新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式（2份打包，原卷版+解析版）

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1．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，且 SKIPIF 1 < 0 轴，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率等于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 必过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，圆 SKIPIF 1 < 0 与该双曲线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率等于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由椭圆的定义可得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：在△ SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
同除以 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率不可能是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然成立，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 该椭圆的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 做倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
①②联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由题意，由点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向右准线作垂线，设垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由椭圆的第二定义，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
过点 SKIPIF 1 < 0 向直线 SKIPIF 1 < 0 作垂线，设垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而由椭圆的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
二．填空题（共6小题）
12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|＝|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为 ．
【解答】解：因为|AF2|＝|F1F2|，由双曲线的定义可得|AF1|＝2c﹣2a，
由，则|BF1|＝4c﹣4a，所以|BF2|＝|BF1|+2a＝4c﹣2a，
在△AF1F2中，由余弦定理可得cs∠AF1F2＝＝＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF1F2＝＝＝，
又因为cs∠AF1F2+cs∠BF1F2＝0，即+＝0，整理可得3c2+5a2﹣8ac＝0，
即3e2﹣8e+5＝0，解得：e＝或e＝1（舍），
故答案为：．
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
15．点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：如图所示，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 是直角；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的第一象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ①，
由双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ③，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线的渐近线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是渐近线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的2倍，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是渐近线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的2倍，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三．解答题（共1小题）
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，求该椭圆的离心率的取值范围．
【解答】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该椭圆的离心率的范围 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．