2023-2024学年江西省宜春市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．观察如图所示的月饼图案，下列说法正确的是（ ）
A．它是轴对称图形，不是中心对称图形
B．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C．它是轴对称图形，也是中心对称图形
D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2．下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．
C．y＝3x2+2x﹣1D．y＝（x+1）2﹣x2
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（7，﹣5）B．（﹣7，﹣5）C．（7，5）D．（﹣7，5）
4．如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是2，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4B．a＞﹣3C．a≥﹣3且a≠1D．a＞﹣3且a≠1
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝4，将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，则线段AD的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．一种纪念品经过两次涨价，从原来每个76.8元涨至现在的120元，则平均每次涨价的百分率是 %．
8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0的两个实数根，且，则m的值为 ．
9．已知点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称，则a＝ ．
10．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
11．对于实数a，b定义运算“※”如下：a※b＝ab2+2ab，例如1※2＝1×22+2×1×2＝8，则方程1※x＝﹣1的解为 ．
12．已知矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，现将边AD绕它的一个端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长度为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．选择适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣3x+1＝0．
14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，AC＝4．
（1）求A′A的长；
（2）若∠1＝15°，求∠BAA′的度数．
15．已知抛物线与x轴的交点是A（﹣1，0），B（3，0），经过点C（0，3）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）设该抛物线的顶点为M，求△ABM的面积．
16．杭州亚运会期间，某商店销售一批亚运会吉祥物挂件，每个进价13元，规定销售单价不低于20元．试销售期间发现，当销售单价定为20元时，每月可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售．
（1）涨价多少时，利润为1620元；
（2）将亚运会吉祥物挂件销售单价定为多少元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润y最大？最大利润是多少元？
17．如图1四边形ABCD是正方形；如图2四边形ABCD是矩形，△MAD是等腰三角形．请只用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出正方形ABCD的对称中心O；
（2）在图2中，画出线段BC的中点N；
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知函数y＝是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 ；
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．
22．阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；
（2）若函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：FB＝FD；
（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．
①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；
②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．
参考答案
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1．观察如图所示的月饼图案，下列说法正确的是（ ）
A．它是轴对称图形，不是中心对称图形
B．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C．它是轴对称图形，也是中心对称图形
D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
解：该图是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．
C．y＝3x2+2x﹣1D．y＝（x+1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．
解：A．y＝（x﹣1）2是二次函数，不符合题意；
B．是二次函数，不符合题意；
C．y＝3x2+2x﹣1是二次函数，不符合题意；
D．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1是一次函数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的定义：“形如y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），y＝a（x﹣h）2（a≠0）的函数是二次函数．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（7，﹣5）B．（﹣7，﹣5）C．（7，5）D．（﹣7，5）
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
解：∵抛物线y＝（x﹣7）2+5，
∴抛物线的顶点坐标是：（7，5），
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是2，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，推出∠BON＝∠MOC，证出△OBN≌△OCM，即可求解．
解：如图，设AB与OE交点N，BC与OG交点M，
∵四边形ABCD和四边形EFGO都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴∠BON＝∠MOC．
在△OBN与△OCM中，
，
∴△OBN≌△OCM（ASA），
∴S△OBN＝S△OCM，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．
5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4B．a＞﹣3C．a≥﹣3且a≠1D．a＞﹣3且a≠1
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣3且a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝4，将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，则线段AD的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】在AC的上方作∠ACM＝120°，且使 CM＝CA，连接AM，DM．设AB＝x，则AC＝4﹣x＝CM，根据ASA证明△BAC≌△DMC得出DM＝BA＝x，∠CMD＝∠BAC＝120°，得出∠AMD＝90°，即可推出结论．
