中考数学一轮复习专题28 统计与概率-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版）

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1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现
有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；
2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，
并能进行有效的解答或计算；
3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运
用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；
4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．
能够准确区分确定事件与不确定事件；
一、数据的收集及整理
1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．
2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.
要点诠释：
(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.
(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.
3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
【特别提醒】
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
例1. 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：
⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；
⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多
少次较为合适？请简要说明理由；
⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？
【答案】
⑴该组数据的平均数

众数为18，中位数为18；
⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；
⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.
二、数据的分析
1.基本概念：
总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；
个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；
频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；
平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；
极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；
方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．
用公式可表示为：
【特别提醒】
1．平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.
平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.它可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂.
2.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差；
②决定组距和组数；
③决定分点；
④画频数分布表；
⑤画出频数分布直方图．
3.加权平均数
在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.
例2.某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下（单位：分）：110,106,109,111,108,110，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是110B．方差是16 C．平均数是109.5D．极差是6
【答案】A.
三、概率
1．概率的定义：一般地，如果在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= .
2．概率的求法
(1)用列举法
(2)用频率来估计：事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率 ，总是接近于某个常数，在它附近摆动.这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
3.事件
必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．
不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．
随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；
②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；
⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件．
例3． “六一”儿童节前夕，我市某县“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行表彰，某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且8(1)班必须参加，另外再从其它班级中选一个班参加活动．8(5)班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标上1，2，3，4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，(当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动)和为几就选哪个班参加，你认为这种方法公平吗？请说明理由．
【答案】
方法不公平．
用表格说明：

所以，8(2)班被选中的概率为：，8(3)班被选中的概率为：，
8(4)班被选中的概率为：，8(5)班被选中的概率为：，
8(6)班被选中的概率为：，8(7)班被选中的概率为：，
8(8)班被选中的概率为：，所以这种方法不公平．
1．（2022·建昌县教师进修学校九年级）小红根据去年4~10月本班同学去孔子学堂听中国传统文化讲座的人数，绘制了如图所示的折线统计图，图中统计数据的众数和中位数是（ ）
A．46，42B．32，42C．32，32D．42，27
【答案】C
【分析】
先利用折线统计图得到7个数据，将这7个数按大小顺序排列，找到最中间的数即为中位数，根据众数的定义求得众数．
【详解】
解：这组数据从大到小为：27，32，32，32，42，42，46，
故这组数据的中位数32．
32出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为32人．
故选：C．
2．（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）某班有 SKIPIF 1 < 0 名同学报名参加书法比赛，其中 SKIPIF 1 < 0 名女生、 SKIPIF 1 < 0 名男生，现从中任意挑选 SKIPIF 1 < 0 人参加比赛，则下列事件中为必然事件的是（ ）
A．挑选的 SKIPIF 1 < 0 人都是男生B．挑选的 SKIPIF 1 < 0 人中至少有 SKIPIF 1 < 0 名男生
C．挑选的 SKIPIF 1 < 0 人都是女生D．挑选的 SKIPIF 1 < 0 人中至少有 SKIPIF 1 < 0 名女生
【答案】D
【分析】
根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的时间，由此判断即可．
【详解】
解：A挑选的4人都是男生这是不可能发生的，故此选项不符合题意；
B、挑选的4人中可以全部是女生，没有男生，故此选项不符合题意；
C、挑选的4人都是女生这是随机的，故此选项不符合题意；
D、挑选的4人中，男生最多只能有3人，则挑选的4人中至少有1名女生，故此选项符合题意；
故选D．
3．（2022·浙江衢州市·九年级期中）在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ）
A．必然事件B．不确定事件C．不可能事件D．无法判断
【答案】C
【分析】
根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可．
【详解】
解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，
因而这是一个不可能事件．
故选C．
4．（2022·山东九年级期末）一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为（ ）
A．10个B．20个C．30个D．40个
【答案】B
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】
解：设白球有x个，
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：x＝20，
经检验x＝20是分式方程的解，
即白球有20个，
故选：B．
5．（2022·连云港市新海实验中学九年级）我校开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份九年级学生的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示，下列说法正确的是（ ）
A．众数是17B．中位数是2C．平均数是2D．方差是2
【答案】B
【分析】
在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2；先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；根据方差公式即可得出答案．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
SKIPIF 1 < 0 这组数据的众数是3；
SKIPIF 1 < 0 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
SKIPIF 1 < 0 这组数据的中位数为2；
观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
(0 × 4 + 1 × 12 + 2 × 16 + 3 × 17 + 4 ×1)÷50= SKIPIF 1 < 0 ；
这组数据的方差为：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
6．（2022·全国九年级课时练习）某校欲招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表：
根据面试成绩和笔试成绩分别赋予6和4的权后的平均成绩进行录用，学校将录用（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】
首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出三人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出谁将被学校录取．
【详解】
甲的平均成绩 SKIPIF 1 < 0 （分），
乙的平均成绩 SKIPIF 1 < 0 （分），
丙的平均成绩 SKIPIF 1 < 0 （分），
丁的平均成绩 SKIPIF 1 < 0 （分）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴乙的平均成绩最高，
∴学校将录用乙．
故选：B．
7．（2022·河南郑州市·郑州外国语中学）小晨和小红今年初中毕业，假如考入同一所高中，该所高中招10个班，如果随机分班，那么小晨和小红分到同一个班级的概率是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
通过列表展示所有100种等可能的结果，找出小晨和小红分到同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：列表为：
共有100种等可能的结果，其中小晨和小红分到同一个班级的结果数为10，
所以小晨和小红分到同一个班级的概率＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·沙坪坝·重庆一中）重庆一中即将举行90周年校庆文艺汇演，初三（二）班有两名男生一名女生报名参加，初三（五）班有一名男生两名女生报名参加．若分别从这两个班的报名同学中随机地各选一名同学，则选中的两名同学恰好一男一女的概率是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：列表如下，
由表可知，共有9种等可能结果，其中选中的两名同学恰好一男一女的有5种结果，
所以选中的两名同学恰好一男一女的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·建昌县教师进修学校九年级）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人．
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“A”所对应的圆心角的度数；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】（1）60；（2）见解析，60；（3）树状图见解析， SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷频率即可求解；
（2）先根据频率=频数÷样本容量求出频率，再根据扇形统计图中圆心角=360°×频率即可求解；
（3）根据概率的定义和画树状图法即可求解.
【详解】
（1）解：30÷50%=60，
故答案为：60.
（2）学生共有： 30÷50%=60（人），
“A”的人数为：60－5－30－10＝15（人），
“A”所占圆心角的度数为： SKIPIF 1 < 0 ，
补全条形图如图所示：
（3）画树状图为
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
∴P（选中一男一女） SKIPIF 1 < 0 .
10．（2022·浙江衢州市·九年级期中）衢州城市形象宣传片《南孔圣地 衢州有礼》已正式发布，此篇历时多个月拍摄，从不同角度向世界介绍了衢州，现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“衢”、“州”、“有”、“礼”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字是“礼”的概率是多少．
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的概率P．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
（1）∵分别标有汉字“衢”、“州”、“有”、“礼”的四个小球，
∴从中任取一个球，球上的汉字“礼”的概率是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）画树状图如下：
∵共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的有2种结果，
∴取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的概率P＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
次数
6
12
15
18
20
25
27
30
32
35
36
人数
1
1
7
18
10
5
2
2
1
1
2
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）