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2023-2024学年河南省新乡市辉县市九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省新乡市辉县市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k＜4且 k≠0
C．k≥﹣4且k≠0D．k≤﹣4且 k≠0
5．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
6．探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确
7．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
8．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．1
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD＝6，则AG的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝ ．
13．将一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 ．
14．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm，则AP的长度为 cm．
15．如图，在等边三角形ABC中，AC＝4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD＝BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC 重叠部分的面积是△DEG 面积的时，△DEB 平移的距离为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解方程：
（1）x（x﹣5）＝15﹣3x．
（2）4（2x+1）2＝9（x﹣3）2．
（3）3x2＝2（2﹣x）．
17．（1）计算：．
（2）化简：．
18．如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形△A1B1C1；
（2）以点（0，2）为位似中心，位似比为2，将△A1B1C1放大，在y轴右侧放大后的图形△A2B2C2（3）填空：△A2B2C2面积为 ．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y＝x1﹣x2，求y与m的函数关系式．
20．如图，已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD＝4，CD＝3，求AE的长．
21．如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝1.4m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
22．山西平遥古城吸引着全国各地的游客前来游玩．某纪念品商店购进一批纪念品进行销售，购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元．
（1）求单个甲种纪念品和乙种纪念品的进价．
（2）店员小丽追踪乙商品销售情况，发现当乙种纪念品售价为60元时，每天能卖出100件，每个乙纪念品每涨价1元，就少售出2件．某天商店将乙种纪念品涨价m元，且相关部门规定乙种纪念品售价不得超过75元，若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，求销售乙种纪念品的数量．
23．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，可以采用如图（1）的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图（2），在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，重新拼成一个完整的三角形，并画出来．（不用剪开，作图即可）
猜想证明
如图（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？请结合“实践操作”完成猜想的证明．
知识运用
（1）已知梯形的中位线长为5cm，高为6cm，则梯形面积是 cm2；
（2）直线l为▱ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段AF、BE、CG、DH，线段AF、BE、CG、DH之间的数量关系为 ．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）.
1．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案．
解：根据题意得：x≥0且，
解得：x≥0且x≠1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的运算法则逐一判断即可求解．
解：A．，故A选项符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10
【分析】根据三角形三边关系定理求出3＜n＜7，再根据二次根式的性质和绝对值得出+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n，再合并同类项即可．
解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，
∴5﹣2＜n＜5+2，
∴3＜n＜7，
∴+|8﹣n|
＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k＜4且 k≠0
C．k≥﹣4且k≠0D．k≤﹣4且 k≠0
【分析】根据一元二次方程中：Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＜0，方程没有实数根；从而得到关于k的不等式，解不等式，同时k≠0，即可求解．
解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝＝32﹣8k，
∵原方程两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣8k＞0，
解得：k＜4，
∵k≠0，
∴k＜4且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键．
5．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
【分析】由周瑜逝世时的年龄的十位数字与个位数字间的关系，可得出周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3），结合周瑜逝世时的年龄的个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，且十位数字比个位数字小3，
∴周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3）．
根据题意得：10（x﹣3）+x＝x2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确
【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断．
解：Δ＝b2+4a，
若a、b同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程总有实数根；
若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根；
若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【分析】分别求出4个图形中的每个三角形的边长，通过三角形三边的比是否相等就可以判断出结论，从而得出正确答案．
解：①三边长为：1，，；