解：如图，在AC的上方作∠ACM＝120°，且使 CM＝CA，连接AM，DM．
设AB＝x，则AC＝4﹣x＝CM，
∴，
∵将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，
∴∠BCA+∠ACD＝120，
又∵∠ACD+∠DCM＝∠ACM＝120°，
∴∠ACB＝∠DCM，
∴△BAC≌△DMC（ASA），
∴DM＝BA＝x，∠CMD＝∠BAC＝120°．
∴∠AMD＝90°，
∴AD2＝AM2+DM2＝3（4﹣x）2+x2＝4（x﹣3）2+12≥12，
∵0＜x＜4，
∴AD的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．一种纪念品经过两次涨价，从原来每个76.8元涨至现在的120元，则平均每次涨价的百分率是 25 %．
【分析】设平均每次涨价的百分率是x，根据增长率问题建立方程求出其解可以得出答案．
解：设平均每次涨价的百分率是x，由题意，得，
76.8（1+x）2＝120，
解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
∴x＝0.25＝25%，
故答案为：25．
【点评】本题考查了增长率问题在实际问题中的运用及列一元二次方程解实际问题的能力．
8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0的两个实数根，且，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1•x2＝m，结合，即可求解．
解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝m，
∵，
∴，
解得：m＝﹣3，经检验符合题意；
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键．
9．已知点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称，则a＝ 3 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a的值，进而得出答案．
解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
10．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 ．
【分析】分别计算出自变量为4，和﹣2时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：
y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，
∵5﹣4＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2．
故答案为y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
11．对于实数a，b定义运算“※”如下：a※b＝ab2+2ab，例如1※2＝1×22+2×1×2＝8，则方程1※x＝﹣1的解为 ﹣1 ．
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，根据a※b＝ab2+2ab，由1※x＝﹣1，可得：x2+2x＝﹣1，据此求出x的值为多少即可．
解：∵a※b＝ab2+2ab，
由1※x＝﹣1，得：x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．
12．已知矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，现将边AD绕它的一个端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长度为 或3或5 ．
【分析】分两种情形：绕A旋转或绕D旋转，利用勾股定理求解即可．
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠ABC＝∠DCB＝90°，
当AD绕A旋转，AD＝AE1＝AE2＝5时，BE1＝BE2＝＝4，
∴CE1＝1，CE2＝9，
∴DE1＝＝，DE2＝＝3，
当AD绕D旋转时，DE3＝DE4＝5，
综上所述，满足条件的DE的值为或3或5，
故答案为：或3或5．
【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．选择适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
解：（1）（x﹣2）2＝4，
x﹣2＝±2，
解得：x1＝4，x2＝0；
（2）x2﹣3x+1＝0，
，
，
，
解得：．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法．
14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，AC＝4．
（1）求A′A的长；
（2）若∠1＝15°，求∠BAA′的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可知：AC＝CA′＝4，∠ACA′＝90°，利用勾股定理即可求出A′A；
（2）由旋转的性质得到△CAA′是等腰直角三角形，且∠1＝15°，求出∠CB′A′，∠CB′A′＝∠CAB，即可解决问题．
解：（1）由旋转的性质可知：AC＝CA′＝4，∠ACA′＝90°，
∴；
（2）由旋转的性质可知：AC＝CA′＝4，∠ACA′＝90°，
∴∠CA′A＝45°，
∵∠1＝15°，
∴∠CA′B′＝45°﹣15°＝30°，
∴∠CAB＝∠CA′B′＝30°，
∴∠A′AB＝45°+30°＝75°．
【点评】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运算．
15．已知抛物线与x轴的交点是A（﹣1，0），B（3，0），经过点C（0，3）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）设该抛物线的顶点为M，求△ABM的面积．
【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到M点的坐标，然后根据三角形面积公式△ABM的面积．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得：（﹣1）×3a＝3，
解得a＝﹣1．
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4），
∵AB＝4，
∴．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，熟练运用待定系数法求函数解析式，勾股定理，函数图象的对称性是解题关键．
16．杭州亚运会期间，某商店销售一批亚运会吉祥物挂件，每个进价13元，规定销售单价不低于20元．试销售期间发现，当销售单价定为20元时，每月可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售．
（1）涨价多少时，利润为1620元；
（2）将亚运会吉祥物挂件销售单价定为多少元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润y最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设上涨x元，则每个纪念品利润为（20+x﹣13）元，销售量为（200﹣10x）个，根据“总利润＝每个纪念品利润×销售量”列出关于x的方程，解之可得；
（2）依据（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得．
解：（1）设上涨x元，则每个纪念品利润为（20+x﹣13）元，销售量为（200﹣10x）个，
由题意得：（20+x﹣13）（200﹣10x）＝1620，
整理得：x2﹣13x+22＝0，即（x﹣2）（x﹣11）＝0，
解得：x1＝11，x2＝2，
答：涨价11元或2元时，利润为1620元；
（2）由（1）知当上涨x元，则每个纪念品利润为（20+x﹣13）元，销售量为（200﹣10x）个，
则y＝（20+x﹣13）（200﹣10x），即y＝﹣10x2+130x+1400，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∵，
∴售单价定为元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式再求解．
17．如图1四边形ABCD是正方形；如图2四边形ABCD是矩形，△MAD是等腰三角形．请只用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出正方形ABCD的对称中心O；
