=180°-90°-35°=55°，
故答案为：55
9．（2022·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直线上，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 异侧， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【分析】
（1）根据角角边求证 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）根据已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等边对等角可得结果．
【详解】
解：（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，当 SKIPIF 1 < 0 时，判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在直线 SKIPIF 1 < 0 上，并说明理由；
（2）如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为邻边的正方形的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，见解析；（2）18
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，可得线段 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，即可得解；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据平行线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据直角三角形的性质计算即可；
【详解】
解：（1）结论：点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴线段 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，即点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
（2）作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为邻边的正方形面积 SKIPIF 1 < 0 ．