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新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第19讲利用平面向量解决平行四边形问题原卷版doc、新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第19讲利用平面向量解决平行四边形问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
②设椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴、 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线？如果存在，求 SKIPIF 1 < 0 值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴，
经过 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由已知条件，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 等价于△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
②设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ．矛盾，
故没有符合题意的常数 SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的半焦距）在 SKIPIF 1 < 0 轴上，若椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆方程；
（2）若过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共线（其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：（1）依题意有： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程： SKIPIF 1 < 0 （6分）
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （13分）
3．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ；求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅱ）设椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴、 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，如果存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】（本小题12分）
解：（1） SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1分）
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （3分）
由△ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （4分）
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （6分）
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （7分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （9分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线等价于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （10分）
由上述式子得： SKIPIF 1 < 0 （11分）
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不存在这样的常数 SKIPIF 1 < 0 满足条件． SKIPIF 1 < 0 （12分）
4．如图，设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上，过 SKIPIF 1 < 0 引抛物线的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅰ）求证： SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴；
（ⅱ）已知当 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，其中，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因此直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，① SKIPIF 1 < 0 ．②
由①、②得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当 SKIPIF 1 < 0 时，将其代入①、②并整理得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由弦长公式的 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此所求抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，并注意到点 SKIPIF 1 < 0 也在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
代入得 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时，点 SKIPIF 1 < 0 适合题意．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾．
对于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直，与题设矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，不存在符合题意得 SKIPIF 1 < 0 点．
综上所述，不存在符合题意得 SKIPIF 1 < 0 点．
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形（其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
化简得曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①
若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 的中点也是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上得， SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ②
将②代入①得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由②得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，代入②得 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
6．如图所示，已知圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（Ⅱ）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在圆 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 的中点即为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
7．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 轴上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在轨迹 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形（其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ．
代入△ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 不过原点 SKIPIF 1 < 0 且不平行于坐标轴， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 的斜率的乘积为定值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延长线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 能否为平行四边形？若能，求此时 SKIPIF 1 < 0 的斜率；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则判别式△ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 的斜率的乘积为定值．
（2）四边形 SKIPIF 1 < 0 能为平行四边形．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由判别式△ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不过原点且与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形当且仅当线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 互相平分，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 能为平行四边形．
9．设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 与以原点为圆心、以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ．问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 （4分）
（2）结论：存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分． SKIPIF 1 < 0 （5分）
理由如下：由题可知直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （7分）
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （9分）
若四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分． SKIPIF 1 < 0 （12分）
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，坐标原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两条直线分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （异于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，若平行四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则 SKIPIF 1 < 0 为左顶点或右顶点，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则点 SKIPIF 1 < 0 为上顶点或下顶点，此时 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线方程与椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则△ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 不能是菱形，
综上，四边形 SKIPIF 1 < 0 能为菱形，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 左右两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，过 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为3．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心，焦点与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 和抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 （异于原点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线切线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
（Ⅲ）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
即有抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设抛物线切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 两边对 SKIPIF 1 < 0 求导，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即有△ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
原点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
可令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
即有当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅲ）可设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的中点重合．
即有 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
12．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）结论：存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分．
理由如下：
由题可知直线 SKIPIF 1 < 0 、直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 、直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意可知△ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，则有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分．
13．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）
结论：存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分．
理由如下：
如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 方程与椭圆方程联立消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 方程与椭圆方程联立消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
平方可得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 对角线互相平分．
14．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，其中 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，其中 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 的中点即为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，②
又 SKIPIF 1 < 0 ，
代入①式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入②式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为2， SKIPIF 1 < 0 为原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的3倍．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（1）短轴长为2，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的3倍，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程可得，
SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，②
SKIPIF 1 < 0 ，代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，代入②可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．当直线 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，求此时直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）方法一：因为 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为第一象限点，则 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意可以判断直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ②
①代入②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
1．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
②设椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴、 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线？如果存在，求 SKIPIF 1 < 0 值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴，
经过 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由已知条件，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 等价于△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
②设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ．矛盾，
故没有符合题意的常数 SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的半焦距）在 SKIPIF 1 < 0 轴上，若椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆方程；
（2）若过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共线（其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：（1）依题意有： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程： SKIPIF 1 < 0 （6分）
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （13分）
3．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ；求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅱ）设椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴、 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，如果存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】（本小题12分）
解：（1） SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1分）
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （3分）
由△ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （4分）
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （6分）
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （7分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （9分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线等价于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （10分）
由上述式子得： SKIPIF 1 < 0 （11分）
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不存在这样的常数 SKIPIF 1 < 0 满足条件． SKIPIF 1 < 0 （12分）
4．如图，设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上，过 SKIPIF 1 < 0 引抛物线的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅰ）求证： SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴；
（ⅱ）已知当 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，其中，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因此直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，① SKIPIF 1 < 0 ．②
由①、②得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当 SKIPIF 1 < 0 时，将其代入①、②并整理得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由弦长公式的 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此所求抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，并注意到点 SKIPIF 1 < 0 也在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
代入得 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时，点 SKIPIF 1 < 0 适合题意．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾．
对于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直，与题设矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，不存在符合题意得 SKIPIF 1 < 0 点．
综上所述，不存在符合题意得 SKIPIF 1 < 0 点．
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形（其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
化简得曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①
若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 的中点也是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上得， SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ②
将②代入①得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由②得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，代入②得 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
6．如图所示，已知圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（Ⅱ）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在圆 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 的中点即为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
7．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 轴上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在轨迹 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形（其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ．
代入△ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 不过原点 SKIPIF 1 < 0 且不平行于坐标轴， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 的斜率的乘积为定值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延长线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 能否为平行四边形？若能，求此时 SKIPIF 1 < 0 的斜率；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则判别式△ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 的斜率的乘积为定值．
（2）四边形 SKIPIF 1 < 0 能为平行四边形．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由判别式△ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不过原点且与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形当且仅当线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 互相平分，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 能为平行四边形．
9．设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 与以原点为圆心、以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ．问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 （4分）
（2）结论：存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分． SKIPIF 1 < 0 （5分）
理由如下：由题可知直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （7分）
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （9分）
若四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分． SKIPIF 1 < 0 （12分）
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，坐标原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两条直线分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （异于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，若平行四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则 SKIPIF 1 < 0 为左顶点或右顶点，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则点 SKIPIF 1 < 0 为上顶点或下顶点，此时 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线方程与椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则△ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 不能是菱形，
综上，四边形 SKIPIF 1 < 0 能为菱形，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 左右两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，过 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为3．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心，焦点与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 和抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 （异于原点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线切线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
（Ⅲ）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
即有抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设抛物线切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 两边对 SKIPIF 1 < 0 求导，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即有△ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
原点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
可令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
即有当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅲ）可设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的中点重合．
即有 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
12．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）结论：存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分．
理由如下：
由题可知直线 SKIPIF 1 < 0 、直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 、直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意可知△ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，则有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分．
13．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）
结论：存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分．
理由如下：
如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 方程与椭圆方程联立消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 方程与椭圆方程联立消去 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
平方可得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 对角线互相平分．
14．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，其中 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，其中 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 的中点即为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，②
又 SKIPIF 1 < 0 ，
代入①式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入②式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为2， SKIPIF 1 < 0 为原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的3倍．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（1）短轴长为2，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的3倍，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程可得，
SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，②
SKIPIF 1 < 0 ，代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，代入②可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．当直线 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，求此时直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）方法一：因为 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为第一象限点，则 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意可以判断直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ②
①代入②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
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