专题17：比的应用综合（求比与按比例分配问题）“拓展版”-2023-2024学年六年级数学上册期末专项复习（人教版）

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“拓展版”
一、填空题。
1．有若干名教师和医生，他们的平均年龄为40岁，其中教师的平均年龄为35岁，医生的平均年龄为50岁，教师人数与医生人数的比是( )。
【答案】2∶1
【分析】首先假设教师人数为x人，医生人数为y，根据教师和医生的平均年龄为40岁，则医生和教师的总年龄岁数是40×（x＋y）；根据其中教师的平均年龄为35岁，医生的平均年龄为50岁，则教师和医生总年龄岁数是35x＋50y，这两种方式计算教师和医生的总年龄岁数值相等的，解得x∶y即为所求值。
【详解】解：设教师人数为x人，医生人数为y，
40×（x＋y）＝35×x＋50×y
40x＋40y＝35x＋50y
40x－35x＝50y－40y
5x＝10y
5x÷5＝10y÷5
x＝2y
即教师人数的医生人数的2倍，所以教师人数与医生人数的比是2∶1。
【点睛】解决本题的关键是找到满足条件的等量关系式，进而列出方程求解。
2．修一条路，甲队单独修要6天完成，乙队独修要10天完成，甲、乙两队工作效率的比是( )∶( )。两队合修，完工时甲队修了这条路的( )。
【答案】 5 3
【分析】把修这条路的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两队的工作效率，根据比的意义，写出甲、乙两队工作效率的比，并化简比；
两队合修，根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，求出两队合修的天数，再用甲队的工作效率乘合修的天数，即可求出完工时甲队修了这条路的几分之几。
【详解】1÷6＝
1÷10＝
∶
＝（×30）∶（×30）
＝5∶3
甲、乙两队工作效率的比是5∶3。
1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
×＝
两队合修，完工时甲队修了这条路的。
【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。
3．平行四边形的面积是32cm2（如图），甲、乙底边的比是3∶2，甲、乙、丙的面积比是( )，其中乙三角形的面积是( ) cm2。
【答案】 3∶2∶5 6.4
【分析】已知甲、乙底边的比是3∶2，且甲、乙两个三角形的高相等，根据三角形的面积＝底×高÷2，得出甲、乙的面积比等于它们的底边比3∶2，即甲的面积占3份，乙的面积占2份，一共是（3＋2）份；
从图中可知，甲、乙的面积之和等于丙的面积，则丙的面积是（3＋2）份；根据比的意义，写出甲、乙、丙的面积比是3∶2∶5；
从图中可知，甲、乙、丙三个三角形的面积相加等于平行四边形的面积32cm2，乙的面积占面积之和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出乙的面积。
【详解】3∶2∶（3＋2）＝3∶2∶5
32×＝6.4（cm2）
甲、乙、丙的面积比是3∶2∶5，其中乙三角形的面积是6.4cm2。
【点睛】本题考查比的意义以及按比分配问题，结合图形中三个三角形与平行四边形面积之间的关系，求出甲、乙、丙的面积比；再运用按比分配的解答方法，得出乙占总面积的几分之几，根据分数乘法的意义解答。
4．两只蜗牛在比赛爬行（如图所示，单位cm），甲爬外面的路线花了6分钟，乙爬里面的路线花了5分钟。甲、乙蜗牛爬行的路程比是( )∶( )，甲蜗牛的速度是乙蜗牛的( )。
【答案】 1 1
【分析】（1）观察图形可知，甲爬外面的路线是一个直径为（2＋4）cm的圆周长的一半，乙爬里面的路线是直径为2cm和直径为4cm的两个圆周长的一半之和；根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算，分别求出甲、乙蜗牛爬行的路程，再根据比的意义写出它们的比，并化简比；
（2）由上一题可知，甲、乙蜗牛爬行的路程相等，把它们爬行的路程看作单位“1”，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出甲、乙蜗牛爬行的速度，再用甲蜗牛的速度除以乙蜗牛的速度，即可求出甲蜗牛的速度是乙蜗牛的几分之几。
【详解】（1）甲蜗牛爬行的路程：
3.14×（2＋4）÷2
＝3.14×6÷2
＝18.84÷2
＝9.42（cm）
乙蜗牛爬行的路程：
3.14×2÷2＋3.14×4÷2
＝6.28÷2＋12.56÷2
＝3.14＋6.28
＝9.42（cm）
9.42∶9.42＝1∶1
甲、乙蜗牛爬行的路程比是1∶1。
（2）甲蜗牛的速度：1÷6＝
