万源中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（11月）数学试卷(含答案)

这是一份万源中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（11月）数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2、若直线l的方向向量为,平面的法向量为,且,则实数( )
A.B.C.4D.
3、已知直线与圆交于A,B两点,则( )
A.B.C.4D.8
4、“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的门洞.如图,某园林中的圆弧形门洞高为2.5m,底部宽为1m,则该门洞的半径为( )
5、若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( )
A.2B.C.D.
6、已知直线和点,点,点P是直线l上一动点,当最小时,点P的坐标是( )
A.B.C.D.
7、已知圆,直线,直线l被圆C截得的弦长最短时,实数m的值为( )
A.B.C.1D.
8、已知椭圆,直线,若椭圆上存在关于直线l对称的两点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知椭圆的左,右焦点分别是,,点P为椭圆C上一点,则下列关于椭圆C的结论正确的有( )
A.长轴长为5B.离心率为
C.的周长为16D.的面积为16
10、如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为顶点,P为所在棱的中点,则满足的是( )
A.B.C.D.
11、以下四个命题表述正确的是( )
A.圆与圆恰有三条公切线B.直线圆与圆一定相交C.直线与曲线有两个不同的交点,则k的取值范围是
D.已知直线不经过第三象限,则的取值范围
12、已知双曲线的左,右焦点分别是,,过右焦点的直线AB交双曲线右支于A,B两点,的内切圆圆心为M,半径为,的内切圆圆心为N,半径为,则下列结论正确的是( )
A.直线MN垂直于x轴B.周长为定值
C.与之和为定值D.与之积为定值
三、填空题
13、若直线与直线垂直,则实数m的值为___________.
14、已知双曲线的左,右焦点分别是,,点M为双曲线上一点,若M到原点的距离,则的面积是___________.
15、已知圆,直线若圆上有两个点到直线l的距离等于1,则实数b的取值范围是___________.
16、已知椭圆的左,右焦点分别是,,点A是椭圆上一点,的内切圆的圆心为M,若,则椭圆C的离心率为___________.
四、解答题
17、有一辆公交车,依次设了A,B,C,D,E,F,G共7个站,甲乙二人都从A站上车,假设他们从后面每个站下车是等可能的.
（1）求这两个人在不同站点下车的概率;
（2）求这两个人都没有坐到终点站的概率.
18、如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点.
（1）求直线到平面的距离;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19、在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.
（1）求角A的大小;
（2）若,求的面积S的最大值.
20、已知圆C过点和点,并且圆心在直线上.点P是直线上一动点,过点P引圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N.
（1）求圆C的标准方程;
（2）当四边形PMCN的面积最小时,求点P的坐标及直线MN的方程.
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,AC与D交于点O,,,平面ABCD,M为线段PB上的一点.
（1）证明:平面平面PBD;
（2）当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时,求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值.
22、已知椭圆的左,右焦点分别为,,点A是椭圆上不同于左右顶点的一动点,点A关于x轴的对称点为点B.当直线AB过左焦点时,.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线与椭圆交于另外一点P(点P和点A不重合),证明直线AP过定点.
参考答案
1、答案：A
解析:直线互为斜截式,得
直线的斜率为,设倾斜角为,
则,
,故选A
2、答案：B
解析:若,则有,即,解得.
故选:B.
3、答案：B
解析:由题意得圆O的半径为,圆心O到l的距离
,
所以,
故选:B.
4、答案：B
解析:设半径为R,,解得,解得.
故选:B.
5、答案：A
解析:双曲线的一条渐近线不妨设为:,
圆的圆心,半径为2双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2
可得圆心到直线的距离为:,
解得:,可得,即,故选:A.
6、答案：C
解析:
7、答案：B
解析:直线可化为,
由,得,故直线l恒过定点,要使直线l被圆截得的弦长最短,需圆心和P的连线与直线l垂直,故,即,解得,故选B.
8、答案：D
解析:
9、答案：BCD
解析:
10、答案：AD
解析:
11、答案：ABC
解析:对A:圆的圆心半径为1,圆的圆心,半径为4,
两个圆的圆心距为:,所以两个圆外切,所以了两个圆有恰有三条公切线,所以A正确;
对B:圆O圆心,半径,则圆心到直线的距离,故直线与圆相交,故B正确;
对C:曲线表示以为圆心,的上半圆,直线恒过定点,
作出图象如下:
当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离,解得,
当直线过时,直线l的斜率,
则直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是,故C正确;
对D:直线斜率不存在时,则,此时直线方程为,符合题意;
直线斜率存在时,则,方程可化为,则,解得,
综上:,故D错误;
故选:ABC.
12、答案：AD
解析:设内切圆M与x轴的切点是H,内切圆N与x轴的切点是G,由切线长定理,以及双曲线的定义,解方程可得M,N的横坐标均为a,可判断A;由双曲线的定义和三角形的周长公式,计算可判断B;由等积法,计算可判断C;由等积法,计算可判断D.
13、答案：
解析:
14、答案：16
解析:由题意可得双曲线的实轴长为6,虚轴长为8,焦距为10.因为,故M在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得,两边平方得.
,又在中,由余弦定理可得
,
又,故,即,则的面积是.
15、答案：
解析:
16、答案：
解析:不妨设点A在x轴上方,设点A的纵坐标为,点M的纵坐标为,的内切圆的半径为r,㮶圆焦距为2c,
取线段的中点N,设点N的纵坐标为,
,
,
,即,
,M,N三点共线,且,,
,,
,
又,
,
,
椭圆的离心率.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）
解析:甲乙下车方式有如下36种结果:
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
（1）甲乙两人在不同站点下车的结果有30个,所以所求的概率为;
（2）甲乙两个人都没有坐到终点站的结果数有25个,因此所求概率为.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）易得,平面,平面,平面,到平面的距离即为点B到平面的距离
以点A为坐标原点,AD,AB,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则,,,,,
,,
设平面的法向量为,由,得,
令,则,,则.
B到平面的距离
则到平面的距离为;
（2）,,
直线与平面所成角的正弦值为.
19、答案：（1）
（2）
解析:（1）由已知及正弦定理得
,
,
,
,
又,,,,
,,
,
（2）根据余弦定理,得,
由基本不等式得,,
的面积 QUOTE ,当且仅当时等号成立
的面积S的最大值为.
20、答案：（1）16
（2）
解析:（1）AB中垂线方程为,由得圆心
半径,圆的标准方程为①
（2）由于,故最小即最小时,四边形PMCN面积最小
此时,,直线PC方程,由得圆心
以PC为直径的圆的方程为:②
①-②得到直线MN的方程为.
21、答案：（1）见解析
（2）,
解析:（1）证明:⸪底面ABCD是菱形,,,且,平面PAC,又由于平面PBD,平面平面PBD,
（2）连结PO,过点A作PO的垂线,垂足为H,连结MH,知为AM与平面PBD所成的角,,因为AH为定值,且,所以当点M为PB的中点时AM取得最小值,此时取得最大值.如图,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,易知平面ABCD的法向量为,
设平面AMC的法向量为,
则,,,,
可取,设平面MAC与平面ABCD夹角为,,
即平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值为.
,解得,.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）椭圆C的方程为,
韦达定理得,.
（2）设,,有,
设直线PB方程为,联立,得,
直线AP的方程为,
假设直线AP过定点T,令,,得,
即直线AP过定点.