还剩9页未读，
继续阅读
浙江省稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期11月联考数学试卷解析版
展开
这是一份浙江省稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期11月联考数学试卷解析版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,故
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【解析】，
3．已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.【答案】A
【解析】，当时取等号，所以“”推出“与共线”.
4．我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】A
【解析】时，正12边形的边长为，周长为，所以.
5．已知等比数列满足，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】设公比为，则有 解得或或或
故选D.
6．第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地，，分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能，两地承办，且各自承办其中一项．5个表演项目分别由，，三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A．150种B．300种C．720种D．1008种
【答案】B
【解析】第一步，先安排两个竞赛项目，有2种不同的方法；第二步，再安排5个表演项目，有种不同的方法；故总数为300种不同的方法.
7．已知是奇函数，实数，均小于1，为自然对数底数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，， ，单调递增，
由题：，
设，，
在递减，递增;
在递减，递增;
通过图像可知：，故选B.
8．椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的倾斜角为的直线交椭圆于点，（点在轴的上方）．若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】点在椭圆上，所以，
即，整理得.所以，解得，（其中，均舍去）.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，对任意的恒成立，则（ ）
A．的一个周期为B．的图像关于直线对称
C．在区间上有1个极值点D．在区间上单调递增
9.【答案】BD
【解析】由题知：，则，
，，.
,最小正周期为，所以选项A错误；
，所以选项B正确；
当时，，在单调递增，
所以选项D正确，选项C错误.
故答案为BD.
10．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
,
11．在底面为菱形的直四棱柱中，为中点，点满足，，（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，平面D．当时，平面
【答案】AC
【解析】若，则点在线段上，,成立.
若，设中点分别为,则点在线段上，
12．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由题得得：，
①，关于中心对称.
为奇函数②，即关于对称，选项A正确.
②左右求导得：，，为偶函数.
，
，即周期为4.
因为，所以周期为4，
即，求导得：，所以B错误.
由①得：，令，得，
③，即关于直线对称.
由②③得：，
即： ④
则，周期为4.选项C正确.
由③ 求导得：，即关于对称，
所以，从而，
所以由得：，
，由④知，
.
故D正确. 综上：答案为ACD.
也可以通过有对称轴直线，对称中心，有对称中心，构造函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知锐角满足；则________．
【答案】
【解析】，
14．已知，，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】，则，
当且仅当时等号成立，又，解得.所以最小值为.
15．已知抛物线，圆，若抛物线与圆有四个公共点，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】联立方程消去整理得，因为抛物线与圆有四个公共点，所以，且.所以.
16．体积为的直三棱柱中，，，则此三棱柱外接球的表面积的最小值为________．
【答案】
【解析】设直三棱柱的高为，的外接圆的半径为，
直三棱柱外接球的半径为，则，
，令，
则，当且仅当，即时取等. 故
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，的面积为，求的周长．
【解析】(ⅰ)由正弦定理及余弦定理可得：
，………3分
化简得：. ……………5分
(ⅱ)
,所以 ……………7分
由余弦定理可得：，
所以，
，，
，故，， ……………9分
所以周长为 ……………10分
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为的重心，．
（1）当直线平面时，求的值；
（2）当时，求平面与平面的夹角的大小．
【解析】A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
连接，则为的三等分点，且………………………2分
…………………………………………4分
（2）解法1：如图建立空间直角坐标系，则
……………………………6分
设平面ADE的一个法向量为
则，令得，………………………8分
同理可得平面CAE的一个法向量可以为：，……………………10分
，
平面与平面所成夹角的大小为.……………………12分
解法2：如图作,交的延长线于点,连接
A
B
C
D
S
G
E
H
…………………6分
又
…………………8分
△中据余弦定理有：,
,
…………………10分
从而平面与平面所成夹角的大小为 ………12分.
19．（本小题满分12分）
电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．调价方案为：月用电量在以下（占总数的71%）的用户电价不变，月用电量在以上则电价将上浮10%．
（1）求和的值；
（2）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间内的户数为，试求的分布列和数学期望．
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
【解析】（1）
………………………2分
即为第71百分位数，第一到第六组的频率依次为：0.12,0.18, 0.3, 0.22,0.12,0.06，
，(或)
，………………………5分
月用电量在的频率分别为：，
据按比例分配的分层随机抽样可知：用电量在的各有6人，3人，………………7分
从而可取的值为：0，1，2，3，
,,,
故的分布列为：
………11分
………………12分
20．（本小题满分12分）
已知非零数列，其前项的和为，满足．
（1）若，证明：；
（2）是否存在常数，使得是等差数列？若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)由和得，
又数列的首项不为零，所以. ………1分
由，，所以.
由，，所以，………4分
所以. ………5分
(2)解法1：由得，
于是，
从而， ………7分
即，
假设存在常数，使得是等差数列，设公差为.
