第5章 分式单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版）

这是一份第5章 分式单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版），共13页。
第5章 分式单元测试卷（B卷提升篇）【浙教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•宁波模拟）分式的值为0，则x的值为（　　）A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3【思路点拨】根据分式值为零的条件可得x﹣3≠0，|x|﹣3＝0，再解即可．【答案】解：由题意得：x﹣3≠0，|x|﹣3＝0，解得：x＝﹣3，故选：C．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．2．（3分）（2020•浦城县二模）下列变形正确的是（　　）A．＝ B． C． D．【思路点拨】根据分式的基本性质即可求出答案．【答案】解：（A）≠，故A错误；（B）＝，故B错误；（C）﹣1＝，故C错误；故选：D．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．3．（3分）（2020•历下区校级模拟）化简﹣x+1，得（　　）A．﹣ B．﹣ C．2﹣x2 D．【思路点拨】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．【答案】解：﹣x+1＝﹣（x﹣1）＝﹣＝故选：D．【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练通分是解题的关键．4．（3分）（2018•长安区一模）若△÷，则“△”可能是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．【答案】解：∵△÷，∴△＝×＝．故选：A．【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式再化简是解题关键．5．（3分）（2020•武威模拟）若分式方程2+＝有增根，则k的值为（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝2代入计算即可求出k的值．【答案】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1，解得：k＝1．故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．（3分）（2020春•滨江区期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）A．x≠﹣2 B．x≠1 C．x≠﹣2或x≠1 D．x≠﹣2且x≠1【思路点拨】根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x﹣1≠0，再求出即可．【答案】解：要使分式有意义，必须x+2≠0且x﹣1≠0，解得：x≠﹣2且x≠1，故选：D．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x﹣1≠0是解此题的关键．7．（3分）（2020春•杭州期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（　　）A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【答案】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得，①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，解得m＝﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选：A．【点睛】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．8．（3分）（2020•鹿城区校级二模）王师傅乘大巴车从甲地到相距60千米的乙地办事，办好事后乘出租车返回甲地，出租车的平均速度比大巴车快20千米/时，回来时乘出租车所花时间比去时乘大巴车节省了．设大巴车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据回来时乘出租车所花时间比去时乘大巴车节省了，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【答案】解：由题意可得，（1﹣）＝，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．9．（3分）（2020•温岭市校级一模）某市要筑一水坝，需要在规定天数内完成，如果由甲队去做，恰能如期完成；如果由乙队去做，需超过规定天数三天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队独自做，恰好在规定天数内完成．设规定的天数为x，下面所列方程正确的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】设规定的天数为x，则甲队单独去做需要x天，乙队单独去做需要（x+3）天，根据甲队完成的部分+乙队完成的部分＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【答案】解：设规定的天数为x，则甲队单独去做需要x天，乙队单独去做需要（x+3）天，依题意，得：+＝1．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．（3分）（2019春•滨江区期末）已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+，则下列两个结论（　　）①ab＝1时，M＝N；ab＞1时，M＜N．②若a+b＝0，则M•N≤0．A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错【思路点拨】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可求得结论；②根据分式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可结论．【答案】解：∵M＝，N＝，∴M﹣N＝﹣（）＝，①当ab＝1时，M﹣N＝0，∴M＝N，当ab＞1时，2ab＞2，∴2ab﹣2＞0，当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，∴M＞N或M＜N；当ab＜1时，ab可能同号，也可能异号，∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，②2ab﹣a＜0，∴M＞N或M＜N，故①错误；②M•N＝（﹣）•（）＝，∵a+b＝0，∴原式＝＝，∵a≠﹣1，b≠﹣1，∴（a+1）2（b+1）2＞0，∵a+b＝0，∴ab≤0，M•N≤0，故②对．故选：C．【点睛】本题主要考查分式的加减，分式的乘除，灵活运用分式的运算法则是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2020•下城区模拟）若分式不论x取任何实数总有意义，则m的取值范围是　m＞1　．【思路点拨】要使分式有意义，分式的分母不能为0．【答案】解：由题意得x2﹣2x+m≠0，x2﹣2x+1+m﹣1≠0，∴（x﹣1）2+（m﹣1）≠0，∵（x﹣1）2≥0，∴m﹣1＞0，∴m＞1时，分式不论x取任何实数总有意义．故m的取值范围是：m＞1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；完全平方式是非负数．12．（4分）（2018•余杭区一模）已知分式+，若x＝3时，分式无意义，则a＝　3或﹣3　．【思路点拨】把x＝3代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可．【答案】解：把x＝3代入得：+，∵此时分式无意义，∴9﹣a2＝0或a﹣3＝0，解得：a＝3或﹣3，故答案为：3或﹣3．【点睛】本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．13．（4分）（2020•绥化一模）若分式方程的解为正数，则a的取值范围是　a＜8，且a≠4　．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解为正数求出a的范围即可．【答案】解：分式方程去分母得：x＝2x﹣8+a，解得：x＝8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．14．（4分）（2019•郓城县模拟）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是　　，第n个式子是　　（用含的n式子表示，n为正整数）．