2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0D．（a2+1）x2+bx+c＝0
2．用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）
A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0
B．x2﹣5x﹣4＝0化为
C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
4．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO＝2，BO＝3，CD＝6，则CO等于（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
5．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8B．9C．8或9D．12
6．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
7．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180D．461（1+x）2＝180
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．4
9．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）
A．6B．8C．12D．10
10．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3小题，共18分）
11．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 ．
12．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
13．如图，某单位准备在院内一块长30m、宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532m2，则小道进出口的宽度为 m．
14．已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 cm2．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是 ．
16．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22.0分）
17．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5．
18．小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．
19．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．
四.（每小题8分，共16分）
20．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段MN（MN最长可用25m），用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
（1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
（2）能否围成面积为210m2的矩形菜园？为什么？
21．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
五.（本题10分）
22．如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，让斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求树高AB．
六.（本题10分）
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
七、（本题12分）
24．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ＝∠ABC．
①若点P在线段CB上（如图），且BP＝6，求线段CQ的长；
②若BP＝x，CQ＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ＝90度．当CQ＝1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．
八.（本题12分）
25．如图，已知正方形ABCD的边长是2，点P沿A→B→C→D运动，到达点D停止．
（1）连接PD，设点运动的距离为x，请用x表示△APD的面积y（直接写出结果）；
（2）作DE⊥AP于点E．
①如图2，点P在线段BC上，将△APB沿AP翻折得到△APB′，连接B′D，求∠B′DE的度数；
②连接EC，若△CDE是等腰三角形，则DE＝ 直接写出结果．
参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0D．（a2+1）x2+bx+c＝0
【分析】找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程即可．
解：A、是分式方程，不合题意；
B、含有2个未知数，不合题意；
C、没有说明a的取值，不合题意；
D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，
故选：D．
【点评】考查一元二次方程的定义的运用；掌握一元二次方程的准确定义是解决本题的关键；注意a2+1一定是一个正数．
2．用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）
A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0
B．x2﹣5x﹣4＝0化为
C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
【分析】将各项中的方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解：A、x2+6x﹣7＝0，
移项得：x2+6x＝7，
配方得：x2+6x+9＝16，即（x+3）2＝16，本选项正确；
B、x2﹣5x﹣4＝0，
移项得：x2﹣5x＝4，
配方得：x2﹣5x+＝，即（x﹣）2＝，本选项错误；
C、x2+2x﹣99＝0，
移项得：x2+2x＝99，
配方得：x2+2x+1＝100，即（x+1）2＝100，本选项错误；
D、3x2﹣4x﹣2＝0，
方程化简得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，本选项错误，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
【分析】根据成比例线段的性质，即可求得答案．注意排除法的应用．
解：A、∵a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，∴＝，＝，，故本选项错误，不符合题意；
B、∵a＝1，b＝2，c＝2，d＝4，∴，故本选项正确，符合题意；
C、∵a＝4，b＝6，c＝5，d＝10，∴，，，故本选项错误，不符合题意；
D、∵a＝，b＝3，c＝2，d＝，∴＝，＝，，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记定理．
4．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO＝2，BO＝3，CD＝6，则CO等于（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CD的长度，求出CO的长度，即可解决问题．
解：如图，∵AD∥CB，
∴；
∵AO＝2，BO＝3，CD＝6，
∴，解得：CO＝3.6，
故选：C．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．应牢固掌握．
5．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8B．9C．8或9D．12
【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
解：当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，
∴Δ＝36﹣4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k＝9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，
∴4﹣12+k＝0，
∴k＝8，
此时另外一根为：x＝4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
6．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，故本选项不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项不符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为≈0.17，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180D．461（1+x）2＝180
