专题18：比的应用综合“奥数思维训练版”-2023-2024学年六年级数学上册期末专项复习（人教版）

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一、填空题。
1．叶平和王军一共有1020元。若叶平的钱数增加，王军的钱数增加，则两个人拥有的钱数相等。叶平有( )元，王军有( )元。
【答案】 480 540
【分析】先把叶平的钱数、王军的钱数分别看作单位“1”，若叶平的钱数增加，即现在叶平的钱数是原来的（1＋）；王军的钱数增加，即现在王军的钱数是原来的（1＋）；
此时两人拥有的钱数相等，即叶平的钱数×（1＋）＝王军的钱数×（1＋），由此得出叶平的钱数∶王军的钱数＝（1＋）∶（1＋），化简比，求出叶平的钱数∶王军的钱数＝8∶9；
那么叶平的钱数占两人总钱数的，王军的钱数占两人总钱数的；把两人的总钱数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出两人各自的钱数。
【详解】叶平的钱数∶王军的钱数
＝（1＋）∶（1＋）
＝∶
＝（×36）∶（×36）
＝40∶45
＝（40÷5）∶（45÷5）
＝8∶9
叶平的钱数：1020×＝480（元）
王军的钱数：1020×＝540（元）
叶平有480元，王军有540元。
【点睛】解题的关键是先求出两人的钱数之比，再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义解答。
2．图书馆买回一批新图书，分别放在甲、乙两个书架上，甲书架放了这批书的。如果从甲书架拿出150本放到乙书架，那么甲、乙两个书架所放书本数的比是2∶3，这批图书共有( )本。
【答案】1000
【分析】把这批书的总本数看作单位“1”，甲书架放了这批书的，如果从甲书架拿出150本放到乙书架，那么甲、乙两个书架所放本书的比是2∶3，即现在甲书架上书的本数占这批书的；由此可知150本占这批书的（－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出这本批书的总本数。
【详解】150÷（－）
＝150÷（－）
＝150÷（－）
＝150÷
＝150×
＝1000（本）
这批图书共有1000本。
【点睛】本题考查分数除法与比的实际应用，把比转化成分数，找出单位“1”，分析出150本占总本数的几分之几，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
3．有两块同样重的合金，一块合金中铜与锌的比是1：5，另一块合金中铜与锌的比是2：3，现将两块合金合成一块，新合金中铜与锌的比是( )。
【答案】17：43
【详解】试题分析：假设每块合金重30，那么第一块中铜占合金的 ，根据一个数乘分数的意义，则铜有30×=5，锌有30﹣5=25；第二块中铜占合金的 ，根据一个数乘分数的意义，则铜有30×=12，锌有30﹣12=18；则合成一块，铜5+12=17，锌25+18=43，进而求比即可．
解：假设每块合金重30，
1+5=6，2+3=5，
（30×+30×）：（30×+30×），
=（5+12）：（25+18），
=17：43；
答：新合金中铜与锌的比是17：43．
故答案为17：43．
点评：解答此题的关键：先假设每块合金重30，进而根据一个数乘分数的意义，分别求出两块合金中锌和铜的重量，然后求出新合金中锌和铜的重量，再求比即可．
4．有两组数，第一组数的平均数是13.6，第二组数的平均数是10.8，而这两组数总的平均数是12.4，那么，第一组数的个数与第二组数的个数的比值是( )。
【答案】4：3
【详解】试题分析：根据本题中所给的数量关系，如果第一组数和第二组数的总个数为“1”的话，可设第一组为x，那么第二组就为（1﹣x），由此可得方程：13.6x+10.8×（1﹣x）=12.4．
解：把总个数当做“1”，可设第一组为x则：
13.6x+10.8×（1﹣x）=12.4，
13.6x+10.8﹣10.8x=12.4，
2.8x=1.6，
x=；
则第二组为：1﹣=，
它们的比为：=4：3．
故答案为4：3．
点评：本题的关键是把总个数看做“1”．
5．小刚，小强两人骑车的速度之比是15：13，如果小刚，小强分别由甲、乙两地同时出发，相向而行，半小时后相遇；如果他们同向而行，那么小刚追上小强需要( )小时。
【答案】7
【详解】试题分析：根据题干可令小刚和小强的速度分别为15和13，由此求得两地距离即：小强和小刚之间的距离差为14，由此即可解决问题．
解：令小刚和小强的速度分别是15，13，
则甲乙两地的距离是：（15+13）×0.5=14，
14÷（15﹣13）=14÷2=7（小时）；
答：小刚追上小强需要7小时．
故答案为7．
点评：此题的关键是得出小强和小刚的速度从而求得二者的距离差．
6．两个长方形的周长比是10；9，第一个长方形的长与宽的比是7：3，第二个长方形的长与宽的比是5：4．这两个长方形的面积比是( )。
【答案】21：20
【详解】试题分析：根据题干“两个长方形的周长比是10；9”，则周长的一半，即它们的一条长与一条宽的和的比也是10：9，设第一个长方形的长与宽的和是10a，则第二个长方形的长与宽的和是9a，由此根据它们的长与宽的比分别求出长与宽，再利用长方形的面积公式即可解答．