乙蜗牛的速度：1÷5＝
÷
＝×5
＝
甲蜗牛的速度是乙蜗牛的。
【点睛】（1）先根据圆的周长公式求出甲、乙蜗牛的路程，再根据比的意义以及化简比解答；
（2）先根据速度、时间、路程之间的关系得出甲、乙蜗牛的速度，再根据求一个数是另一个数的几分之分，用除法计算。
5．甲乙两数的比是1∶3，如果甲减少2后，甲与乙的比是1∶5，甲数原来是( )。
【答案】5
【分析】由原来甲乙两数的比是1∶3，可知甲是乙的，再根据甲减去2后，甲与乙的比是1∶5，可知现在甲是乙的，那么2对应的分率就是乙的（－），除法计算先求得乙数，进而求得甲数。
【详解】2÷（－）
＝2÷（－）
＝2÷
＝15
15×＝5
【点睛】解答此题关键是先求出具体的数量2对应的乙数的分率，先求得乙数，进而求得甲数。
6．一杯糖水中糖占糖水的，如果加入20克糖后，糖与水的比是3∶17，原来有糖水( )克。
【答案】340
【分析】根据题意，原来糖占糖水的，可知原来糖与水的比是1∶（10－1）＝1∶9，加入糖后，糖与水的比是3∶17，因为水的重量没变，份数应相同，所以1∶9＝17∶153，3∶17＝27∶153，20克糖对应的份数是：27－17＝10份，求出一份的数量，再乘原来的总份数（17＋153）即可
；据此解答。
【详解】根据分析，1∶（10－1）＝1∶9＝17∶153
3∶17＝27∶153
20÷（27－17）
＝20÷10
＝2（克）
2×（17＋153）
＝2×170
＝340（克）
所以，原来有糖水340克。
【点睛】此题考查了比与分数的转换应用，关键能够结合条件找出出一份的数量再求原来的总数。
7．甲仓库存粮70吨，乙仓库存粮80吨，从甲仓库运出( )吨给乙仓库，才能使甲、乙仓库粮食的质量比是1∶2。
【答案】20
【分析】把两个仓库存粮的总吨数看作单位“1”，从甲仓库运出若干吨给乙仓库后，甲、乙仓库粮食的质量比是1∶2，即后来甲仓库存粮吨数占总吨数的，根据求一个数的几分之几是多少，用总吨数乘，即可求出后来甲仓库存粮吨数，再用原来甲仓库存粮吨数减去后来的吨数，即可求解。
【详解】（70＋80）×
＝150×
＝50（吨）
70－50＝20（吨）
从甲仓库运出20吨给乙仓库，才能使甲、乙仓库粮食的质量比是1∶2。
【点睛】抓住两个仓库存粮总吨数不变，看作单位“1”，把比转化成分数，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求出后来甲仓库存粮吨数是解题的关键。
8．有三个袋子（分别为一号袋、二号袋、三号袋）共装了118个球，其中一号袋球的数量与二号袋的数量比是3∶4，二号袋球的数量与三号袋的数量比是5∶6，一号袋球有( )个，二号袋球有( )个，三号袋球有( )个。
【答案】 30 40 48
【分析】（1）求出三个袋子里球的数量的连比。因为题目中的两个比都与二号袋的数量有关，4和5的最小公倍数是20，所以把3∶4化为15∶20，5∶6化为20∶24，即一号袋球的数量∶二号袋球的数量∶三号袋球的数量＝15∶20∶24。
（2）把118个按15∶20∶24分配。先求出总份数；再求出每份有多少个球；最后求出15份、20份和24份各有多少个球。
【详解】3∶4＝（3×5）∶（4×5）＝15∶20
5∶6＝（5×4）∶（6×4）＝20∶24
一号袋球的数量∶二号袋球的数量∶三号袋球的数量＝15∶20∶24
15＋20＋24＝59（份）
118÷59＝2（个）
一号袋球的数量：2×15＝30（个）
二号袋球的数量：2×20＝40（个）
三号袋球的数量：2×24＝48（个）
所以一号袋球有30个，二号袋球有40个，三号袋球有48个。
【点睛】解决此题的关键是找到三个数的连比。
9．某超市有一批大米，第一天卖出，第二天卖出1吨，这时剩下的正好是卖出的。原来这批大米一共有( )吨。
【答案】2
【分析】剩下的正好是卖出的，即剩下的与卖出的比是1∶5，所以剩下的占这批大米的。原来这批大米的总质量是单位“1”，求原来这批大米的总质量，求单位“1”用除法解答，即已知量÷已知量所对应的分率＝单位“1”的量。1吨所对应的分率是1－－，所以列式为1÷（1－－）。
【详解】1÷（1－－）
＝1÷（－）
＝1÷（－）
＝1÷
＝1÷
＝1×2
＝2（吨）
所以原来这批大米一共有2吨。
【点睛】根据分数与比的关系，解决较复杂的实际问题时分数和比可以互相转化。
10．如图，小红和小丽两个小朋友在一块正方形地上玩游戏。小红在A点，小丽在C点，她们同时出发，在距离D点3.5米处的E点相遇。已知小红和小丽的速度比是，这个正方形的周长是( )米。
【答案】84
【分析】根据题意，已知小红和小丽的速度比是，设小红行了两条边长之和的，小丽行了两条边长之和的，在距离D点3.5米处的点相遇，小红比小丽多行了米，所对应的分率是，根据分数除法的意义，即可得出长和宽，再进一步解答即可。
