湖北省沙市中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.、B.、C.、D.、
2、已知为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
3、已知两个向量,,且,则的值为( )
A.1B.2C.4D.8
4、已知向量,向量,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5、如图,元件通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是
6、同时抛掷两颗骰子,观察向上的点数,记事件“点数之和为7”,事件“点数之和为3的倍数”,则( )
A.为不可能事件B.A与B为互斥事件
C.为必然事件D.A与B为对立事件
7、袋子里装有形状大小完全相同的4个小球,球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球上数字是1”,B表示事件“第二次取出的球上数字是2”,C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”,D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”,通过计算,则可以得出( )
A.B与D相互独立B.A与D相互独立
C.B与C相互独立D.C与D相互独立
8、在边长为1的菱形ABCD中,,将沿对角线AC折起得三棱锥.当三棱锥体积最大时,此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( )
A.若空间中的O,A,B,C满足,则A,B,C三点共线
B.空间中三个向量,,,若,则,,共面
C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面
D.设是空间的一组基底,若,,则不能为空间的一组基底
10、已知空间向量,则下列选项中正确的是( )
A.当时,B.当时,
C.当时,D.当时,
11、如图,正方体的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P为侧面内（不含边界）的动点,则( )
A.
B.存在一点P,使得
C.三棱锥的体积为
D.若,则面积的最小值为
12、已知长方体的棱,,点P满足：,、、,下列结论正确的是( )
A.当,时,P到的距离为
B.当时,点P的到平面的距离的最大值为1
C.当,时,直线PB与平面ABCD所成角的正切值的最大值为
D.当,时,四棱锥外接球的表面积为
三、填空题
13、已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外的任意一点,若点P在平面ABC内,且,则实数______________．
14、如图,在二面角中,,,,且,垂足分别为A,B,已知,,则二面角所成平面角为___________．
15、如图,在三棱锥中,,平面ABC,于点E,M是AC的中点,,则的最小值为______________．
16、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知平面ABCE,四边形ABCD为正方形,,,若鳖臑的外接球的体积为,则阳马的外接球的表面积等于______________.
四、解答题
17、在中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足.
（1）求B;
（2）若,且的面积为,BD是的中线,求BD的长.
18、某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分（95分及以上为认知程度高）,结果认知程度高的有20人,按年龄分成5组,其中第一组：,第二组：,第三组：,第四组：,第五组：,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图,估计这20人的平均年龄和第80百分位数;
（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
19、为了普及垃圾分类知识,某校举行了垃圾分类知识考试,试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q（）,且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为．
（1）求p和q的值;
（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率．
20、我省从2021年开始,高考不分文理科,实行“3+1+2”模式,其中“3”指的是语文、数学,外语这3门必选科目,“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门,“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理,再选科目为化学、生物至少1门。
（1）从所有选科组合中任意选取1个,求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率;
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的,求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.
21、如图,已知四棱锥,底面ABCD为菱形,平面ABCD,,E,F分别是BC,PC的中点．
（1）证明：;
（2）若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正弦值为,求二面角的余弦值.
22、如图,在矩形ABCD中,,,M是线段AD上的一动点,将沿着BM折起,使点A到达点的位置,满足点平面BCDM且点在平面BCDM内的射影E落在线段BC上.
（1）当点M与端点D重合时,证明：平面;
（2）求三棱锥的体积的最大值;
（3）设直线CD与平面所成的角为,二面角的平面角为,求的最大值.
参考答案
1、答案：A
解析：在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,
故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为,
故选：A．
2、答案：B
解析：对于A项,因为,则,,共面,不能作为基底,故A不符合题干.
对于C项,因为,则,,共面,不能作为基底,故C不符合题干.
对于D项,,则,,共面,不能作为基底,故D不符合题干.
对于选项B,假设,,共面,则存在,,使,所以无解,所以,,不共面,可以作为空间的一组基底．
故选：B.
3、答案：C
解析： , ,使,得,解得：,所以
故选：C.
4、答案：A
解析：在上投影向量
故选：A.