解：根据题干分析可得：这两个长方形的一条长与一条宽的和的比是10：9，
设第一个长方形的长与宽的和是10a，则长是：10a×=7a，宽是10a﹣7a=3a；
第二个长方形的长与宽的和是9a，则长是：9a×=5a，宽是9a﹣5a=4a，
所以这两个长方形的面积比是：（7a×3a）：（5a×4a）=21：20，
答：两个长方形的面积之比是21：20．
故答案为21：20．
点评：根据题干得出这两个长方形的一条长与一条宽的和的比是10：9，再利用长方形长与宽的比分别表示出它们的长与宽，即可解答．
7．三批货物共值2250元．按质量，第一批和第二批的比是1：2，第二批和第三批的比是1：2.5；按单价，第一批和第二批的比是3：1，第二批和第三批的比是7：3．则第一批货物值( )元。
【答案】945
【详解】试题分析：按照质量比第一批和第二批的比是1：2，第二批和第三批的比是1：2.5，以及比的基本性质可得：第一批：第二批：第三批=1：2：5，
按照单价比第一批和第二批的比是3：1，第二批和第三批的比是7：3，以及比的基本性质可得：第一批：第二批：第三批=21：7：3，
然后依据总价=数量×单价，求出三批货物的总价比，最后按比例分配即可解答．
解：三批货物质量比：
1×2=2，
2.5×2=5，
第一批：第二批：第三批=1：2：5，
三批货物单价比：
3×7=21，
1×7=7，
第一批：第二批：第三批=21：7：3，
三批货物总价比：
1×21=21，
2×7=14，
5×3=15，
第一批：第二批：第三批=21：14：15，
2250×，
=2250×，
=945（元），
答：第一批货物值945元，
故答案为945．
点评：解答本题的依据是数量关系式：总价=单价×数量，关键是求出三批货物的质量和单价比．
8．某大型超市共有收银员若干名，其中男女人数的比是5：3，收银部的主管将所有收银员按8：7：5分成早班组、中班组和晚班组．早班组中男女人数比是3：1，晚班组中男女人数比是4：3，中班组中男女人数比是( )。
【答案】51：47
【详解】试题分析：由题意可知：男女人数的比是5：3，这样看，男女一共是8份，所以男员工占，女员工占；收银部的主管将所有收银员按8：7：5分成早中晚班组，一共是20份，
早班，中班，晚班，即：早班，中班，晚班；根据：早班组中男女人数的比是3：1，所以早班人员中男员工占，女员工占；根据：晚班组中男女人数的比是4：3，所以晚班员中男员工占，女员工占；
男员工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；
女员工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；
剩下的男女员工就是安排在中班的，它们的比为：
：=51：47；据此解答即可．
解：男女人数的比是5：3，这样看，男女一共是8份，所以男员工占，女员工占；
收银部的主管将所有收银员按8：7：5分成早中晚班组，一共是20份，
早班，中班，晚班，即：早班，中班，晚班；
根据：早班组中男女人数的比是3：1，所以早班人员中男员工占，女员工占；
根据：晚班组中男女人数的比是4：3，所以晚班员中男员工占，女员工占；
男员工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；
女员工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；
剩下的男女员工就是安排在中班的，它们的比为：
：=51：47；
故答案为51：47．
点评：解答此题的关键是：先求出早班组和晚班组中男女的人数占总数的几分之几，进而求出中班组中男女的人数占总数的几分之几，于是问题得解．
9．如图，4个相同的直角三角形围成了一个正方形，已知a∶b＝1∶2，阴影部分的面积占大正方形面积的( )。
【答案】
【分析】根据题意可知，阴影部分的边长等于直角三角形的斜边的长，已知直角三角形两条直角边的比是1∶2，大正方形的边长等于两条直角边的和，根据正方形的面积＝边长×边长，先求出大正方形的面积，把大正方形的面积看作单位“1”，再求出四个直角三角形占大正方形的几分之几，再用单位“1”减去四个直角三角形占大正方形的几分之几，就求出了中间的正方形的面积占大正方形面积的几分之几。
【详解】大正方形的边长等于两条直角边的和，即1＋2＝3；
1－1×2÷2×4÷32，
＝1－4÷9，
＝1，
＝
【点睛】此题主要考查正方形面积的计算，解答关键是求出大正方形的面积，把它看作单位“1”，再求出4个三角形的面积正方形的面积占大正方形面积的几分之几，用单位“1”减4个三角形占大正方形的几分之几即可。由此解决问题。
10．如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个，则第3、4两个出水口的出水量之比为( )。
【答案】3∶2
【分析】根据题意，假设第一次分流的出水量是16，然后根据每一次水流流经三角形两腰的机会相同，分别求出下一次分流的水量，并求出每个出水口最后的出水量是多少，再用第3个出水口的出水量比第4个出水口的出水量即可。
