2023-2024学年湖南省岳阳市汨罗市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市汨罗市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m＝2C．m≥2D．m≠0
2．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
3．已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．
4．下列说法中不正确的是（ ）
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限
D．函数y＝﹣的值随x的值的增大而减小
5．关于x的一元二次方程3x2+2x+1＝0的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知线段a、b、c，作线段x，使a：b＝c：x，则正确的作法是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，一次函数与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，4），B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．1＜x＜4C．x＞3D．x＞4
9．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A．B．C．2D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为 ．
13．已知反比例函数，当4≤x≤10时，y的最大值为 ．
14．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为 尺．
15．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长AB＝8米，C，D是线段AB的黄金分割点（即 ，若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，则CD的长为 米．（结果保留根号）
16．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝5，则DF的长为 ．
三、解答题（共72分：17—19题每题6分，20.21题每题8分，22.23题每题9分，24.25题每题10分）
17．解方程：
（1）（x+4）2＝5（x+4）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，求下列各式的值：
（1）x12+x22；
（2）．
19．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）求P关于S的函数关系式．
（2）当S＝0.25m2时，物体所受的压强是多少Pa．
20．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝12，求EC的长．
21．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？
22．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：；
（2）若△OCP与△PDA的相似比为1：2，求边AB的长．
23．如图，一次函数y＝mx+5的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABM的面积；
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．
24．操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
（1）指出图中线段AC的投影是 ，线段BC的投影是 ．
（2）问题情景：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD×AB，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
（3）拓展运用：如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF；试利用射影定理证明△BOF∽△BED．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长；
（2）当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；
（3）若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t的值；
（4）直接写出点B关于直线AP的对称点B′落在△ACD边上时t的值．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m＝2C．m≥2D．m≠0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得
m﹣2≠0，
m≠2，
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1＝﹣3，
解得：x1＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
3．已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．
【分析】直接将点（﹣1，2）代入反比例函数中，即可求解．
解：将点（﹣1，2）代入反比例函数，
得：，
解得：k＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，准确计算是解题的关键．
4．下列说法中不正确的是（ ）
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限
D．函数y＝﹣的值随x的值的增大而减小
【分析】分别利用一次函数和反比例函数的性质分析得出答案．
解：A．函数y＝3x的图象经过原点，正确，不合题意；
B．函数y＝的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限，正确，不合题意；
D．函数y＝﹣的值，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故错误．符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的定义与性质，正确把握相关性质是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程3x2+2x+1＝0的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
解：Δ＝22﹣4×1×3
＝4﹣12
＝﹣8，
故原方程无实数根，
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将＝化成3y＝4x，再根据题意代入即可．
解：∵＝，
∴3y＝4x，
∴x＝y．
∴＝＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查分数的基本性质，掌握分数的基本性质是解题的关键．
7．已知线段a、b、c，作线段x，使a：b＝c：x，则正确的作法是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行线的性质一一分析．
解：A、根据平行线的性质得a：b＝x：c，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得a：b＝c：x，故此选项正确；
C、根据平行线的性质得x：b＝a：c，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得a：b＝x：c，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法．
8．如图，一次函数与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，4），B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．1＜x＜4C．x＞3D．x＞4
【分析】结合图形，一次讨论当x＜1，x＝1，1＜x＜4，x＝4，x＞4时，反比例函数与一次函数的大小，即可得到答案．
解：由图象可知：
当x＜1时，反比例函数大于一次函数的函数值，
当x＝1时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当1＜x＜4时，一次函数大于反比例函数的函数值，
当x＝4时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当x＞4时，反比例函数大于一次函数的函数值，
即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：1＜x＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握数形结合思想是解题的关键．
9．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A．B．C．2D．
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴＝，
解得a＝或﹣（舍弃），
∴a＝，
故选：B．
【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④