②三边长为：，2，；
③三边长为：1，，2；
④三边长为：2，，；
则可得①和②三边成比例，故一定相似的是①和②．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题需要我们熟练运用勾股定理，掌握相似三角形的判定定理，难度一般．
8．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．
解：取AB的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝×3＝，
∴△EFB∽△EOM，
∴＝，
∵AB＝5，BE＝AB，
∴BE＝2，BM＝，
∴EM＝+2＝，
∴，
∴BF＝，
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD＝6，则AG的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据D、E分别是边BC、AC的中点，AD、BE相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长．
解：∵D、E分别是边BC、AC的中点，AD、BE相交于G，
∴G为△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∵AD＝6，
∴AG＝4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形重心的性质，根据已知得出G为△ABC的重心是解决问题的关键．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
10．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到＝＝＝2，然后用待定系数法即可．
解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝＝，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 （答案不唯一） ．
【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
解：∵＝2，
∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．将一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 7 ．
【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解a，b的值，从而可得答案．
解：∵x2﹣8x+5＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣5，
∴x2﹣8x+16＝11，
∴（x﹣4）2＝11，
∴a＝﹣4，b＝11，
∴a+b＝7，
故答案为：7．
【点评】此题考查的是解一元二次方程﹣配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．
14．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm，则AP的长度为 cm．
【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可．
解：∵P为的黄金分割点，AP＞PB，
∴，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键
15．如图，在等边三角形ABC中，AC＝4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD＝BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC 重叠部分的面积是△DEG 面积的时，△DEB 平移的距离为 或6﹣ ．
【分析】先求出BE＝BD＝2，∠BDE＝30°，再分两种情况进行讨论：
①当DE与AB交于点F时，则，然后证△DBF和△DEG相似，根据相似三角形的性质得，由此得，进而得，据此可求出△DEB平移的距离；
②当DE与AC交于点H时，则，过点G作GM⊥DE于点M，则，由此得，然后证△DCH和△DGM相似，根据相似三角形的性质得，由此得，进而得，据此可求出△DEB平移的距离．
解：∵AB＝4，点E为AB的中点，BD＝BE，
∴，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝120°，
又BD＝BE＝2，
∴∠BDE＝30°，
分两种情况进行讨论：
①当DE与AB交于点F时，重叠部分为四边形BFEG，如图：
∵重叠部分的面积是△DEG面积的，
∴，
由平移的性质得：BF∥GE，GE＝DG＝2，
∴△DBF∽△DEG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△DEB平移的距离为；
②当DE与AC交于点H时，重叠部分为△CDH，
∴，
过点G作GM⊥DE于点M，
∵DG＝GE＝2，
∴，
∴，
由平移的性质得：∠GDE＝30°，
又∵∠ACB＝60，
∴∠CHD＝90°，即CH⊥DE，
∴CH∥GM，
∴△DCH∽△DGM，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BG＝BC+CG＝4+2﹣＝6﹣
∴△DEB平移的距离为6﹣．
综上所述△DEB平移的距离为或6﹣．
故答案为：或6﹣．
【点评】此题主要考查了图形的平移变换及性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的平移变换及性质，理解相似三角形面积之比等于相似比的平方，难点是分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解方程：
（1）x（x﹣5）＝15﹣3x．
（2）4（2x+1）2＝9（x﹣3）2．
（3）3x2＝2（2﹣x）．
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用公式法即可求解．
解：（1）移项，得：x2﹣2x﹣15＝0，
分解因式，得（x﹣5）（x+3）＝0，
即：x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
（2）移项得：4（2x+1）2﹣9（x﹣3）2＝0，
因式分解得：[2（2x+1）+3（x﹣3）][2（2x+1）﹣3（x﹣3）]＝0，即：（7x﹣7）（x+11）＝0，
即7x﹣7＝0或x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣11．
（3）方程整理得：3x2+2x﹣4＝0，
∵a＝3，b＝2，c＝﹣4，
∴Δ＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
∴，
解得：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法及公式法解一元二次方程是解题的关键．
17．（1）计算：．
（2）化简：．
【分析】（1）根据实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂的运算法则即可求解；
（2）利用分式混合运算的法则进行计算即可．
解：（1）原式＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、分式的化简，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
18．如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形△A1B1C1；
（2）以点（0，2）为位似中心，位似比为2，将△A1B1C1放大，在y轴右侧放大后的图形△A2B2C2（3）填空：△A2B2C2面积为 6 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）平移后的图形△A1B1C1如图所示．
