2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用．以下手机应用的标志lg是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 5，12，13B. 7，9，11
C. 6，9，12D. 0.3， 0.4， 0.5
3.已知▵ABC≌▵DEF，则下列说法错误的是
( )
A. ∠A=∠DB. AC=DFC. AB=EFD. ∠B=∠E
4.如图，通过尺规作图得到∠A′O′B′=∠AOB的依据是
( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
5.已知等腰三角形一边长为3，周长为12，那么它的腰长为( )
A. 3B. 4.5C. 3或4.5D. 无法确定
6.如图，到△ABC的三个顶点的距离相等的点P应该是
( )
A. △ABC三边的垂直平分线的交点B. △ABC三个内角平分线的交点
C. △ABC三条中线的交点D. △ABC三条高所在直线的交点
7.如图，点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，点F为射线CA上一点．若PE=6，则PF长的最小值是
( )
A. 4B. 5.5C. 6D. 8
8.如图，在△ABC中，∠A=90∘，BC的垂直平分线DE交BC于E，交AB于D，若BC=15,AC=9，则△ACD的周长为
( )
A. 16B. 21C. 24D. 26
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.如图，镜子中号码的实际号码是 ．
10.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”.即c= a2+b2(a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为6，“股”为8，则“弦”是 ．
11.图中的两个三角形全等，则∠α= °.
12.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线且CD=6，则AB的长为 ．
13.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别足4、6、2、4，则正方形E的边长是 ．
14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则顶角的度数是 ．
15.如图，在△ABC中，∠C=34∘，D为BC边上一点，连接AD，将▵ABD沿AD所在直线翻折，点B恰好落在AC边上的点E处，且满足AB+BD=AC，那么∠AED的度数为 ∘．
16.数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为8cm的无盖正方体铁盒不计铁盒厚度，有一只蚂蚁在铁盒上爬行．已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形ABDC爬行，爬到边AB上再在边AB上爬行3cm，最后再沿着内壁正方形ABDC爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是 cm．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，B是线段AC的中点，AD//BE,BD//CE，求证：△ABD≌△BCE．
18.(本小题8分)
如图已知∠1=∠3，BC=CE，CA=CD，求证▵ABC≌▵DEC：
19.(本小题8分)
如图所示，已知CD=BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAE=∠BAF，∠B=∠C．
(1)求证：AE=AF；
(2)求证：△ACD≌△ABD．
20.(本小题8分)
如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD．
(1)求证：△ABC≌△CDE；
(2)请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘,D为AB的中点，∠A=30∘,BC=2，
(1)求CD的长．
(2)请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
(1)求证：PE=PF；
(2)求证：PD平分∠BPC．
23.(本小题8分)
大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC=3m，BE=1m．
(1)要想求AC的长度，我们可以设AC为xm，则AB= ；
(2)请求出滑梯AC的长度．
24.(本小题8分)
有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的10×10网格(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点)，此地图以直线l为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点△ABC，请利用网格线和无刻度的直尺画图．
(1)对方玩家根据地△A​′B​′C​′与△ABC关于直线l成轴对称，请画出△A​′B​′C​′；
(2)为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线l；
(3)在界线l上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P．
25.(本小题8分)
如图，在△BAC中，AD⊥BC，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BD=AE．
(1)求证：BF=EF；
(2)若BE⊥AC，求∠CAD的度数．
26.(本小题8分)
我们对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积，我们能得到等式： ；
(2)如图2所示，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形可以拼成一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ；(结果为最简)
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角△ABC中，∠C=90∘，三边长分别为a、b、c，已知ab=10，c=4，求a+b的值．
②如图3，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，垂足为O，AC=BD=4，在直角△AOD中，OA=x，OD=y，若△AOD的周长为4，则△BOC的面积=______．
27.(本小题8分)
【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，△ABC中，AB=6,AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长AD到点E，使DE=AD.请根据小聪的方法解决以下问题：
(1)求得AD的取值范围是 ；
(2)
【问题解决】请利用上述方法(倍长中线)解决下列三个问题
如图，已知∠BAC+∠CDE=180∘，AB=AC,DC=DE，P为BE的中点．
如图1，若A，C，D共线，AC:CD=3:5，S△ABP=6，求四边形ABED的面积；
(3)如图2，若A，C，D不共线，AP=PD，求证：AB⊥AC；
(4)如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC=α，且AB=AC=CD=DE，则∠PDC的度数是 .(用含α的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查了轴对称图形的辨识知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答即可．
解：A.不是轴对称图形，故选项A不符合题意；
B.不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C.不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D.是轴对称图形，故选项D符合题意
故选：D．
2.【答案】A
【解析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
解：A，52+122=169=132，故5，12，13是勾股数；
B，72+92≠112，故7，9，11不是勾股数；
C，62+92≠122，故6，9，12不是勾股数；
D，0.3,0.4,0.5不是整数，故0.3,0.4,0.5不是勾股数．
故选A．
3.【答案】C
【解析】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
先画出图形，再根据全等三角形的性质得出即可．
解：如图，

∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，
即只有选项C错误，选项A、B、D都正确；
故选项C符合题意；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】根据作图过程利用SSS可以证明▵OCD≌▵O′C′D′，进而可得结论．
解：根据作图过程可知，
在△OCD和△O ′C ′D ′中，
OC=O′C′OD=O′D′CD=C′D′,
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB(全等三角形的对应角相等)．
故选：A．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
5.【答案】B
【解析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．根据题意分3是腰长时，3是底边时两种情况，分别求得其他两边，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求得腰长．
解：①3是腰长时，三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
②3是底边时，腰长为1212−3=4.5，三边分别为4.5、4.5、3，能组成三角形．
综上所述，腰长为4.5．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据“三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”，即可求解．
解：∵点P到△ABC三个顶点的距离相等，
∴点P在△ABC三边的垂直平分线上，
即点P应该是△ABC三边的垂直平分线的交点．
故选：A
7.【答案】C
【解析】本题考查角平分线的性质，运用垂线段最短，结合角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可．
解：∵直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，
∴PF⊥AC时PF长有最小值，
∵点P是∠ACB的平分线上一点，PE⊥BC于点E，PE=6，
∴PF⊥AC时，PF=PE=6，
∴PF长的最小值是6，
故选C．
8.【答案】B
【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到DC=DB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：由勾股定理得，AB= BC2−AC2= 152−92=12，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+DB=AC+AB=21，
故选：B．
9.【答案】3265
【解析】根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是3265，
故答案为3265．
10.【答案】10
【解析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵c= a2+b2(a为勾，b为股，c为弦)，
又∵“勾”为6，“股”为8，
∴“弦”= 62+82=10，
故答案为：10．
11.【答案】55
【解析】根据全等三角形的性质解答．
解：∵两个三角形全等，∠α为边a与c的夹角，
∴∠α=180∘−60∘−65∘=55∘，
故答案为：55．
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12.【答案】12
【解析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求解．
解：∵∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线且CD=6，
∴AB=2CD=12．
故答案为：12
13.【答案】4
【解析】本题考查了勾股定理，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出x2，y2，则z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2.熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
解：如图，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，

由勾股定理得：x2=4+6=10，y2=2+4=6，
则正方形E的面积为：z2=x2+y2=10+6=16，
故正方形E的边长为： 16=4，
故答案为：4．
14.【答案】20°或160°
【解析】分两种情况作出图形讨论，利用三角形的内角和定理可得出答案．
①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD=70°，BD⊥AC，
∴∠A=90°−70°=20°，
∴三角形的顶角为20°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD=70°，BD⊥AC，
∴∠BAD=90°−70°=20°，
∵∠BAD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=160°
∴三角形的顶角为160°，
故答案为：20°或160°．
本题考查了等腰三角形的性质，关键是要注意分类讨论，不要漏解．
15.【答案】68
【解析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，通过折叠前后对应边相等可得AE=AB，BD=ED，结合已知条件通过等量代换可得DE=CE，再根据等边对等角和三角性质外角的性质求解，掌握折叠前后对应边相等是解题的关键．
解：∵AB+BD=AC，AE+EC=AC，
∴AB+BD=AE+EC，
由折叠的性质可得AE=AB，BD=ED，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠C=34∘，
∴∠AED=∠EDC+∠C=34∘+34∘=68∘，
故答案为：68．
16.【答案】16
【解析】将正方形ABDC沿着AB翻折得到正方形ABD′C′，过点P在正方形ABDC内部作MP⊥BD，使MP=3cm，连接PQ，过M作MN⊥C′D′于点N，则四边形PMND′是矩形，四边形PQEM是平行四边形；此时，CE+EQ+QP=C′E+EQ+EM=C′M+EQ最小，运用勾股定理求解即可．
解：如图，将正方形ABDC沿着AB翻折得到正方形ABD′C′，过点P在正方形ABCD内部作MP⊥BD，使MP=3cm，连接PQ，过M作MN⊥C′D′于点N，则四边形PMND′是矩形，四边形PQEM是平行四边形，
∴MN=PD′，EM=QP，D′N=MP，∠C′NM=90∘，
此时CE+EQ+QP=C′E+EQ+EM=C′M+EQ最小，
∵点P是BD中点，
∴BP=12BD=4cm，
∴MN=PD′=12cm，C′N=C′D′−D′N=5cm，
在Rt△C ′MN中，C′M= C′N2+MN2= 52+122=13cm，
∴C′M+EQ=13+3=16cm，
故答案为：16．
本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
17.【答案】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵AD//BE，
∴∠A=∠EBC，
∵BD//EC，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
∠A=∠EBCAB=BC∠DBA=∠C,
∴△ABD≌△BCE(ASA)．