, ………9分
对任意恒成立，
解得： 或， ………11分
，解得：.所以.
所以存在，使得是等差数列，此时，，满足题意.……12分
解法2：(2)由得，
于是，
从而， ………7分
即，
若存在，使得是等差数列，则设其公差为，
所以. ………9分
若，则有，从而，且. 这与首项不为零矛盾 .
故有，从而有对任意成立，
所以，且.
解得，. ………11分
此时，故.
所以存在，使得是等差数列，此时，，满足题意. ………12分
21．（本小题满分12分）
双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，，且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点在第一象限，且有，求点的横坐标．
【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则，，
因为，故，
故，即，. ………2分
因为△的面积为，所以，
即，． ………3分
所以双曲线的方程为． ………4分
（2）设，其中，.
当时，由题意可知时，，故， ，故. ………5分
当时，设直线、的倾斜角分别为，，
则有，.
又， ………6分
， ………7分
所以 ………8分
. ………9分
当时，有，……10分
所以，
即，故，
因得.
所以点的横坐标为. ………12分
解法2：（2）作图：线段上取点,使得.
则. ………6分
设，其中，.
由为等腰三角形，得.
由三点共线，得. ………8分
由为等腰三角形，得
整理得 ………10分
代入得.
解得（其他解舍去）. ………12分
所以点的横坐标为.
22．（本小题满分12分）
已知函数，，为自然对数底数．
（1）证明：当时，；
（2）若不等式对任意的恒成立，求整数的最小值．
【解析】（1）即证：，令；………2分
则，在上递减，
从而当时，成立. ……………4分
（2）令，依题有恒成立，
由可知：，又，故………6分
下证：时，恒成立.
当时，，故； ………………7分
当时，据（1）可知：，………8分
故只需证：，
只需证：，
令：，，
在上单调递增，又，，
在上有唯一实根，记为，，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，………10分
而，又
，
综上可得 ……………12分
解法2：（2）令，依题有恒成立，
由可知：，又，故………6分
当时，，故； ………………7分
当时，
设，据（1）可知：
………9分
由，其中在上单调递减且为零点，
故在单调递增，单调递减，， ………11分
故可以取到.
综上可得 ………12分
0
1
2
3
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,故
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【解析】，
3．已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.【答案】A
【解析】，当时取等号，所以“”推出“与共线”.
4．我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】A
【解析】时，正12边形的边长为，周长为，所以.
5．已知等比数列满足，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】设公比为，则有 解得或或或
故选D.
6．第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地，，分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能，两地承办，且各自承办其中一项．5个表演项目分别由，，三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A．150种B．300种C．720种D．1008种
【答案】B
【解析】第一步，先安排两个竞赛项目，有2种不同的方法；第二步，再安排5个表演项目，有种不同的方法；故总数为300种不同的方法.
7．已知是奇函数，实数，均小于1，为自然对数底数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，， ，单调递增，
由题：，
设，，
在递减，递增;
在递减，递增;
通过图像可知：，故选B.
8．椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的倾斜角为的直线交椭圆于点，（点在轴的上方）．若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】点在椭圆上，所以，
即，整理得.所以，解得，（其中，均舍去）.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，对任意的恒成立，则（ ）
A．的一个周期为B．的图像关于直线对称
C．在区间上有1个极值点D．在区间上单调递增
9.【答案】BD
【解析】由题知：，则，
，，.
,最小正周期为，所以选项A错误；
，所以选项B正确；
当时，，在单调递增，
所以选项D正确，选项C错误.
故答案为BD.
10．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
,
11．在底面为菱形的直四棱柱中，为中点，点满足，，（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，平面D．当时，平面
【答案】AC
【解析】若，则点在线段上，,成立.
若，设中点分别为,则点在线段上，
12．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由题得得：，
①，关于中心对称.
为奇函数②，即关于对称，选项A正确.
②左右求导得：，，为偶函数.
，
，即周期为4.
因为，所以周期为4，
即，求导得：，所以B错误.
由①得：，令，得，
③，即关于直线对称.
由②③得：，
即： ④
则，周期为4.选项C正确.
由③ 求导得：，即关于对称，
所以，从而，
所以由得：，
，由④知，
.
故D正确. 综上：答案为ACD.
也可以通过有对称轴直线，对称中心，有对称中心，构造函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知锐角满足；则________．
【答案】
【解析】，
14．已知，，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】，则，
当且仅当时等号成立，又，解得.所以最小值为.
15．已知抛物线，圆，若抛物线与圆有四个公共点，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】联立方程消去整理得，因为抛物线与圆有四个公共点，所以，且.所以.