【分析】利用4月份该厂家口罩产量＝2月份该厂家口罩产量×（1+从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得180（1+x）2＝461，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．4
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得﹣1+t＝2，然后解关于t的方程即可．
解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得﹣1+t＝2，
解得t＝3，
即方程的另一个根为3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
9．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）
A．6B．8C．12D．10
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
解：设这个多边形的最短边长为x，
∵两个多边形相似，
∴＝，
解得，x＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3小题，共18分）
11．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 x1＝3，x2＝1 ．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：移项得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
12．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
解：列表如下
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
13．如图，某单位准备在院内一块长30m、宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532m2，则小道进出口的宽度为 1 m．
【分析】设小道进出口的宽度为x m，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论．
解：设小道进出口的宽度为x m，
根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2x•x＝532，
整理，得：x2﹣35x+34＝0．
解得x＝1或34（舍去），
故答案为：1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
14．已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 5 cm2．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到斜边的长，再根据三角形面积公式计算即可解答．
解：根据题意可得：
直角三角形的斜边长为2.5×2＝5（cm），
∴其面积为： （cm2）．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是 （﹣1，） ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据点C的坐标求出OE、CE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形的性质可得OD＝CE，AD＝OE，然后写出点A的坐标即可．
解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵C点坐标为（，1），
∴OE＝，CE＝1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠AOD+∠COE＝90°
∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OD＝CE＝1，AD＝OE＝，
∴点A（﹣1，）；
故答案为：（﹣1，）．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
16．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 ．
【分析】连接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可．
解：连接AQ，作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴AQ＝CQ，
∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，
∵AB＝2，∠ABC＝45°，
∴AH＝，
∴CQ+PQ的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将CQ+PQ的最小值转化为AH的长是解题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22.0分）
17．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5．
【分析】先整理成一般式，再利用求根公式求解即可．
解：整理成一般式，得：x2﹣6x+5＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16＞0，
则x＝＝，
∴x1＝5，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．
【分析】先画出树状图展示所有可能的6种结果，找出取出红色水笔和白色橡皮占1种，然后根据概率的概念求解即可．
解：画树状图：
共有6种等可能的结果，其中取出红色水笔和白色橡皮占1种，
∴出红色水笔和白色橡皮配套的概率＝．
【点评】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P＝．
19．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．
【分析】（1）由CF＝BE，可得EF＝BC，即EF＝AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形；
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，可得CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，在Rt△CFD中，有，即可求解．
解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
∴EF＝BC，
∴EF＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，
∵BF＝16，
∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，
∵在矩形AEFD中，∠F＝90°，
∵DF＝8，
∴在Rt△CFD中，，
解得：CD＝10．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
四.（每小题8分，共16分）
20．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段MN（MN最长可用25m），用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
（1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
（2）能否围成面积为210m2的矩形菜园？为什么？
【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（40﹣2x）m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
（2）根据矩形花园的面积为210m2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣20＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为210m2的矩形花园．
解：（1）设当AB长度为x m时，矩形菜园的面积为150m2，
根据题意得：x（40﹣2x）＝150，
解得：x＝5或x＝15，
∵当x＝5时，40﹣2x＝30，不符合题意，
∴x＝5舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为150m2．
（2）不能围成，如果矩形菜园面积为210m2时，
则：2x2﹣40x+210＝0，Δ＝﹣80＜0方程没有实数根．
答：不能围成面积为210m2的菜园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
21．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【分析】设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP＝8﹣x，CQ＝2x，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：设经过x秒，两三角形相似，
