专题09 全等三角形常见七大必考模型专训

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模型一 平移模型
模型二 轴对称模型
模型三 旋转模型
模型四 一线三等角模型
模型五 垂直模型
模型六 手拉手模型
模型七 半角模型
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
1．（2023春·湖南永州·七年级统考期末）如图，三角形是由三角形通过平移得到的，且点，，，在同一直线上．若，，则点与点之间的距离是（ ）

A．3B．4C．5D．6
2．（2022春·湖南怀化·七年级统考期末）如图，是由经过平移得到的，AC分别交DE、EF于点G、H，若，，则的度数为（ ）
A．150°B．140°C．120°D．30°
3．（2023春·河南驻马店·七年级统考阶段练习）把一副直角三角尺如图摆放，点与点重合，边与边都在直线上，将向右平移得，当边经过点时， ．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ．
5．（2022秋·广西南宁·八年级校考期中）【问题情境】将一副直角三角尺和按图1所示的方式摆放，其中，，O是AB的中点，点D与点O重合，于点M，于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法：
解：，理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线，∵
∴CO是的平分线（依据1）
∵，
∴（依据2）
(1)上述理由的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______；
依据2：______．
(2)你有与小丽不同的方法吗？请写出你的证明过程．
(3)将图1中的沿着射线BA的方向平移至如图2的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线相交于点M，且，BC的延长线与DE相交于点N，连接OM，ON，如果，试判断线段OM，ON的数量关系和位置关系，并说明理由．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】

1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2020秋·河南洛阳·八年级统考期中）如图在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB∥CD，△ABC和△AEC关于AC所在的直线对称，AD和CE相交于点O，连接BE交AC于点P，图中全等三角形的对数有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
3．（2020秋·广西河池·八年级统考期末）如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点，与相交于点，若，，则的度数为 ．
4．（2021秋·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，过点 B 的直线 l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线 l 对称，D 为线段 BC′上一动点，则 AD+CD 的最小值是 ．
5．（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）如图一，在中，，，是边上的一点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．

(1)求的度数．
(2)如图二，将绕点顺时针旋转，使点落在的延长线上点处，点落在的延长线上点处．连接．
①求的度数．
②点在上且点、关于对称，点是边上的动点，当的值最小时，请直接写出的度数．
【经典模型三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】

1．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（ ）
A．110°B．90°C．70°D．20°
2．（2022山东济南·统考二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120”，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE：②S△ODE＝S△BDE：③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，数轴上从左至右依次有，，，，五个点，其中点，，表示的数分别为，，．如图，将数轴在点的左侧部分绕点顺时针方向旋转，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转，连接，．若和全等，则点表示的数为 ．

4．（2022秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，于，则的长为
5．（2023秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）回答问题
（1）【初步探索】如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是 ；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3，仍然满足，请直接写出与的数量关系．

【经典模型四 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cmB．48cmC．56cmD．64cm
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3B．2C．D．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．

4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．

5．（2020秋·福建三明·八年级统考期中）（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由．
【经典模型五 垂直模型】
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
1、（2023·浙江·八年级假期作业）如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）
A．6cmB．1.5cmC．3cmD．4.5cm
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8B．4C．3D．2
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有____________(填序号)．
4．（2023·全国·八年级假期作业）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【经典模型六 手拉手模型】
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】

（等腰）
（等边）
（等腰直角）
1．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）
A．4B．2+6C．+3D．6
2（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
① ②连接，则平分 ③ ④
A．4B．3C．2D．1
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
4．（2022秋·八年级课时练习）等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面积为16，过点B作直线，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为 ．
5．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
【经典模型七 半角模型】
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
【变式训练】
1．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
【重难点训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，为边上的中线．

(1)按要求作图：延长到点E，使；连接．
(2)求证：．
(3)求证：．
(4)若，，求的取值范围．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长到M，使得
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
4．（2022秋·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：
如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示）
6．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．

（1）证明：；
（2）试说明：；
（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；
（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
8．（2020秋·福建三明·八年级统考期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．
（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；
（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；
（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系 ．
9．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
10．（2021秋·山东德州·八年级统考期中）某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以下学习过程：
（1）【探究发现】如图1，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论．
（2）【学以致用】如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明．
（3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点与顶点不重合，，（2）中的结论还成立吗？证明你的结论
11．（2020秋·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．

（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．
12．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：．
应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系．
拓展：如图①中，若，梯形的面积______．
13．（2023春·上海·七年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：．
[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________．
14．（2023·浙江·八年级假期作业）（1）如图1，已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．