中考数学一轮复习专题17 等腰、等边三角形-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版）

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2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；
3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；
4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；
一、等腰、等边三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角的2倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半

【答案】B.
【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=
90°-(180-∠A)= ∠A，
例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC= cm．
【答案】32;
【解析】
解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=30，DE=2，
∴DM=28，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=14，
∴BN=16，
∴BC=2BN=32，
故答案为32．
二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：
(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.
例3．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.

图1 图2
【答案】
(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°
又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；
(2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
∴=45°
∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
∠BAP=，∠ABP=
即∠BAP+∠ABP=45°
∴∠APB=180°-45°=135°
解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
∴=45°
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
∠DBC=，∠PAC=
∴∠DBC+∠PAD=45°
∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.
1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两棵树之间的坡面 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【详解】
解：如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 m，
∴AB=2BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 m，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
故选：C．
2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【分析】
依据旋转的性质可求得AB＝AB’，∠AB’C’的度数，依据等边对等角的性质可得到∠B＝∠BB’A，于是可得到∠CB’C’的度数．
【详解】
解：由旋转的性质可知：AB＝AB’，∠BAB’＝80°，
∴∠B＝∠AB’C’，
∵AB＝AB’，
∴∠B＝∠BB’A＝50°．
∴∠BB’C’＝50°＋50°＝100°．
∴∠CB’C’＝180°−100°＝80°，
故选：D．
3．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到的 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 的对应点是点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的对应点是点 SKIPIF 1 < 0 ），连接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
【详解】
解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选：C．
4．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）下列命题中是真命题的是（ ）
A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半
D．等边三角形是中心对称图形
【答案】A
【分析】
根据三角形中垂线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质和等边三角形的性质判断即可．
【详解】
解：A、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确；
B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，错误；
D、等边三角形是轴对称图形，错误；
故选：A．
5．（2022·全国九年级课时练习）如图，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴OA是∠BAC的平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为正三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选A．
6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝ SKIPIF 1 < 0 ；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】
①由“ASA”可证△BOH≌△COE，可得OE=OH；
②过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由“ASA”可证△QEF≌△PEC，可得EF=EC；
③由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4，由正方形的性质可求BP=PE= SKIPIF 1 < 0 ，可求BF的长；
④通过证明△BOH∽△BGE，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得BH•BG=BE•BO．
【详解】
解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴PC＝4﹣2 SKIPIF 1 < 0 ＝QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝2 SKIPIF 1 < 0 ﹣（4﹣2 SKIPIF 1 < 0 ）＝4 SKIPIF 1 < 0 ﹣4，故③正确；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，
故选：D．
7．（2022·全国九年级专题练习）如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________．
【答案】120°
【分析】
由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论．
【详解】
解：∵ △BPM∽△PAN，
∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN是等边三角形，
∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
故答案为：120°．
8．（2022·西宁市教育科学研究院中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，N是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中线，M是 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．
∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，N是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴AC=AB=6,AN= SKIPIF 1 < 0 AB=3, SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
即BM+MN的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为线段BC上的一点，连接AE．
（1）将线段AE绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段AF，点E的对应点是点F．请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：点F在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1)作∠DAT=∠EAB，在射线AT上截取AF，使得AE=AF即可；
（2)在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH. 证明ΔABH是等边三角形，证明B、H、F共线可得结论.
【详解】
（1）如图，线段AF即为所求；
（2)证明：在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAH=60°，
∵AH=AB，
∴ΔABH是等边三角形，
∴∠AHB=∠ABH=60°，
∴∠EAF=60°，
∴ ∠EAF=∠BAH，
∴ ∠FAH=∠EAB，
在ΔFAH和ΔEAB中，
SKIPIF 1 < 0
∴ΔFAH≌ΔEAB (SAS)，
∴∠AHF=∠ABE=120°，
∴∠AHF+∠AHB=180°，
∴B、H、F共线，
∵∠FBA=∠FBE=60°，
∴点F在∠ABC的角平分线上。
10．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）如图1，在Rt SKIPIF 1 < 0 ACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．
（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；
（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；
（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 ACH的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．解直角三角形求出CD，CE可得结论．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．想办法证明△ACF≌△EAJ（AAS），可得结论．
（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．易知AH＝ SKIPIF 1 < 0 AD，求出AD的最小值可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．
∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，
∴∠ACD＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝2，
∵AC＝BC＝6，
∴BD＝ SKIPIF 1 < 0 ，CD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，
∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，
∴EH＝BH，
设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，
∴3m＝6，
∴m＝2，
∴EH＝2，CH＝4，
∴EC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DE＝CD﹣CE＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．
∵EJ＝EG，
∴∠EJG＝∠EGJ，
∵∠CFG＝EGJ，
∴∠CFG＝∠EJG，
∴∠AFC＝∠AJE，
∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，
∴∠ACT＝∠CBD，
∵AC＝BC，
∴△ATC≌△CDB（AAS），
∴CT＝BD，
∵EC＝2BD，
∴CT＝ET，
∵AT⊥EC，
∴AC＝AE，
∴∠ACT＝∠AEC，
∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，
∵FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠ACF＝∠EAJ，
∴△ACF≌△EAJ（AAS），
∴AF＝EJ＝EG．
（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．
∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，
∴AT＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵CD⊥BD，
∴∠CDB＝90°，
∴DT＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝3，
∴AD≥AT﹣DT，
∴AD≥3 SKIPIF 1 < 0 ﹣3，
∴AD的最小值为3 SKIPIF 1 < 0 ﹣3，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴DH＝EH，
∴AH＝ SKIPIF 1 < 0 DE＝ SKIPIF 1 < 0 AD，
∴AH的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．
∵DQ∥CT，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，AQ＝ SKIPIF 1 < 0
由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，
∴PJ＝JQ，
∴JH＝ SKIPIF 1 < 0 （PE+DQ）＝ SKIPIF 1 < 0
∴△ACH的面积＝ SKIPIF 1 < 0 ×6× SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．