【详解】
（米）
（米）
【点睛】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答。
二、解答题。
11．修路队要修一条长600米的公路，已经修好了全长的，剩余的任务按分给甲、乙两个修路队，甲修路队要修多少米？
【答案】250米
【分析】将公路全长看作单位“1”，已经修好了全长的，剩下全长的（1－），公路全长×剩下的对应分率＝剩余长度，剩余长度÷总份数＝一份数，一份数乘甲修路队对应份数，即可求出甲修路队要修的长度。
【详解】600×（1－）
＝600×
＝450（米）
450÷（5＋4）×5
＝450÷9×5
＝250（米）
答：甲修路队要修250米。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法和比的意义。
12．某种混合肥由氮肥、磷肥、钾肥按7∶5∶3的比例配制而成。如果每公顷土地施用这种混合肥90千克，施用20公顷土地需要氮肥、磷肥、钾肥各多少千克？
【答案】氮肥840千克；磷肥600千克；钾肥360千克
【分析】先用乘法求出施用20公顷土地需要混合肥的质量，氮肥质量占混合肥质量的，磷肥质量占混合肥质量的，钾肥质量占混合肥质量的，最后用分数乘法求出三种肥料各多少千克，据此解答。
【详解】90×20＝1800（千克）
氮肥：1800×
＝1800×
＝840（千克）
磷肥：1800×
＝1800×
＝600（千克）
钾肥：1800×
＝1800×
＝360（千克）
答：施用20公顷土地需要氮肥840千克，磷肥600千克，钾肥360千克。
【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。
13．一个长方体的棱长总和是168厘米，长、宽、高的比是，求这个长方体的表面积。
【答案】1008平方厘米
【分析】棱长总和÷4＝长宽高的和，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高对应份数，求出长、宽、高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可。
【详解】168÷4÷（4＋2＋1）
＝42÷7
＝6（厘米）
6×4＝24（厘米）
6×2＝12（厘米）
6×1＝6（厘米）
（24×12＋24×6＋12×6）×2
＝（288＋144＋72）×2
＝504×2
＝1008（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是1008平方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体棱长总和公式和长方体表面积公式，理解比的意义。
14．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇点距中点320米。已知甲的速度是乙速度的，甲每分钟行800米。求A、B两地的路程？
【答案】7040米
【分析】把两地之间的总路程看作单位“1”，甲、乙两车的行驶时间相同，则两车的路程比等于速度比，甲、乙两车行驶的路程比为5∶6，相遇时甲车行驶的路程占总路程的，乙车行驶的路程占总路程的，相遇点距中点320米，那么相遇时乙车比甲车多行驶（320×2）米，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出总路程，据此解答。
【详解】320×2÷（－）
＝320×2÷（－）
＝320×2÷
＝640÷
＝640×11
＝7040（米）
答：A、B两地的路程是7040米。
【点睛】理解相同时间内路程比等于速度比，并找出量和对应的分率是解答题目的关键。
15．汉服是传承四千多年的传统民族服装，以清淡平易为主，讲究天人合一。某服装厂生产一批汉服，生产20天，已完成的与未完成的套数比是1∶2。如果再生产600套，已完成的比未完成的少，这批汉服有多少套？
【答案】9000套
【分析】设这批汉服一共有x套，已完成的与未完成的套数比是1∶2，则已完成占总套数的，未完成的占总套数的，所以已完成的套数是x×套，未完成的套数是x×套；如果再生产600套，已完成的套数加600套，未完成的套数减去600套，再根据等量关系：已完成的套数＝未完成的套数×（1－），列方程解答即可。
【详解】解：设这批汉服有x套，
x×＋600＝（x×－600）×（1－）
x＋600＝（x－600）×
x＋600＝x×－600×
x＋600＝x－400
600＋400＝x－x
1000＝x－x
x＝1000
x＝1000÷
x＝1000×9
x＝9000
答：这批汉服有9000套。
【点睛】此题的解题关键是根据比的应用，把这批汉服的总套数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