（2）在图2中，画出线段BC的中点N；
【分析】（1）依据正方形的对称中心为对角线的交点进行作图；
（2）利用矩形的对称中心为对角线的交点，等腰三角形的轴对称图形，即可得到点N．
解：（1）如图所示，连接AC，BD交于点O即为所求；
（2）如图所示，连接AC，BD交于点O，连接MO并延长交BC于点N即为所求．
【点评】此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握正方形、矩形的性质和中心对称图形的性质．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知函数y＝是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值．
解：（1）∵函数y＝（m+3）x是关于x的二次函数，
∴m2+3m﹣2＝2，m+3≠0，
解得：m1＝﹣4，m2＝1；
（2）∵函数图象的开口向下，
∴m+3＜0，
∴m＜﹣3，
∴当m＝﹣4时，该函数图象的开口向下；
（3）∵当m+3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞﹣3，
又∵m＝﹣4或1，
∴当m＝1时，y＝4x2有最小值，最小值为0．
【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
【分析】（1）先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝CF；
（2）由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AC＝，于是利用BD＝BE﹣DE求解．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，
∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，
∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AC＝，
∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 x＜1或x＞3 ；
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣2 ．
【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式求解即可；
（2）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围求解即可；
（3）根据方程有两个不相等的实数根即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝k有两个不同的交点进行求解即可．
解：（1）由题意得，二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），顶点坐标为（2，﹣2），
∴可设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣2，
把（1，0）代入解析式得：0＝a（1﹣2）2﹣2，
解得a＝2，
∴二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
（2）由函数图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜1或x＞3，
故答案为：x＜1或x＞3；
（3）由函数图象可知方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝k有两个不同的交点，
∴k＞﹣2，
故答案为：k＞﹣2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出x1+x2＝2k，，结合可得出关于k的方程，解之即可得出k的值；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，根据，可得x1x2＞0，即由|x1|+|x2|＝2，可得，进而可得，则有，即（2k）2＝4，问题得解．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）≥0，
解得：k≤﹣1；
（2）∵方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2k，，
∵，
∴，
∴（2k）2﹣2（k2+k+1）＝10，
整理得：k2﹣k﹣6＝0，
解得：k＝3或者k＝﹣2，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣2；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，
∵，
∴x1x2＞0，
∵|x1|+|x2|＝2，
∴，
∴，
∵x1x2＞0，
∴，
∴，
∴（2k）2＝4，
∴k＝±1，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．
22．阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；
（2）若函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2023即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：，
解得，
∴（m+n）2023＝[（﹣4）+3]2023＝﹣1；
（3）证明：令y＝2（x﹣1）（x+3）＝0，得x1＝1，x2＝﹣3；
令x＝0，则y＝﹣6；
∴A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
设经过A1，B1，C1三点的函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：a×1×（﹣3）＝6，
解得：a＝﹣2，
∴经过A1，B1，C1三点的函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是正确理解“旋转函数”的定义．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：FB＝FD；
（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．
①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；
②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．
【分析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题．
（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH＝∠CBF即可解决问题．
②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．理由三角形的三边关系解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠BAD＝90°，BA＝AD，
∴∠FAD＝∠FAB＝45°，
∵AF＝AF，
∴△FAD≌△FAB（SAS），
∴BF＝DF．
（2）①解：结论：AH⊥BF．
理由：如图2中，连接CD．
∵∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝AB＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BA＝CD，∠ABH＝∠DCE，BH＝CE，
∴△ABH≌△DCE（SAS），
∴∠BAH＝∠CDE，
∵∠FCD＝∠FCB＝45°，CF＝CF，CD＝CB，
∴△CFD≌△CFB（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAH+∠ABF＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AH⊥BF．
②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．
∵∠ANB＝90°，AO＝OB，
∴ON＝AB＝1，
在Rt△OBC中，OC＝＝，
∵CN≥OC﹣ON，
∴CN≥﹣1，
∴CN的最小值为﹣1．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．