新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第3讲 圆锥曲线第三定义（2份打包，原卷版+解析版）

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1．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由椭圆 SKIPIF 1 < 0 可知其左顶点 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则得 SKIPIF 1 < 0 ．
记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 长轴的两个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的任一点，若将 SKIPIF 1 < 0 的三个内角记作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：因为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而在三角形中， SKIPIF 1 < 0 ，所以上式可得 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的对称性设 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，如图所示：
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同三点，且满足 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．8B．4C．2D．1
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同的三点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 连线经过坐标原点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的不同的三点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的两个实数根，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
二．填空题（共4小题）
8．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同三点，且满足 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，①
又由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为双曲线上的点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入①，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时上式“ SKIPIF 1 < 0 ”成立．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共顶点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上的动点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上的动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，①
因为 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线和椭圆上不同于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 0 ．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共顶点，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线和椭圆上不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的动点，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：0．
11．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同的三点，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两式相减可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三．解答题（共4小题）
12．如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，其中点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）对任意 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：（1）由题设知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
由于直线 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，又直线 SKIPIF 1 < 0 过原点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
因此， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 SKIPIF 1 < 0 相切于线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）已知两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 及椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，试问当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是△ SKIPIF 1 < 0 的中位线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （2分）
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 并代入 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
由△ SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （5分）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则由中点坐标公式得： SKIPIF 1 < 0 （6分）
①当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 显然过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （7分）
②当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
此时直线 SKIPIF 1 < 0 显然不能过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 （8分）
若直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）． SKIPIF 1 < 0 （9分）
综上，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点． SKIPIF 1 < 0 （10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （11分）
根据题意可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①
过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②
① SKIPIF 1 < 0 ②并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即①、②两直线的交点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （14分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
根据题意可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （12分）
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （14分）
14．如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，其中点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 ，面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值，并指出对应的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线．
【解答】（1）解：由题设知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
由于直线 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，又直线 SKIPIF 1 < 0 过原点，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由△ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
由题意可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，
最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 有最大值，等于 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线．
15．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过原点的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆的离心率．
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，①， SKIPIF 1 < 0 ，②
由① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0