【详解】假设第一次分流的出水量是16，每次分流的出水量如图：
1号出水口的出水量是：1，
2号出水口的出水量是：1＋3＝4，
3号出水口的出水量是：3＋3＝6，
4号出水口的出水量是：3＋1＝4，
5号出水口的出水量是：1。
所以，第3、4两个出水口的出水量之比为6∶4＝3∶2。
【点睛】解答此题的关键是设第一次分流的出水量是16，进而分别求出每个出水口最后的出水量是多少。
二、解答题。
11．五（一）班原计划抽的人参加大扫除，临时又有个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的。原计划抽多少个同学参加大扫除？
【答案】8人
【分析】把全班的总人数看作单位“1”，“实际参加的人数是没参加的”转化为“实际参加的是总数的”，找2对应的分数（），据除法的意义求出全班的人数，全班人数乘得出原来参加大扫除的人数。
【详解】2÷（）×
＝2÷×
＝40×
＝8（人）
答：原计划有8位同学参加大扫除。
【点睛】这道题关键在于统一单位“1”，“实际参加的人数是没参加的”转化为“实际参加的是总数的”。
12．小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数，他今天比昨天多读了页，这时已经读完的页数是还没读的页数的，问题是，这本书共有多少页？
【答案】280页
【分析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的，而前二天小明一共读了全书的，所以第二天比第一天多读的页对应全书的。所以整本书一共有（页）。
【详解】第一天读了全书的：
前两天小明一共读了全书的：
第二天比第一天多读的页对应全书的
（页）
答：这本书共有280页。
【点睛】本题考查分数除法的意义，将全书看成单位“1”，那么将每个量占全书页数的分数求出来。
13．小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？
【答案】132个
【分析】小莉给小刚24个时，小莉是小刚的（＝1一），即两人球数和的；小刚给小莉24个时，小莉是两人球数和的（＝），因此24＋24是两人球数和的
＝。从而，和是（24＋24）÷＝132（个）。
【详解】（24＋24）÷（1－）
＝48÷（1－）
＝48÷
＝48×
＝132（个）
答：小莉和小刚原来共有玻璃球132个。
【点睛】本题考查分数四则混合运算应用，关键要找到单位“1”，并且找到量和对应的分率应用除法来解出单位“1”。
14．甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚．先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两堆的棋子数增加1倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加2倍；最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加3倍，此时甲、乙、丙三堆棋子数的比是1：2：3．请问：原来三堆棋子各有多少枚？
【答案】甲、乙、丙原来各有73、50和21枚．
【详解】试题分析：首先由丙分之后甲、乙、丙三堆棋子数的比是1：2：3，根据比的基本性质变形，进一步得到丙分之前，乙分之前，甲分之前甲、乙、丙三堆棋子数的比，再根据甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚即可求解．
解：丙分之后甲、乙、丙三堆棋子数的比是1：2：3=4：8：12
4÷（3+1）=1
8÷（3+1）=2
12+（4﹣1）+（8﹣2）=21
丙分之前是1：2：21=3：6：63
3÷（2+1）=1
63÷（2+1）=21
6+（3﹣1）+（63﹣21）=50
乙分之前是1：50：21=2：100：42
100÷（1+1）=50
42÷（1+1）=21
2+（100﹣50）+（42﹣21）=73
甲分之前是73：50：21
又因为甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚，
73+50+21=144（枚），
所以甲、乙、丙原来各有73、50和21枚．
点评：考查了按比例分配应用题和逆推问题，解题的关键是得到甲分之前甲、乙、丙三堆棋子数的比是73：50：21．
15．某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10：7：6，速度比为3：4：5，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作量与总工作量之比．
【答案】16：41．
【详解】试题分析：甲种车的一半干25天，另一半干15天，相当于所有甲种车都干20天，所以甲、乙、丙三种车工作时间之比为20：25：25=4：5：5，相同时间内，三种车各一辆完成的工作量之比为：：=14：14：15，甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为（14×10×4）：（14×5×5）：（15×7×5）=112：70：105．进而求得甲种车完成的工作量与总工作量之比．
