人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质精品复习练习题

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知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
题型01由已知条件判断所给不等式是否正确
【典例1】（2023春·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于A，令，所以，所以A不正确；
对于B，因为，所以，所以由不等式的可加性知：，所以B正确；
对于C，令，所以，所以C不正确；
对于D，令，所以，所以D不正确.
故选：B.
【典例2】（多选）（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）设为正实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】AC
【详解】对于A，由及为正实数，
可知，，则，
由，可得，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：AC
【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】因为实数，，满足，，所以，.
对于A：因为，所以，因为，所以，所以A错误；
对于B，若，则，因为，所以，所以B错误；
对于C，因为，，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误.
故选：ABD
【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，，则，，所以，，A错；
对于B选项，因为，所以，
因为，所以，所以，则，，
所以，，B对；
对于C选项，因为，则，因为，则，C对；
对于D选项，因为，，所以，，D对.
故选：BCD.
【变式2】（多选）（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BC
【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；
B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；
D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.
故选：BC.
题型02由不等式的性质比较数（式）大小
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若，，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，即，因为，
所以即.
故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【答案】
【详解】，
，
，
.
【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确；
对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误；
对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误；
对于D：，因为，可得，所以，故D正确．
故选：AD.
【变式2】（多选）（2023秋·福建三明·高一统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】对A，，则，则，A错；
对B，，则，B对；
对C，，则，则，则，则，C对；
对D，，则，又，则，故a与的大小关系不确定，D错.
故选：BC.
题型03作差法比大小
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与的大小关系为（ ）
B．C．D．，大小关系不确定
【答案】B
【详解】，
∴M