（2）放大后的图形△A2B2C2如图所示．△A2B2C2面积＝4×4﹣×2×2﹣2××2×4＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，作图﹣平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y＝x1﹣x2，求y与m的函数关系式．
【分析】（1）先计算判别式得到Δ＝（2m+1）2﹣4×2m，再根据非负数的意义及已知条件得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先解出方程的两个根，x1＝2m，x2＝1，判定根的大小，代入原式即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（2m+1）2﹣4×2m＝4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，
∵m＞1，
∴（2m﹣1）2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m+1）x+2m＝0，
∴（x﹣2m）（x﹣1）＝0，
∴方程的两个根分别为2m和1．
∵m＞1，
∴2m＞2．
又x1＞x2，
∴x1＝2m，x2＝1，
∴y＝x1﹣x2＝2m﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
20．如图，已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD＝4，CD＝3，求AE的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证△ABD∽△ACB；
（2）由相似三角形的性质可得，将AD＝4，CD＝3代入可求解．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB；
（2）解：∵△ABD∽△ACB，
∴，
又∵AB＝AE，
∴AE2＝AD•AC＝4•（4+3）＝28，
∴AE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ABD∽△ACB是本题的关键．
21．如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝1.4m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
解：过D作DE∥BC交AB于点E，如图所示：
设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为1.2m，墙上的影高CD为1.5m，
∴＝，
解得：x＝1.68（m），
∴树的影长为：1.68+4.8＝6.48（m），
∴＝，
解得：h＝5.4．
答：树高为5.4m．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用；解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．
22．山西平遥古城吸引着全国各地的游客前来游玩．某纪念品商店购进一批纪念品进行销售，购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元．
（1）求单个甲种纪念品和乙种纪念品的进价．
（2）店员小丽追踪乙商品销售情况，发现当乙种纪念品售价为60元时，每天能卖出100件，每个乙纪念品每涨价1元，就少售出2件．某天商店将乙种纪念品涨价m元，且相关部门规定乙种纪念品售价不得超过75元，若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，求销售乙种纪念品的数量．
【分析】（1）设单个甲种纪念品的进价为x元，单个乙种纪念品的进价为y元，根据“购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出结论；
（2）当商店将乙种纪念品涨价m元时，每个乙种纪念品的销售利润为（60+m﹣50）元，每天能卖出（100﹣2m）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，将其符合题意的值代入（100﹣2m）中，即可求出结论．
解：（1）设单个甲种纪念品的进价为x元，单个乙种纪念品的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：单个甲种纪念品的进价为30元，单个乙种纪念品的进价为50元；
（2）当商店将乙种纪念品涨价m元时，每个乙种纪念品的销售利润为（60+m﹣50）元，每天能卖出（100﹣2m）个，
根据题意得：（60+m﹣50）（100﹣2m）＝1600，
整理得：m2﹣40m+300＝0，
解得：m1＝10，m2＝30，
当m＝10时，60+m＝60+10＝70＜75，符合题意，此时100﹣2m＝100﹣2×10＝80；
当m＝30时，60+m＝60+30＝90＞75，不符合题意，舍去．
答：当天销售乙种纪念品的数量为80个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，可以采用如图（1）的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图（2），在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，重新拼成一个完整的三角形，并画出来．（不用剪开，作图即可）
猜想证明
如图（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？请结合“实践操作”完成猜想的证明．
知识运用
（1）已知梯形的中位线长为5cm，高为6cm，则梯形面积是 30 cm2；
（2）直线l为▱ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段AF、BE、CG、DH，线段AF、BE、CG、DH之间的数量关系为 BE+DH＝AF+CG ．
【分析】实践操作：梯形ABCD沿着AF剪开，F是腰DC的中点，将点D和点C重合即可求得；
猜想证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M，根据题意可证明△ADF≌△MCF，则有AD＝MC和AF＝MF，结合三角形中位线定理即可证明EF∥AD∥BC和；
知识运用：（1）根据梯形面积公式和梯形中位线定理即可求得答案；（2）连接AC和BD交于点O，过点O作OJ⊥l交l于点J，四边形ABCD为平行四边形，则有O为AC和BD的中点，由于四边形AFGC为梯形，得到OJ为梯形AFGC的中位线，则，同理，得到成立BE+DH＝AF+CG．
【解答】实践操作：
解：如图②所示，△ABM即为所作．
猜想：EF∥AD∥BC，．
连接AF并延长，交BC延长线于点M，如图③，
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠DAF．
∵F是DC的中点，
∴DF＝CF．
又∵∠AFD＝∠MFC，
∴△ADF≌△MCF（AAS）．
∴AD＝MC，AF＝MF．
∴点F是AM的中点，又点E是AB的中点，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BM，．
∴．
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴EF∥AD．
∴EF∥AD∥BC，．
知识运用：（1）根据梯形中位线定理得上底加下底等于两倍的中位线，结合梯形面积公式得：
；
故答案为：30；
（2）BE+HD＝AF+CG，
连接AC和BD交于点O，过点O作OJ⊥l交l于点J，如图（3），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O为AC和BD的中点，
∵AF⊥l，CG⊥l，
∴四边形AFGC为梯形，
∴OJ为梯形AFGC的中位线，
则，
同理四边形BEHD为梯形，则，
那么，BE+DH＝AF+CG．
故答案为：BE+DH＝AF+CG．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、梯形中位线定理和梯形的面积公式，解题的关键是利用已证的结论求解后续问题，并作辅助线构造梯形利用中位线．