【解析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵∠1=∠3，
∴∠1+∠2=∠3+∠2，
即∠BCA=∠ECD，
在△ABC和△DEC中
BC=CE∠BCA=∠ECDCA=CD,
∴△ABC≌△DEC(SAS)．


【解析】由∠1=∠3，可得∠BCA=∠ECD，由SAS可证▵ABC≌▵DEC．
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
19.【答案】【小题1】
解：∵CD=BD，点E、F分别是CD、BD的中点，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中．
∠C=∠B∠CAE=∠BAFCE=BF,
∴△ACE≌△ABF(AAS)，
∴AE=AF．
【小题2】
解：∵△ACE≌△ABF，
∴AB=AC，
在△ACD和▵ABD中
AB=ACAD=ADBD=CD
∴▵ACD≌▵ABDSSS．

【解析】1.
本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
先证明CE=BF，再利用AAS证明△ACE≌△ABF，从而可得结论；
2.
先证明AB=AC，再利用SSS证明△ACD≌△ABD即可．
20.【答案】【小题1】
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90∘，
∴∠BAC+∠BCA=90∘=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
∠B=∠DAB=CD∠BAC=∠DCE,
∴△ABC≌△CDE(ASA)．
【小题2】
解：BD=AB+DE
由(1)可知，△ABC≌△CDE
∴AB=CD，BC=DE
∴BD=BC+CD=AB+DE．

【解析】1.
本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
根据题意的∠B=∠D=∠ACE=90∘，∠BAC=∠DCE，然后证明出△ABC≌△CDE(ASA)即可；
2.
首先根据全等三角形的性质得到AB=CD，BC=DE，进而求解即可．
21.【答案】【小题1】
解：∵∠ACB=90∘,D为AB的中点，
∴CD=12AB，
∵∠A=30∘,BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴CD=2；
【小题2】
解：∵∠A=30∘，∠ACB=90∘，
∴BC=12AB．

【解析】1.
本题考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线．
根据含30度的直角三角形的性质，得到AB=2BC，斜边上的中线，得到CD=12AB，即可得出结果；
2.
根据30度的角所对的直角边为斜边的一半，即可．
掌握30度的角所对的直角边为斜边的一半，斜边上的中线为斜边的一半，是解题的关键．
22.【答案】【小题1】
证明：∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD平分∠BAC，
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE=PF；
【小题2】
证明：∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴线段PD在BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
∴PD平分∠BPC．

【解析】1.
本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，垂直平分线的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
由AB=AC，D是BC边的中点，可得AD平分∠BAC，由PE⊥AB，PF⊥AC，可得PE=PF；
2.
由AB=AC，D是BC边的中点，可得AD⊥BC，则线段PD在BC的垂直平分线上，PB=PC，进而可得PD平分∠BPC．
23.【答案】【小题1】
(x−1)m
【小题2】
解：由题意得：∠ABC=90∘，
在Rt▵ABC中，AB2+BC2=AC2，
即(x−1)2+32=x2，
解得x=5，
∴AC=5m．
答：滑道AC的长度为5m．