5、答案：B
解析：电流能通过,的概率为,电流能通过的概率为0.9,
故电流不能通过,也不能通过的概率为,所以电流能通过系统,,的概率为,而电流能通过的概率为0.9,所以电流能在M,N之间通过的概率为,
故选B．
6、答案：B
解析：同时抛掷两颗骰子,有36个结果,事件“点数之和为7”,包括：,,,,,.
事件“点数之和为3的倍数”,包括,,,,,,.
所以为“点数之和为7或3的倍数”,不是不可能事件.故A错误;
A与B为互斥事件,故B正确;
AB为不可能事件.故C错误;
事件A、B不能包含全部基本事件,故A与B不是对立事件.故D错误.
故选：B.
7、答案：C
解析：由题意可得：,
有放回的随机取两次,每次取1个球,两次取出的球上数字之和是5的情况有,,,共4种,所以;
两次取出的球上数字之和是6的情况有,,共3种,故,
对于A,,则,
故B与D不是相互独立事件,故A错误;
对于B,,则,
故A与D不是相互独立事件,故B错误;
对于C,,则,
故B与C是相互独立事件,故C正确;
对于D,,则,
故C与D不是相互独立事件,故D错误;
故选：C.
8、答案：C
解析：如图所示,
当平面平面DAC时,三棱锥体积最大,
取AC中点E,连接BE,DE,由条件知
设,分别为,的外心,过作平面ABC的垂线m,过作平面ADC的垂线n
则m,n的交点即为三棱锥外接球的球心O;
,,
所以,
所以,表面积为.
故选：C.
9、答案：ABC
解析：对于A,根据向量的线性运算,若空间中的O,A,B,C满足,
则,即,则A,B,C三点共线,故A正确;
对于B,因为,则,共线,则根据共面向量的定义可得,,,共面,故B正确;
对于C,对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,又,则P,A,B,C四点共面,故C正确;
对于D,若,,共面,则,则,,共面,与是空间的一组基底矛盾,所以,,不共面,所以能为空间的一组基底,故D错误,
故选：ABC．
10、答案：BCD
解析：当时,,解得：,故A错误;
令,则,,故B正确;
,所以,解得：,故C正确;
当,,
因为,,故D正确．
故选：BCD.
11、答案：ACD
解析：以点D为坐标原点,DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、、,
设点,其中,.
对于A选项,,,则,
所以,,A对;
对于B选项,,若,则,解得,不合乎题意,
所以,不存在点P,使得,B错;
对于C选项,,点P到平面的距离为2,
所以,,C对;
对于D选项,,
若,则,可得,
由可得,
,
当且仅当时,等号成立,
因为平面,平面,,
,D对.
故选：ACD.
12、答案：CD
解析：A：,则,即,故P在BC上运动,
所以P到的距离为,即棱BC与的距离,错;
B：,则,故P在底面上运动,
所以,当P在上时,P的到平面的距离最大,
而,面,面,则面,
所以,由长方体结构特征,最大值问题化为C到BD的距离h,,则,错;
C：,则,故P在上运动,
根据长方体的结构易知：当P与重合时,直线PB与面ABCD所成角正切值的最大值为,对;
D：,则,故P为中点,
如下图,,,,
所以的底面为矩形,顶点P在的投影为底面中心,即,的交点E,
故外接球的球心O一定在直线PE上,令球体半径为R,
所以,,且,
可得,则外接球的表面积为,对.
故选：CD.
13、答案：．
解析：方法1：
,
即,
由共面向量定理可得,故．
方法2：因为点P在平面ABC内,O是平面ABC外的任意一点,
所以且,
利用此结论可得,解得．
14、答案：
解析：在面内,作,过B作交CE于E,连接DE,如下图示,
由,则为二面角的平面角,且,
又易知ABEC为正方形,即,
,面,则面,面,
所以,中,故,
在中,则,
由图知：,可得.
故答案为：.
15、答案：
解析：连接EC,如图,
因平面ABC,平面ABC,则,而,,PA,平面PAB,
则平面PAB,又平面PAB,即有,
因M是AC的中点,则,又,
,
当且仅当取“=”,
所以的最小值为.
故答案为：.
