湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题含解析

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时量：120分钟 满分：150分
得分：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形
2．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式正确的个数是（ ）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．1B．2C．3D．4
4．已知a，b，，那么下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
5．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
7．若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．在R上定义运算：．已知时，存在x使不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合A={1，2，}，B={1，}，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．2
10．若，，则下面四个不等式成立的有（ ）
A．B．C．D．
11．下列说法正确的有（ ）
A．命题“若，则”的否定是“若，则”
B．命题“，”的否定是“，”
C．命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为
D．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围为
12．已知，，，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________．
14．已知，则的最大值是________．
15．已知函数．若对于，恒成立，则实数m的取值范围为________．
16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数．
（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；
（2）该小组人数的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本大题满分10分）
设a，，集合P={1，}，Q={，}，若P=Q．
（1）求的值；
（2）集合，，若，求实数c的取值范围．
18．（本大题满分12分）
（1）设，试比较与的大小；
（2）已知a，b，x，y都是正数，且，，求证：．
19．（本大题满分12分）
对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为．定义变换T，变换T将集合A变换为集合．
（1）若A={0，1，2}，求，；
（2）若集合A={，，，…，}，…，，证明：“”的充要条件是“…”．
20．（本大题满分12分）
已知．
（1）当，时，求的最大值；
（2）当，时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21．（本大题满分12分）
党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式．
（1）写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）
（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
22．（本大题满分12分）
已知二次函数．
若的解集为，解关于x的不等式；
（2）若对任意，恒成立，求的最大值；
（3）已知，，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．