解：甲、乙、丙三种车工作时间之比为20：25：25=4：5：5
三种车各一辆完成的工作量之比为：：=14：14：15
甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为（14×10×4）：（14×5×5）：（15×7×5）=112：70：105．
甲种车完成的工作量与总工作量之比为112：（112+70+105）=112：287=16：41
答：甲种车完成的工作量与总工作量之比是16：41．
点评：题的关键是求出甲、乙、丙三种车工作时间之比以及甲、乙、丙三种车完成的工作量之比．
16．往返于A、B两地的甲、乙两辆公共汽车分别从A、B两城同时相向出发，各自到达终点停车5分钟便返回出发地，并同时到达C站．已知C站距A、B的中点6千米，甲、乙两辆汽车的速度比是6：5，求AB两城相距多少千米？
【答案】44千米
【详解】试题分析：设AB两城相距s千米，从开始到到达C站所用时间为t，到达C站时，甲走的路程为（1.5s+6）千米，乙走的路程为（1.5s﹣6）千米，根据甲、乙两辆汽车的速度比是6：5，列式解答即可．
解：设AB两城相距s千米，从开始到到达C站所用时间为t，
5（1.5s+6）=6（1.5s﹣6）
7.5s+30=9s﹣36
30+36=9s﹣7.5s
66=1.5s
s=44，
答：AB两城相距44千米．
点评：本题考查了简单的行程问题以及比的应用．关键是得出到达C站时，甲走的路程为（1.5s+6）千米，乙走的路程为（1.5s﹣6）千米．
17．甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零件数量的五分之三相等，又等于丙生产的零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，问：这批零件共有多少个？
【答案】750个
【分析】解决这个问题的关键在于将甲生产零件数量的一半等于乙生产零件数量的五分之三等于丙生产零件数量的四分之三转化为同一基准，由于知道乙比丙多生产50个零件，不妨以乙生产的零件数量为单位“1”。
【详解】方法1：
根据已知条件可得：
因为甲生产的零件数×＝乙生产零件数量×，
所以甲生产的零件数＝乙生产的零件数×，
即，甲生产的零件数量是乙生产的零件数量的。
因为丙生产的零件数量×＝甲生产的零件数量×，
所以丙生产的零件数量＝甲生产的零件数量×，
所以丙生产的零件数量是乙生产的零件数量的×＝
由于乙比丙多生产了50个零件，所以乙生产的零件数量为：50×（1－）＝250（个），甲生产的零件数量为：250×＝300（个），丙生产的零件数量为300×＝200（个）。
甲、乙、丙共生产零件250＋300＋200＝750（个）
答：这批零件共750个。
方法2：
因为：甲生产的零件数∶乙生产的零件数＝甲生产的零件数∶丙生产的零件数
所以：丙的数量∶乙的数量＝4∶5；可得：甲∶乙∶丙＝6∶5∶4
总份数：6＋5＋4＝15（份）
共生产零件数量为：50÷（－）＝750（个）
答：这批零件共750个。
【点睛】经常出现有关分数、百分数的应用题，且一般比较复杂。但它的解题思考方法与解答基本应用题的方法相类似，所以我们将学过的有关分数、百分数的应用题进行分类，搞清“分率（百分率）”的概念是解决这类问题的关键所在。正确解决有关分数、百分数的应用题，常常将被比的量（标准量）看作单位“1”，再看与它相比的量（比较量）相当于单位“1”的几分之几，称作分率（百分率），认清其数量关系，是解决这类问题的突破口。
18．光明小学兴趣小组的男女生人数之比是，学校共有科技组、书法组、合唱组、三个小组．已知这三个小组的人数比是，科技组中男、女生的人数之比是，书法组中男、女生的人数之比是．合唱组中男、女生人数之比是多少？
【答案】5:9
【详解】解：科技组：男生×= 女生×=
书法组：男生×= 女生×=
合唱组：男生－－= 女生－－=
合唱组男生：合唱组女生=：=5:9
19．已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为多少？
【答案】16：12：9
【详解】甲的一半、乙的倍、丙的这三个数的比为，所以甲、乙、丙这三个数的比为即，化简为，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为即，化简为.
20．（乐清市）一条公路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1：2：3，张叔叔骑车经过各段路所用时间之比是3：4：5．已知他在平路上骑车速度是每小时25千米．他行完全程用了多长时间？
【答案】他行完全程用 小时
【详解】试题分析：首先求出平路的长度，由“在平路上骑车速度是每小时25千米”，可求出在平路上的时间，进而求出行完全程用了多长时间．
解答：解：平路的长度：60×=20（千米）
平路的时间：20÷25=（小时）
他行完全程用的时间：=（小时）
答：他行完全程用 小时．
点评：此题条件比较多，理解题意是关键，除了用到按比例分配的知识，还要掌握路程，速度，时间之间的关系．