则CP＝AC﹣AP＝8﹣x，CQ＝2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x＝4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x＝秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
【点评】本题主要利用相似三角形对应边成比例求解，因为对应边不明确，所以要分两种情况讨论求解．
五.（本题10分）
22．如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，让斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求树高AB．
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长，加上小明同学的身高即可求得树高AB．
解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵EF＝0.3，DE＝0.4，DC＝8，
∴，
∴BC＝6m，
∴AB＝AC+BC＝1.7+6＝7.7（m），
答：树高AB为7.7m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB．
六.（本题10分）
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
【分析】（1）当t＝1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
＝×﹣
＝×（10+2）×8﹣×10×4﹣
＝24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，FC＝8﹣4t，CG＝2t，
S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
＝×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG
＝×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t+8，解得t＝4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF＝4t﹣8，CG＝2t，
FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，
S＝FG•BC＝（8﹣2t）•8＝﹣8t+32．
即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若＝，即＝，
解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△FCG，
②若＝即＝，解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t＝或t＝时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．
七、（本题12分）
24．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ＝∠ABC．
①若点P在线段CB上（如图），且BP＝6，求线段CQ的长；
②若BP＝x，CQ＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ＝90度．当CQ＝1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．
【分析】（1）①求线段CQ的长，根据已知条件AB＝AC，∠APQ＝∠ABC知道，可以先证明△QCP∽△PBA，由比例关系式得出；
②要求y与x之间的函数关系式，函数的定义域，因为BP在线段CB上，或在CB的延长线上，根据实际情况证明△QCP∽△ABP，求出比例关系式得出
（2）要求线段BP的长，先证明△BAP∽△CPQ得出比例式，再利用图形间的“和差“关系求解．
解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAP＝∠CPQ．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴△CPQ∽△BAP．
∴．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝6，CP＝8﹣6＝2，
∴，．
②若点P在线段CB上，由（1）知，
∵BP＝x，BC＝8，
∴CP＝BC﹣BP＝8﹣x，
又∵CQ＝y，AB＝5，
∴，即．
故所求的函数关系式为（0＜x＜8）．
若点P在线段CB的延长线上，如图．
∵∠APQ＝∠APB+∠CPQ，
∠ABC＝∠APB+∠PAB，∠APQ＝∠ABC，
∴∠CPQ＝∠PAB．
又∵∠ABP＝180°﹣∠ABC，∠PCQ＝180°﹣∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABP＝∠PCQ．
∴△QCP∽△PBA．
∴．
∵BP＝x，CP＝BC+BP＝8+x，AB＝5，CQ＝y，
∴，即（x＞0）．
（2）①当点P在线段BC上，
∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∵∠PAB+∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠QPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
即5：（5﹣BP）＝BP：1，
解得：，或，
②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
∴5：（BP﹣5）＝BP：1，
解得：，
③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
∴5：（BP+5）＝BP：1，
解得：．
综上所述，或或或．
【点评】本题结合三角形，正方形的性质考查二次函数的综合应用，根据相似三角形的性质，利用图形间的“和差“关系求解．
八.（本题12分）
25．如图，已知正方形ABCD的边长是2，点P沿A→B→C→D运动，到达点D停止．
（1）连接PD，设点运动的距离为x，请用x表示△APD的面积y（直接写出结果）；
（2）作DE⊥AP于点E．
①如图2，点P在线段BC上，将△APB沿AP翻折得到△APB′，连接B′D，求∠B′DE的度数；
②连接EC，若△CDE是等腰三角形，则DE＝ 2或或 直接写出结果．
【分析】（1）分三种情况：点P分别在边AB、BC、CD上，根据三角形面积公式可得：y与x的关系式子；
（2）①如图4，过A作AF⊥B'D于F，交DE于G，根据∠BAP＝∠B'AP，∠B'AF＝∠DAF，得∠EAG＝45°，可得∠B'DE＝45°；
②分三种情况：E与A重合时，ED＝2；
P与C重合时，ED为对角线的一半，ED＝；
当CE＝CD时，如图6，根据等腰三角形的性质和三角形全等可得AE的长，从而得DE的长．
解：（1）分三种情况：①当点P在边AB上时，如图1，0≤x≤2，
y＝S△APD＝AP•AD＝x•2＝x；
②当点P在边BC上时，如图2，2＜x≤4，
y＝S△APD＝AP•AD＝×2×2＝2，
③当点P在边CD上时，如图3，4＜x≤6，
∴S△APD＝PD•AD＝（6﹣x）×2＝6﹣x；
即y＝﹣x+6；
（2）①如图4，过A作AF⊥B'D于F，交DE于G，
由折叠得：AB＝AB'，∠BAP＝∠B'AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠B'AF＝∠DAF，
∴∠B'AP+∠B'AF＝∠BAP+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAG＝45°，
∴∠AGE＝∠FGD＝45°，
∴∠B'DE＝45°；
②当P在边AB上时，如图1，此时E与A重合，
∴ED＝DC＝2，
当P在边BC上时，如图5，当DE＝EC时，
过E作GF⊥CD于F，交AB于G，则FG⊥AB，DF＝FC＝1，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEG+∠DEF＝∠DEF+∠EDF＝90°，
∴∠AEG＝∠EDF，
∵∠AGE＝∠EFD，
∴△AGE∽△EFD，
∴，
∴，
∴EF＝1，
∴DE＝，此时P与C重合；
当点P在边BC上，如图6，CE＝CD时，
过C作CQ⊥ED于Q，则DQ＝EQ，
设DQ＝x，则DE＝2x，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠DCQ，∠AED＝∠DQC＝90°，
∴△AED≌△DQC（AAS），
∴AE＝DQ＝x，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝22，
∴x＝，
ED＝；
综上所述，ED的长是2或或．
故答案为：2或或．
【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积及动点问题．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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