16．东方学校花绳队原来女生和男生的人数比是2∶1，后来又加入了6名男生，现在男生人数是总人数的。现在花绳队有男生多少人？
【答案】16人
【分析】根据题意，原来女生和男生的人数比是2∶1可知，原来男生人数占总人数的；后来又加入了6名男生，现在男生人数是总人数的；据此得出等量关系：原来的总人数×＋后来又加入的男生人数＝现在的总人数×，据此列出方程，并求解，求出原来的总人数；用原来的总人数乘，求出原来男生人数，再加上6，即可求出现在男生人数。
【详解】解：设东方学校花绳队原来有人。
现在男生有：
（人）
答：现在花绳队有男生16人。
【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
17．张丽三天看完一本小说，第一天看了全书的，第二天看的与第一天看的页数的比是6∶5。第三天看了72页。这本书共有多少页？
【答案】160页
【分析】已知第一天看了全书的，第二天看的与第一天看的页数的比是6∶5，即第二天看的页数是第一天的，根据求一个数的几分之几是多少，用×＝，求出第二天看了全书的；
把这本书的总页数看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去第一天、第二天看的页数占总页数的分率，求出第三天看的页数占总页数的（1－－），也就是72页占总页数的（1－－），单位“1”未知，用除以计算，即可求出这本书的总页数。
【详解】×＝
72÷（1－－）
＝72÷（－）
＝72÷（－）
＝72÷
＝72×
＝160（页）
答：这本书共有160页。
【点睛】先把比转化成分数，然后根据分数乘法的意义求出第二天看的页数占全书的几分之几，再把这本书的总页数看作单位“1”，单位“1”未知，找出72页占总页数的分率，根据分数除法的意义列式计算即可得解。
18．学校运动会上，五（1）班共获奖牌34枚，其中金牌和银牌的数量比是1∶3，银牌和铜牌的数量比是2∶3，五（1）班金、银、铜牌各获得多少枚？
【答案】金牌4枚；银牌12枚；铜牌18枚
【分析】根据题意，金牌和银牌的数量比是1∶3，银牌和铜牌的数量比是2∶3，求出金牌∶银牌∶铜牌＝2∶6∶9，即一共是（2＋6＋9）份；用五（1）班共获奖牌的总数除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘金、银、铜牌的份数，即可求出金、银、铜牌的数量。
【详解】金牌∶银牌＝1∶3＝（1×2）∶（3×2）＝2∶6
银牌∶铜牌＝2∶3＝（2×3）∶（3×3）＝6∶9
金牌∶银牌∶铜牌＝2∶6∶9
一份数：
34÷（2＋6＋9）
＝34÷17
＝2（枚）
金牌：2×2＝4（枚）
银牌：2×6＝12（枚）
铜牌：2×9＝18（枚）
答：五（1）班获得金牌4枚、银牌12枚、铜牌18枚。
【点睛】本题考查按比分配问题，根据金牌和银牌的数量比、银牌和铜牌的数量比，运用比的基本性质，求出金、银、铜牌的连比，再把比看作份数，求出一份数是解题的关键。
19．学校体育室排球与足球个数的比是，足球与篮球个数的比是，已知篮球与排球共有69个，学校体育室篮球、排球、足球各有多少个？
【答案】篮球42个；排球27个；足球30个
【分析】根据比的基本性质，将足球份数统一成10，则篮球的份数是14，根据比的意义，篮球与排球总个数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘篮球、排球、足球对应份数，即可求出篮球、排球、足球的个数。
【详解】＝10∶14
排球∶足球∶篮球＝9∶10∶14
69÷（9＋14）
＝69÷23
＝3（个）
3×14＝42（个）
3×9＝27（个）
3×10＝30（个）
答：学校体育室篮球、排球、足球各有42个、27个、30个。
【点睛】关键是理解比的意义，将两个比进行统一是解答本题的关键。
20．甲、乙两车同时在A、B两地相对开出，甲车和乙车的速度比是5∶3，两车在距中点40千米处相遇。A、B两地相距多少千米？
【答案】320千米
【分析】根据“甲车和乙车的速度比是5∶3”可知，相遇时甲车和乙车的路程之比也是5∶3，则相遇时甲车比乙车多（5－3）份，已知两车在距中点40千米处相遇，那么甲车比乙车多行（40×2）千米；用甲车比乙车多行的路程除以甲车比乙车多的份数，求出一份数，再用一份数乘总份数（5＋3）份，即可求出A、B两地的距离。
【详解】一份数：
（40×2）÷（5－3）
＝80÷2
＝40（千米）
全程：
40×（5＋3）
＝40×8
＝320（千米）
答：A、B两地相距320千米。
【点睛】本题考查比的应用，根据行驶的时间一定，两车的路程比等于速度比，找出相遇时甲车比乙车多行的路程以及多的份数，进而求出一份数是解题的关键。