16．体积为的直三棱柱中，，，则此三棱柱外接球的表面积的最小值为________．
【答案】
【解析】设直三棱柱的高为，的外接圆的半径为，
直三棱柱外接球的半径为，则，
，令，
则，当且仅当，即时取等. 故
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，的面积为，求的周长．
【解析】(ⅰ)由正弦定理及余弦定理可得：
，………3分
化简得：. ……………5分
(ⅱ)
,所以 ……………7分
由余弦定理可得：，
所以，
，，
，故，， ……………9分
所以周长为 ……………10分
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为的重心，．
（1）当直线平面时，求的值；
（2）当时，求平面与平面的夹角的大小．
【解析】A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
连接，则为的三等分点，且………………………2分
…………………………………………4分
（2）解法1：如图建立空间直角坐标系，则
……………………………6分
设平面ADE的一个法向量为
则，令得，………………………8分
同理可得平面CAE的一个法向量可以为：，……………………10分
，
平面与平面所成夹角的大小为.……………………12分
解法2：如图作,交的延长线于点,连接
A
B
C
D
S
G
E
H
…………………6分
又
…………………8分
△中据余弦定理有：,
,
…………………10分
从而平面与平面所成夹角的大小为 ………12分.
19．（本小题满分12分）
电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．调价方案为：月用电量在以下（占总数的71%）的用户电价不变，月用电量在以上则电价将上浮10%．
（1）求和的值；
（2）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间内的户数为，试求的分布列和数学期望．
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
A
B
C
D
S
G
E
x
y
z
【解析】（1）
………………………2分
即为第71百分位数，第一到第六组的频率依次为：0.12,0.18, 0.3, 0.22,0.12,0.06，
，(或)
，………………………5分
月用电量在的频率分别为：，
据按比例分配的分层随机抽样可知：用电量在的各有6人，3人，………………7分
从而可取的值为：0，1，2，3，
,,,
故的分布列为：
………11分
………………12分
20．（本小题满分12分）
已知非零数列，其前项的和为，满足．
（1）若，证明：；
（2）是否存在常数，使得是等差数列？若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)由和得，
又数列的首项不为零，所以. ………1分
由，，所以.
由，，所以，………4分
所以. ………5分
(2)解法1：由得，
于是，
从而， ………7分
即，
假设存在常数，使得是等差数列，设公差为.
, ………9分
对任意恒成立，
解得： 或， ………11分
，解得：.所以.
所以存在，使得是等差数列，此时，，满足题意.……12分
解法2：(2)由得，
于是，
从而， ………7分
即，
若存在，使得是等差数列，则设其公差为，
所以. ………9分
若，则有，从而，且. 这与首项不为零矛盾 .
故有，从而有对任意成立，
所以，且.
解得，. ………11分
此时，故.
所以存在，使得是等差数列，此时，，满足题意. ………12分
21．（本小题满分12分）
双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，，且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点在第一象限，且有，求点的横坐标．
【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则，，
因为，故，
故，即，. ………2分
因为△的面积为，所以，
即，． ………3分
所以双曲线的方程为． ………4分
（2）设，其中，.
当时，由题意可知时，，故， ，故. ………5分
当时，设直线、的倾斜角分别为，，
则有，.
又， ………6分
， ………7分
所以 ………8分
. ………9分
当时，有，……10分
所以，
即，故，
因得.
所以点的横坐标为. ………12分
解法2：（2）作图：线段上取点,使得.
则. ………6分
设，其中，.
由为等腰三角形，得.
由三点共线，得. ………8分
由为等腰三角形，得
整理得 ………10分
代入得.
解得（其他解舍去）. ………12分
所以点的横坐标为.
22．（本小题满分12分）
已知函数，，为自然对数底数．
（1）证明：当时，；
（2）若不等式对任意的恒成立，求整数的最小值．
【解析】（1）即证：，令；………2分
则，在上递减，
从而当时，成立. ……………4分
（2）令，依题有恒成立，
由可知：，又，故………6分
下证：时，恒成立.
当时，，故； ………………7分
当时，据（1）可知：，………8分
故只需证：，
只需证：，
令：，，
在上单调递增，又，，
在上有唯一实根，记为，，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，………10分
而，又
，
综上可得 ……………12分
解法2：（2）令，依题有恒成立，
由可知：，又，故………6分
当时，，故； ………………7分
当时，
设，据（1）可知：
………9分
由，其中在上单调递减且为零点，
故在单调递增，单调递减，， ………11分
故可以取到.
综上可得 ………12分
0
1
2
3
相关试卷
浙江省稽阳联谊学校2024届高三上学期11月联考数学试题（Word版附解析）： 这是一份浙江省稽阳联谊学校2024届高三上学期11月联考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。
浙江省稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期11月联考数学试卷： 这是一份浙江省稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期11月联考数学试卷，共4页。
浙江稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期联考数学试卷（PDF版，含答案解析）： 这是一份浙江稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期联考数学试卷（PDF版，含答案解析），文件包含浙江稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期联考数学试卷pdf、浙江稽阳联谊学校2023-2024学年高三上学期联考数学答案解析pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