1．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k＜4且 k≠0
C．k≥﹣4且k≠0D．k≤﹣4且 k≠0
5．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
6．探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确
7．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
8．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．1
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD＝6，则AG的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝ ．
13．将一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 ．
14．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm，则AP的长度为 cm．
15．如图，在等边三角形ABC中，AC＝4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD＝BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC 重叠部分的面积是△DEG 面积的时，△DEB 平移的距离为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解方程：
（1）x（x﹣5）＝15﹣3x．
（2）4（2x+1）2＝9（x﹣3）2．
（3）3x2＝2（2﹣x）．
17．（1）计算：．
（2）化简：．
18．如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形△A1B1C1；
（2）以点（0，2）为位似中心，位似比为2，将△A1B1C1放大，在y轴右侧放大后的图形△A2B2C2（3）填空：△A2B2C2面积为 ．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y＝x1﹣x2，求y与m的函数关系式．
20．如图，已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD＝4，CD＝3，求AE的长．
21．如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝1.4m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
22．山西平遥古城吸引着全国各地的游客前来游玩．某纪念品商店购进一批纪念品进行销售，购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元．
（1）求单个甲种纪念品和乙种纪念品的进价．
（2）店员小丽追踪乙商品销售情况，发现当乙种纪念品售价为60元时，每天能卖出100件，每个乙纪念品每涨价1元，就少售出2件．某天商店将乙种纪念品涨价m元，且相关部门规定乙种纪念品售价不得超过75元，若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，求销售乙种纪念品的数量．
23．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，可以采用如图（1）的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图（2），在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，重新拼成一个完整的三角形，并画出来．（不用剪开，作图即可）
猜想证明
如图（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？请结合“实践操作”完成猜想的证明．
知识运用
（1）已知梯形的中位线长为5cm，高为6cm，则梯形面积是 cm2；
（2）直线l为▱ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段AF、BE、CG、DH，线段AF、BE、CG、DH之间的数量关系为 ．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）.
1．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案．
解：根据题意得：x≥0且，
解得：x≥0且x≠1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的运算法则逐一判断即可求解．
解：A．，故A选项符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10
【分析】根据三角形三边关系定理求出3＜n＜7，再根据二次根式的性质和绝对值得出+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n，再合并同类项即可．
解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，
∴5﹣2＜n＜5+2，
∴3＜n＜7，
∴+|8﹣n|
＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k＜4且 k≠0
C．k≥﹣4且k≠0D．k≤﹣4且 k≠0
【分析】根据一元二次方程中：Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＜0，方程没有实数根；从而得到关于k的不等式，解不等式，同时k≠0，即可求解．
解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝＝32﹣8k，
∵原方程两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣8k＞0，
解得：k＜4，
∵k≠0，
∴k＜4且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键．
5．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
【分析】由周瑜逝世时的年龄的十位数字与个位数字间的关系，可得出周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3），结合周瑜逝世时的年龄的个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，且十位数字比个位数字小3，
∴周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3）．
根据题意得：10（x﹣3）+x＝x2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确
【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断．
解：Δ＝b2+4a，
若a、b同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程总有实数根；
若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根；
若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【分析】分别求出4个图形中的每个三角形的边长，通过三角形三边的比是否相等就可以判断出结论，从而得出正确答案．
解：①三边长为：1，，；
②三边长为：，2，；
③三边长为：1，，2；
④三边长为：2，，；
则可得①和②三边成比例，故一定相似的是①和②．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题需要我们熟练运用勾股定理，掌握相似三角形的判定定理，难度一般．