【思路点拨】观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂；分子的变化为：2、5、10、17…n2+1；分式符号的变化为：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1．【答案】解：∵＝（﹣1）2•，＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n个式子为：．故答案是：，．【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．（4分）（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：x2+4x﹣1＝0，则的值为　　．【思路点拨】已知等式整理后，代入原式计算即可得到结果．【答案】解：由x2+4x﹣1＝0，得到x2＝﹣4x+1，则原式＝＝＝＝＝＝，故答案为：．【点睛】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（4分）（2020•滨州模拟）数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣＝﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是　15　．【思路点拨】根据题意，利用已知规律求未知数，从x＞5判断，x相当于已知规律中的15．【答案】解：∵x＞5∴x相当于已知调和数15，代入得，﹣＝﹣，解得，x＝15．经检验得出：x＝15是原方程的解．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是通过观察分析，未知调和数利用已知调和数来解得．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2019•金华模拟）先化简，再求值：，其中﹣3≤a≤0，请选择一个你喜欢的整数求值．【思路点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．【答案】解：原式＝•﹣＝﹣＝，∵a≠﹣1且a≠﹣2，a≠﹣3，∴取a＝0，则原式＝﹣1．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18．（8分）（2019•海宁市二模）先化简，再求值：，其中|x|≤1，且x为整数．小海同学的解法如下：解：原式＝﹣ …①＝（x﹣1）2﹣x2+3 …②＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3 …③＝﹣2x+2．…④当x＝﹣1时，…⑤原式＝﹣2×（﹣1）+2…⑥＝2+2＝4．…⑦请指出他解答过程中的错误（写出相应的序号，多写不给分），并写出正确的解答过程．【思路点拨】第二步错误，不能去分母，写出正确的解答过程即可．【答案】解：第②步错误，正确解答过程为：原式＝﹣＝﹣＝＝﹣，由|x|≤1，得到﹣1≤x≤1，即整数x＝﹣1，0，1，当x＝0时，原式＝2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）（2020春•东阳市期末）小明在解一道分式方程，过程如下：第一步：方程整理第二步：去分母…（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是　分式的基本性质　、　等式的基本性质　；（2）请把以上解分式方程过程补充完整．【思路点拨】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可；（2）写出正确的解题过程即可．【答案】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，合并得：﹣2x＝﹣6，系数化为1得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．20．（10分）（2017春•长泰县月考）已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．【思路点拨】方程去分母转化为整式方程，（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．【答案】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，移项合并得：（m+1）x＝﹣5，（1）∵x＝1是分式方程的增根，∴1+m＝﹣5，解得：m＝﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣2或x＝1，当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21．（10分）（2020春•西湖区期末）已知m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b）．（1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求m，n的值．（2）比较n+与2a2的大小．（3）当m＝12，n＝18时，求﹣的值．【思路点拨】（1）将a、b的代入m、n中，即可得到m、n的值；（2）两式作差，然后和0比较大小，即可判断n+与2a2的大小；（3）先对所求式子变形，再根据m、n的值即可解答本题．【答案】解：（1）∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab，a＝3，b＝﹣2，∴m＝32×（﹣2）＝﹣18，n＝3×32﹣2×3×（﹣2）＝39，即m、n的值分别为﹣18，39；（2）∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b），∴n+﹣2a2＝3a2﹣2ab+﹣2a2＝3a2﹣2ab+b2﹣2a2＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＞0，即n+＞2a2；（3）﹣＝＝，∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab，m＝12，n＝18，∴原式＝＝．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（12分）（2019春•西湖区校级月考）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数＝　　．（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数＝　　．（3）若分式的值是整数，求整数x的值．（4）已知，求的值．【思路点拨】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以﹣1即可，（2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可，（3）将分式变形得2+，要使结果是整数，x﹣1＝±1，或x﹣1＝±5，进而求出x的整数值即可，（4）倒数法，先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可．【答案】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以﹣1得，＝．（2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得，＝，（3）＝＝+＝2+要使分式的值为整数，∴x﹣1＝±1，或x﹣1＝±5，解得，x1＝0，x2＝2，x3＝6，x4＝﹣4，答：整数x的值为0，2，6，﹣4．（4）∵，∴x2+＝4﹣2＝2，∵＝＝3，∴＝．故答案为：（1）；（2）；【点睛】考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提．23．（12分）（2019春•江干区期末）第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至25日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2022年亚运会的主场馆．某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．【思路点拨】（1）根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成2400个零件的生产任务，列出方程求解即可．【答案】解：（1）设原计划每天生产的零件x个，由题意得，，得x＝2400，经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400＝10（天）．答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）＝24000，解得y＝480，经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．