16、答案：
解析：四边形ABCD是正方形,,即,且,,
所以,的外接圆半径为,
设鳖臑的外接球的半径,则,解得.
平面ADE,,可得,.
正方形ABCD的外接圆直径为,,
平面ABCD,所以,阳马的外接球半径,
因此,阳马的外接球的表面积为.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,
即,
即,
又因为,所以,所以.
又因为,所以,
所以,所以.
（2）因为,所以得,
由余弦定理得：.
又,
所以,
得,故BD的长为.
18、答案：（1）32.25,第80百分位数为37.5
（2）10
解析：（1）设这20人的平均年龄为,
则.
设第80百分位数为a,由,解得.
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为,
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人,第四组和第五组分别抽取4人和2人,
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为,,方差分别为,,
则,,,,
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为.
则,,
因此,第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,
据此,可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
19、答案：（1）,
（2）
解析：（1）设A：甲同学答对第一题,B：乙同学答对第一题,则,．
设C：甲、乙两人均答对第一题,D：甲、乙两人恰有一人答对第一题,
则,．
甲、乙两人答题互不影响,且每人各题答题结果互不影响,
A与B相互独立,与互斥,
,．
由题意得
解得或
, ,．
（2）设：甲同学答对了i道题,:乙同学答对了i道题,,1,2
由题意得,,,．
设E：甲、乙两人共答对3道题,则,
,
甲、乙两人共答对3道题的概率为．
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）用a,b分别表示“选择物理”“选择历史”,用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”,
则所有选科组合的样本空间,
,
设“从所有选科组合中任意选取1个,该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”,
则,
,
.
（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是,,,
由题意知事件,,相互独立
由（1）知.
记“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”,
则
易知事件,,两两互斥,
根据互斥事件概率加法公式得
.
21、答案：（1）详见解析
（2）
解析：（1）证明：由四边形ABCD为菱形,,可得为正三角形．
因为E为BC的中点,所以,又,因此
因为平面ABCD,平面ABCD,所以
而平面PAD,平面PAD,且,
所以平面PAD．又平面PAD,
所以.
（2）设,H为PD上任意一点,连接AH,EH．
由(1)知平面PAD,
所以为EH与平面PAD所成的角
中,,
所以当AH最短时,最大,即当时,最大．
因为,此时,
因此．又,所以,所以．
解法一：因为平面ABCD,平面PAC,
所以平面平面ABCD,
过E作于O,则平面PAC,
过O作于S,连接ES,则为二面角的平面角,
在中,,,
又F是PC的中点,在中,,
又,
在中,即所求二面角的余弦值为．
解法二：
由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
又E,F分别为BC,PC的中点,
所以,,,
,,
所以,,
设平面AEF的一法向量为,
则,故,
取,则,
因为,,,所以平面AEF,
故为平面AEF的一法向量,
所以．
因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为．
解法三：建立如图所示的空间直角坐标系,设菱形ABCD的边长为2,
则,,,设,
由P,H,D三点共线可设,则,
,又平面PAD的一个法向量.
设EH与平面PAD所成角,则.
令,
故当时,,
故,故,故,则,
,,
易得平面AEFF的一个法向量;
平面AFC的一个法向量,
,
而二面角是锐二面角,故其余弦值为.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）当点M与端点D重合时,由可知,
由题意知上平面BCD,平面BCD,所以,
又,,平面,平面,
所以平面,又平面,可知
,平面,平面,
所以平面
（2）矩形中作,垂足为点O,折起后得,
由平面BCD,平面BCD,可得,
所,平面,,所以平面,
平面,可得,所以A,O,E三点共线,
因此与相似,满足,
设,所以,,,
,,
要使点射影E落在线段BC上,则,所以,
所以,
当时,.
（3）过点E做交BM于Q,所以直线EQ与平面所成的角即为直线CD与平面所成的角,
由（2）可知平面,平面,所以平面平面,
作,垂足为,平面平面,平面,可得平面,
连接HQ,是直线EQ与平面所成的角,即,
由题意可得,,
因为,,所以是二面角平面角,
即,,
,当且仅当时“＝”成立,
故的最大值为.