8．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．
解：取AB的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝×3＝，
∴△EFB∽△EOM，
∴＝，
∵AB＝5，BE＝AB，
∴BE＝2，BM＝，
∴EM＝+2＝，
∴，
∴BF＝，
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD＝6，则AG的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据D、E分别是边BC、AC的中点，AD、BE相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长．
解：∵D、E分别是边BC、AC的中点，AD、BE相交于G，
∴G为△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∵AD＝6，
∴AG＝4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形重心的性质，根据已知得出G为△ABC的重心是解决问题的关键．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
10．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到＝＝＝2，然后用待定系数法即可．
解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝＝，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 （答案不唯一） ．
【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
解：∵＝2，
∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．将一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 7 ．
【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解a，b的值，从而可得答案．
解：∵x2﹣8x+5＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣5，
∴x2﹣8x+16＝11，
∴（x﹣4）2＝11，
∴a＝﹣4，b＝11，
∴a+b＝7，
故答案为：7．
【点评】此题考查的是解一元二次方程﹣配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．
14．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm，则AP的长度为 cm．
【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可．
解：∵P为的黄金分割点，AP＞PB，
∴，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键
15．如图，在等边三角形ABC中，AC＝4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD＝BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC 重叠部分的面积是△DEG 面积的时，△DEB 平移的距离为 或6﹣ ．
【分析】先求出BE＝BD＝2，∠BDE＝30°，再分两种情况进行讨论：
①当DE与AB交于点F时，则，然后证△DBF和△DEG相似，根据相似三角形的性质得，由此得，进而得，据此可求出△DEB平移的距离；
②当DE与AC交于点H时，则，过点G作GM⊥DE于点M，则，由此得，然后证△DCH和△DGM相似，根据相似三角形的性质得，由此得，进而得，据此可求出△DEB平移的距离．
解：∵AB＝4，点E为AB的中点，BD＝BE，
∴，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝120°，
又BD＝BE＝2，
∴∠BDE＝30°，
分两种情况进行讨论：
①当DE与AB交于点F时，重叠部分为四边形BFEG，如图：
∵重叠部分的面积是△DEG面积的，
∴，
由平移的性质得：BF∥GE，GE＝DG＝2，
∴△DBF∽△DEG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△DEB平移的距离为；
②当DE与AC交于点H时，重叠部分为△CDH，
∴，
过点G作GM⊥DE于点M，
∵DG＝GE＝2，
∴，
∴，
由平移的性质得：∠GDE＝30°，
又∵∠ACB＝60，
∴∠CHD＝90°，即CH⊥DE，
∴CH∥GM，
∴△DCH∽△DGM，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BG＝BC+CG＝4+2﹣＝6﹣
∴△DEB平移的距离为6﹣．
综上所述△DEB平移的距离为或6﹣．
故答案为：或6﹣．
【点评】此题主要考查了图形的平移变换及性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的平移变换及性质，理解相似三角形面积之比等于相似比的平方，难点是分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解方程：
（1）x（x﹣5）＝15﹣3x．
（2）4（2x+1）2＝9（x﹣3）2．
（3）3x2＝2（2﹣x）．
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用公式法即可求解．
解：（1）移项，得：x2﹣2x﹣15＝0，
分解因式，得（x﹣5）（x+3）＝0，
即：x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
（2）移项得：4（2x+1）2﹣9（x﹣3）2＝0，
因式分解得：[2（2x+1）+3（x﹣3）][2（2x+1）﹣3（x﹣3）]＝0，即：（7x﹣7）（x+11）＝0，
即7x﹣7＝0或x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣11．
（3）方程整理得：3x2+2x﹣4＝0，
∵a＝3，b＝2，c＝﹣4，
∴Δ＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
∴，
解得：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法及公式法解一元二次方程是解题的关键．
17．（1）计算：．
（2）化简：．
【分析】（1）根据实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂的运算法则即可求解；
（2）利用分式混合运算的法则进行计算即可．
解：（1）原式＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、分式的化简，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
18．如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形△A1B1C1；
（2）以点（0，2）为位似中心，位似比为2，将△A1B1C1放大，在y轴右侧放大后的图形△A2B2C2（3）填空：△A2B2C2面积为 6 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）平移后的图形△A1B1C1如图所示．
（2）放大后的图形△A2B2C2如图所示．△A2B2C2面积＝4×4﹣×2×2﹣2××2×4＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，作图﹣平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y＝x1﹣x2，求y与m的函数关系式．
