人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题7.13 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）（原卷版+教师版）

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第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春·河南驻马店·高二期末）下列正确命题的个数是（    ）①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】对①：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对②：根据方差公式可知方差恒不变；对③：根据正态分布的对称性即可求解；对④：根据二项分布概率的性质求解即可判断．【解答过程】解：对于①：因为随机变量服从二项分布，，，所以，，解得，故①错误；对于②：根据方差公式（，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故②正确；对于③：因为随机变量服从正态分布，由，则，则成绩不在的概率，则，故③正确；对于④：因为在次射击中，击中目标的次数，所以对应的概率，当，时，令，即，即，解得，因为时，所以当时，概率最大，故④错误．故选：B．2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（    ）A．300 B．400 C．600 D．800【解题思路】由题意可知正态分布曲线的对称轴为，即可求得，从而得的值，由此可求答案.【解答过程】由题意，随机变量，即，即正态分布曲线的对称轴为，因为，所以，所以 ，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为，故选:C．3．（5分）（2022春·河南焦作·高二阶段练习）若离散型随机变量的分布列为，则的值为A． B． C． D．【解题思路】由题 则由可求的值，进而求得.【解答过程】由题 ，则由离散型随机变量分布列的性质可得 故 故选A.4．（5分）（2022春·全国·高二期末）下列说法中正确的是（    ）①设随机变量X服从二项分布，则②已知随机变量X服从正态分布且，则③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；④；.A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③【解题思路】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【解答过程】解：命题①：设随机变量X服从二项分布，则，正确；命题②：∵服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，，，正确；命题③：设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，正确；命题④：正确，错误，应该为，故不正确.故选：A.5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.【解答过程】随机变量可能的取值为..，故的分布列为：故因为，故，而，故A、B错误.而，令，因为，故，此时，必成立，故C错误，D正确.故选：D.6．（5分）（2023·高二课时练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ）A． B．C． D．【解题思路】利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量，且向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布公式求概率，根据、即可判断各选项的正误；【解答过程】由题意知：设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，∴爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有；故，则：1、，，故A、B正确；2、，，即，有，故C错误；3、，即，有，故D正确；故选：C.7．（5分）（2022春·黑龙江佳木斯·高二期末）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（    ）A． B．C． D．【解题思路】设Y=X-1，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案.【解答过程】设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且，设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以，于是（）.所以，A错误；，，所以，B错误；，C错误，D正确；故选：D.8．（5分）（2022秋·陕西咸阳·高三阶段练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【解答过程】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，所以，错误.故说法正确的个数是2.故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023秋·山东滨州·高三期末）已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（    ）参考数据: 若 , 则， A．B．对于任意的正数，有C．D．【解题思路】根据正态分布密度曲线关于对称，且越小图像越靠轴，越小图像越瘦长，以及原则即可逐一分析四个选项得出结论.【解答过程】对于 A, ，故A选项正确;对于 B, 对于任意的正数 , 由图象知 表示正态密度曲线与轴围成的面积始终大于 表示正态密度曲线与轴围成的面积, 所以 ; 故B选项正确;对于 C, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 , 故C选项错误;对于 D, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 ,选项D正确. 故选：ABD.10．（5分）（2022春·重庆万州·高二阶段练习）在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1､2､3､4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于B．1选项是正确选项的概率高于C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为【解题思路】先分别计算出任意一组2个选项、3个选项、4个选项为正确答案的概率，再依次判断4个选项即可.【解答过程】若正确选项的个数为2个，则有共6种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为3个，则有共4种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为4个，则有共1种组合，这种组合为正确答案的概率为，对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；对于B，1选项是正确选项的概率为，正确；对于C，1选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；对于D，1选项为错误选项为事件C， ，正确选项有2个为事件D，则，错误.故选：BC.11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，，记，其中，，则（    ）A． B．C． D．若，则【解题思路】利用随机变量概率的性质证明选项A判断正确；利用二项分布数学期望的性质证明选项B判断正确；举反例否定选项C；利用单调性证明选项D判断正确.【解答过程】对于A，，所以A正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，当时，，所以C错误；对于D，因为，所以当时，最大，所以D正确；证明如下：若，则，若，则，解得，故当时，单调递增，当时，单调递减，即当为整数时，或时，取得最大值，当不为整数，k为的整数部分时，取得最大值．故选：ABD．12．（5分）（2022·全国·高二学业考试）将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（    ）A．当n=1时，方差B．当n=2时，C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立D．当n确定时，期望【解题思路】对于A：当n=1时，，，，，根据，可判断；对于B：当n=2时，由，可判断；对于C：由，可判断；对于D：由可判断.【解答过程】当n=1时，，，，，则，A正确；当n=2时，，B错误；由已知得，，k≤n-2，，又有，所以P(X=n-l)>P(X=n)，C正确；又，D正确.故选：ACD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·全国·高三专题练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ．【解题思路】设，由题意得，求出时的概率，由此能求出落入号格的小球粒数．【解答过程】解：设 “向右下落”，则 “向左下落”，且，设，小球下落过程中共碰撞次，，，，1，2，3，4，，，故投入粒小球，则落入号格的小球大约有粒．故答案为：．14．（5分）（2023·全国·高二专题练习）某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为 5 ．【解题思路】求出取出的零件为合格品的概率，再利用二项分布的概率公式列出不等式，借助单调性求解作答.【解答过程】因X服从正态分布，且，则，即每个零件合格的概率为，合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为，依题意，，即，令，则有，即单调递减，而，，因此不等式的解集为，所以n的最小值为5．故答案为：5.15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则 > ．（填>，