【分析】①根据三角形内角和定理进行判断推理即可解答；②根据三角形相似的判定方法推理即可判断正误；③先说明△BAD∽△EAO，再运用相似三角形的性质即可解答；④利用矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理进行推理即可解答．
解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠BAD＝∠EDC，
故①正确；
②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，
∴△ADO∽△ACD．
故②正确；
③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，
∴△BAD∽△EAO，
∴．
故③正确；
④如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N，
在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，
同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．
∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴DN＝AM，
在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，
∴2AD2＝2AM2+2MD2，
∴2AD2＝BD2+CD2．
故④正确．
故选：D．
【点评】本题是考查的是等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似的判断及性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ﹣5 ．
【分析】根据题意正确得出一元二次方程的一般形式，进而可得到答案．
解：∵一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，二次项的系数是2，
∴化成的一般形式为2x2﹣5x+3＝0，
∴一次项系数为﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．
12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为 ﹣16 ．
【分析】将m代入2x2﹣3x﹣1＝0可得2m2﹣3m＝1，再将所求代数式变形为﹣3（2m2﹣3m）﹣13即可求解．
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∵﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3﹣13＝﹣16，
故答案为：﹣16．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系，灵活变形所求代数式是解题的关键．
13．已知反比例函数，当4≤x≤10时，y的最大值为 ．
【分析】对反比例函数y＝，在4≤x≤10，y随x的增大而减小，则在x＝4时取得最大值．
解：当4≤x≤10时，反比例函数y＝的图象随x的增大而减小，
则y在x＝4时取得最大值，y＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y＝（k≠0）中k的取值．
14．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为 57.5 尺．
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．
解：如图，依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD＝BF：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
∴BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5（尺）．
故答案为57.5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF∽△ADE．
15．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长AB＝8米，C，D是线段AB的黄金分割点（即 ，若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，则CD的长为 （8﹣16） 米．（结果保留根号）
【分析】由黄金分割的定义得BC＝AD＝AB＝（4﹣4）米，再由CD＝BC+AD﹣AB，即可得出结论．
解：根据黄金分割的定义得BC＝AD＝AB＝×8＝（4﹣4）（米），
∴CD＝BC+AD﹣AB＝2×（4﹣4）﹣8＝（8﹣16）（米），
故答案为：（8﹣16）．
【点评】本题考查了黄金分割点的概念，熟练运用黄金比进行计算是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝5，则DF的长为 ．
【分析】过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，先证出△DEH∽△DGC，根据相似三角形的性质可得＝，再根据＝可得DH＝3EH，利用勾股定理可得EH＝HA＝，从而可得DH＝，BC＝CD＝AD＝5，然后利用勾股定理可得DG＝，最后证出△ADF∽△CGF，根据相似三角形的性质可得DF＝3GF，由此即可得．
解：如图，过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
∴∠H＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD，
∵DE⊥DG，
∴∠EDG＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△DEH∽△DGC，
∴＝，
∵＝，
∴设GC＝x（x＞0），则BG＝2x，DC＝BC＝3x，
∴＝，
∴DH＝3EH，
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DAC＝45°，
∴∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴∠HEA＝45°，
∴EH＝HA，
∵AE＝5，
∴EH2+HA2＝AE2＝25，
∴EH＝HA＝，
∴DH＝，
∴BC＝CD＝AD＝DH﹣HA＝5，
由＝得：GC＝BC＝，
∴DG＝＝，
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△ADF∽△CGF，
∴＝＝＝3，
∴DF＝3GF，
∴DF＝DG＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．
三、解答题（共72分：17—19题每题6分，20.21题每题8分，22.23题每题9分，24.25题每题10分）
17．解方程：
（1）（x+4）2＝5（x+4）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先移项得到（x+4）2﹣5（x+4）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程．
解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0或x+4﹣5＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝1；
（2）x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，求下列各式的值：
（1）x12+x22；
（2）．
【分析】（1）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2中，即可求出结论；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，将其代入＝中，即可求出结论．
解：（1）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣1）＝11；
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴＝＝＝﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
19．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）求P关于S的函数关系式．
（2）当S＝0.25m2时，物体所受的压强是多少Pa．
【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点的坐标可以求得P与S之间的函数关系式．
（2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．
解：（1）设，
由图象可知：点（0.1，1000）在函数图象上，
∴，
∴k＝100
∴
故答案为：．
（2）把S＝0.25m2代入得：；
答：当S＝0.25m2时，物体所受的压强是400Pa．
【点评】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
20．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝12，求EC的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，即可．
【解答】解（1）∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠CED，
∴△ABC∽△DEC．
（2）由（1）得，△ABC～△DEC，
∵S△ABC：S△DEC＝4：9，
∴，
∵BC＝12，
∴EC＝18．
【点评】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
21．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？
【分析】设矩形的宽为x步，根据题意列方程求解，即可得到答案．
解：设矩形的宽为x步，则矩形的长为（x+12）步，
依题意得：x（x+12）＝864，
解得：x＝24或x＝﹣36（舍去），
∴x+12＝24+12＝36，
∴矩形的宽为24步，则长为36步，
答：宽24步，长36步．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
22．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：；
（2）若△OCP与△PDA的相似比为1：2，求边AB的长．
【分析】（1）根据矩形及折叠的性质可得出∠APO＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°，由同角的余角相等可得出∠DAP＝∠CPO，结合∠C＝∠D＝90°即可证出△OCP∽△PDA，进一步证明即可；
（2）由相似三角形的性质可得PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP，由勾股定理可求OP＝5，进一步解答即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
由折叠可得：AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B．
∴∠APO＝90°．
∴∠APD＝90°﹣∠CPO＝∠POC，
∵∠D＝∠C，∠APD＝∠POC，
∴△OCP∽△PDA．
∴．
（2）解：∵△OCP与△PDA的相似比为1：2，
∴＝，
∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP，
∵AD＝8，
∴CP＝4，BC＝8．
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8﹣x，
在△PCO中，C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8﹣x，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．
∴AB＝AP＝2OP＝10．
∴边AB的长为10．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，利用相似三角形的性质和勾股定理求出OP的长是本题的关键．
23．如图，一次函数y＝mx+5的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABM的面积；
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．
【分析】（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；
（2）根据铅锤高×水平宽计算△ABM面积即可；
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
【解答】（1）解将B（4，1）代入得．
∴k＝4．
∴．
将B（4，1）代入y＝mx+5得：1＝4m+5，
∴m＝﹣1．
∴y＝﹣x+5．
（2）∵A（1，n）在函数的图象上，
∴n＝4，
∴A（1，4）即AM＝1，
∴S△ABM＝（4﹣1）＝；
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4）．连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y＝kx+b，
由，得，
∴．
∴点P的坐标为．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．
24．操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
（1）指出图中线段AC的投影是 AD ，线段BC的投影是 BD ．
（2）问题情景：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD×AB，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
（3）拓展运用：如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF；试利用射影定理证明△BOF∽△BED．
【分析】（1）根据题意，即可得到答案；
（2）证明△ACD∽△ABC，得到AC：AB＝AD：AC，即可证明定理；
（3）利用射影定理，得到BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，进而得到BO•BD＝BF•BE，即可证明△BOF∽△BED．
【解答】（1）解：根据题意，图中线段AC的投影是AD，线段BC的投影是BD，
故答案为：AD，BD；
（2）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
而∠CAD＝∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD⋅AB；
（3）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF•BE，
∴BO•BD＝BF•BE，
即，
∵∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长；
（2）当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；
（3）若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t的值；
（4）直接写出点B关于直线AP的对称点B′落在△ACD边上时t的值．
【分析】（1）由题意得BP＝2t，CQ＝t，则当0＜t≤2时，CP＝4﹣2t；当2＜t≤5时，CP＝2t﹣4；
（2）分两种情况讨论，一是当0＜t≤2时，PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，所以＝，求得t＝；二是当2＜t≤5时，PQ∥AC，则∠QPC＝∠ACB，可证明△QCP∽△ABC，则＝，求得t＝；
（3）由点M为DQ的中点，求得CM＝5﹣（5﹣t）＝+t，再分四种情况讨论，一是当0＜t≤2，△PCM∽△ABC，且∠CPM＝∠BAC时，则＝；二是当0＜t≤2，△MCP∽△ABC，且∠CMP＝∠BAC时，则＝；三是当2＜t≤5，△MCP∽△ABC，且∠CMP＝∠BAC时，则＝；四是当2＜t≤5，△PCM∽△ABC，且∠CPM＝∠BAC时，则＝，解方程求出相应的符合题意的t值即可；
（4）当点B′落在CD上时，由勾股定理求得DB′＝＝3，则CB′＝2，于是得（4﹣2t）2+22＝（2t）2，求得t＝．
解：（1）由题意得AB＝5，BC＝4，BP＝2t，CQ＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝5，
当点P与点C重合时，则2t＝4，
解得t＝2，
当点Q与点D重合时，则t＝5，
∵当点Q到达点D时，两点同时停止运动，
当0＜t≤2时，CP＝4﹣2t，
当2＜t≤5时，CP＝2t﹣4．
（2）当0＜t≤2时，如图1，PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
当2＜t≤5时，如图2，PQ∥AC，则∠QPC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠QCP＝∠ABC＝90°，
∴△QCP∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝，
综上所述，t的值为或．
（3）∵点M为DQ的中点，DQ＝5﹣t，
∴DM＝（5﹣t），
∴CM＝5﹣（5﹣t）＝+t，
当0＜t≤2，△PCM∽△ABC，且∠CPM＝∠BAC时，如图3，
则＝，
∴＝，
解得t＝；
当0＜t≤2，△MCP∽△ABC，且∠CMP＝∠BAC时，如图4，
则＝，
∴＝，
解得t＝；
当2＜t≤5，△MCP∽△ABC，且∠CMP＝∠BAC时，如图5，
则＝，
∴＝，
解得t＝；
当2＜t≤5，△PCM∽△ABC，且∠CPM＝∠BAC时，如图6，
则＝，
∴＝，
解得t＝，不符合题意，舍去，
综上所述，t的值为或或．
（4）当点B′落在CD上时，如图7，
∵∠D＝90°，AD＝BC＝4，AB′＝5，
∴DB′＝＝＝3，
∴CB′＝CD﹣DB′＝5﹣3＝2，
∵CP2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣2t）2+22＝（2t）2，
解得t＝，
当点B′落在AC上时，如图8，
∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝＝，
∵AB′＝AB，PB′＝PB，AP＝AP，
∴△AB′P≌△ABP（SSS），
∴∠AB′P＝∠ABP＝90°，
∴∠PB′C＝∠ABC＝90°，
∵∠B′PC＝∠BAC，
∴△PB′C∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
综上，点B关于直线AP的对称点B′落在△ACD边上时t的值为或．
【点评】此题重点考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握数形结合与分类讨论思想．