【分析】（1）先计算判别式得到Δ＝（2m+1）2﹣4×2m，再根据非负数的意义及已知条件得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先解出方程的两个根，x1＝2m，x2＝1，判定根的大小，代入原式即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（2m+1）2﹣4×2m＝4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，
∵m＞1，
∴（2m﹣1）2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m+1）x+2m＝0，
∴（x﹣2m）（x﹣1）＝0，
∴方程的两个根分别为2m和1．
∵m＞1，
∴2m＞2．
又x1＞x2，
∴x1＝2m，x2＝1，
∴y＝x1﹣x2＝2m﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
20．如图，已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD＝4，CD＝3，求AE的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证△ABD∽△ACB；
（2）由相似三角形的性质可得，将AD＝4，CD＝3代入可求解．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB；
（2）解：∵△ABD∽△ACB，
∴，
又∵AB＝AE，
∴AE2＝AD•AC＝4•（4+3）＝28，
∴AE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ABD∽△ACB是本题的关键．
21．如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝1.4m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
解：过D作DE∥BC交AB于点E，如图所示：
设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为1.2m，墙上的影高CD为1.5m，
∴＝，
解得：x＝1.68（m），
∴树的影长为：1.68+4.8＝6.48（m），
∴＝，
解得：h＝5.4．
答：树高为5.4m．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用；解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．
22．山西平遥古城吸引着全国各地的游客前来游玩．某纪念品商店购进一批纪念品进行销售，购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元．
（1）求单个甲种纪念品和乙种纪念品的进价．
（2）店员小丽追踪乙商品销售情况，发现当乙种纪念品售价为60元时，每天能卖出100件，每个乙纪念品每涨价1元，就少售出2件．某天商店将乙种纪念品涨价m元，且相关部门规定乙种纪念品售价不得超过75元，若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，求销售乙种纪念品的数量．
【分析】（1）设单个甲种纪念品的进价为x元，单个乙种纪念品的进价为y元，根据“购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出结论；
（2）当商店将乙种纪念品涨价m元时，每个乙种纪念品的销售利润为（60+m﹣50）元，每天能卖出（100﹣2m）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，将其符合题意的值代入（100﹣2m）中，即可求出结论．
解：（1）设单个甲种纪念品的进价为x元，单个乙种纪念品的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：单个甲种纪念品的进价为30元，单个乙种纪念品的进价为50元；
（2）当商店将乙种纪念品涨价m元时，每个乙种纪念品的销售利润为（60+m﹣50）元，每天能卖出（100﹣2m）个，
根据题意得：（60+m﹣50）（100﹣2m）＝1600，
整理得：m2﹣40m+300＝0，
解得：m1＝10，m2＝30，
当m＝10时，60+m＝60+10＝70＜75，符合题意，此时100﹣2m＝100﹣2×10＝80；
当m＝30时，60+m＝60+30＝90＞75，不符合题意，舍去．
答：当天销售乙种纪念品的数量为80个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，可以采用如图（1）的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图（2），在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，重新拼成一个完整的三角形，并画出来．（不用剪开，作图即可）
猜想证明
如图（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？请结合“实践操作”完成猜想的证明．
知识运用
（1）已知梯形的中位线长为5cm，高为6cm，则梯形面积是 30 cm2；
（2）直线l为▱ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段AF、BE、CG、DH，线段AF、BE、CG、DH之间的数量关系为 BE+DH＝AF+CG ．
【分析】实践操作：梯形ABCD沿着AF剪开，F是腰DC的中点，将点D和点C重合即可求得；
猜想证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M，根据题意可证明△ADF≌△MCF，则有AD＝MC和AF＝MF，结合三角形中位线定理即可证明EF∥AD∥BC和；
知识运用：（1）根据梯形面积公式和梯形中位线定理即可求得答案；（2）连接AC和BD交于点O，过点O作OJ⊥l交l于点J，四边形ABCD为平行四边形，则有O为AC和BD的中点，由于四边形AFGC为梯形，得到OJ为梯形AFGC的中位线，则，同理，得到成立BE+DH＝AF+CG．
【解答】实践操作：
解：如图②所示，△ABM即为所作．
猜想：EF∥AD∥BC，．
连接AF并延长，交BC延长线于点M，如图③，
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠DAF．
∵F是DC的中点，
∴DF＝CF．
又∵∠AFD＝∠MFC，
∴△ADF≌△MCF（AAS）．
∴AD＝MC，AF＝MF．
∴点F是AM的中点，又点E是AB的中点，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BM，．
∴．
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴EF∥AD．
∴EF∥AD∥BC，．
知识运用：（1）根据梯形中位线定理得上底加下底等于两倍的中位线，结合梯形面积公式得：
；
故答案为：30；
（2）BE+HD＝AF+CG，
连接AC和BD交于点O，过点O作OJ⊥l交l于点J，如图（3），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O为AC和BD的中点，
∵AF⊥l，CG⊥l，
∴四边形AFGC为梯形，
∴OJ为梯形AFGC的中位线，
则，
同理四边形BEHD为梯形，则，
那么，BE+DH＝AF+CG．
故答案为：BE+DH＝AF+CG．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、梯形中位线定理和梯形的面积公式，解题的关键是利用已证的结论求解后续问题，并作辅助线构造梯形利用中位线．
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