【解析】1.
本题主要考查了列代数式，勾股定理；
根据AC=AE=xm，BE=1m，求出AB的长度即可；
解：根据题意得：AC=AE=xm，
∵BE=1m，
∴AB=(x−1)m．
故答案为：(x−1)m．
2.
根据勾股定理求出结果即可；
解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
24.【答案】【小题1】
解：如图所示，△A​′B​′C​′即为所求；
【小题2】
解：如图所示，点O即为所求；
∴点O越过分界线l；
【小题3】
解：如图所示，点P即为所求；

【解析】1.
本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键；
根据轴对称的性质找到A、B、C对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接A′、B′、C′即可；
2.
根据题意可得点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点处，AB，A C垂直平分线的交点即可；
3.
连接A′B交直线l与点P，点P即为所求．
25.【答案】【小题1】
证明：连接DE，

∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB=90∘，
∵点E是AC的中点，
∴DE=12AC=BD，
∵BD=AE，
∴BD=DE，
∵DF⊥BE．
∴BF=EF；
【小题2】
解：∵BE⊥AC，BE为AC边上的中线，
∴线段BE是AC的垂直平分线，
∴AB=CB，
同理可证，AB=AC，得AD平分∠BAC，
∴AB=AC=CB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，
∴∠CAD=12∠BAC=30∘．

【解析】1.
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线是解题的关键．
连接DE，先由直角三角形性质得到DE=12AC=BD，再由等腰三角形三线合一性质可得结论；
2.
先证明线段BE在AC的垂直平分线上，可得AB=CB，再证明△ABC为等边三角形，最后求出∠CAD的度数．
26.【答案】【小题1】
a+b2=a2+b2+2ab
【小题2】
a2+b2=c2
【小题3】
解：①∵在直角△ABC中，∠C=90∘，三边长分别为a、b、c，ab=10，c=4，
由(2)可得a+b2=2ab+c2，即a+b2=2×10+42=36，
∴a+b=6；
②∵在直角△AOD中，OA=x，OD=y，△AOD的周长为4，
∴AD=4−x−y，
∵在直角△AOD中，AD2=AO2+OD2，
∴4−x−y2=x2+y2，
∴xy=4x+4y−8，
∵AC=BD=4，
∴OB=4−y，OC=4−x，
∴S△BOC=12OB⋅OC
=124−x4−y
=1216−4x−4y+xy
=1216−4x−4y+4x+4y−8
=4．

【解析】1.
根据图1的面积为大正方形的面积，也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，分别列出代数式即可得到答案；
解：图1的面积为大正方形的面积，即a+b2，
图1的面积也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，即a2+b2+2ab，
故可得等式：a+b2=a2+b2+2ab，
故答案为：a+b2=a2+b2+2ab；
2.
图2的面积为直角梯形的面积，也可以看作是3个直角三角形的面积和，分别列出代数式即可得到答案；
解：图2的面积为直角梯形的面积，即12a+ba+b=12a+b2，
图2的面积也可以看作是3个直角三角形的面积和，即12ab+12c2+12ab=ab+12c2，
故可得等式：12a+b2=ab+12c2，
∴a+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2，
故答案为：a2+b2=c2；
3.
①利用(2)中的结论，代入数据直接计算即可；
②根据△AOD的周长先求出AD=4−x−y，然后利用勾股定理列式整理得到xy=4x+4y−8，求出OB=4−y，OC=4−x，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，完全平方公式，勾股定理等知识，熟练掌握常见几何图形的面积公式及整式的运算法则是解题的关键．
27.【答案】【小题1】
1【小题2】
解：如下图，延长DP交AB延长线于点F，
∵∠BAC+∠CDE=180∘，
∴AF//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠PFB=∠PDE，∠PBF=∠PED，
∵P为BE的中点，
∴BP=PE，
∴△BPF≌△EPD(AAS)，
∴BF=DE=DC，PD=PF，S四边形ABED=S△ADF，
∴S△ADP=S△AFP，
∵ACCD=35，
∴S△ABPS△BPF=3：5，
∴S△BPF=10，
则S△APF=16，
∴S四边形ABED=S△ADF=2S△APF=32．
【小题3】
解：延长DP至点F，使得PF=PD，连接BF、AF、AD，
∵PB=PE,∠DPE=∠FPB，
△DPE≌△FPB(SAS)，
∴BF=DE=CD，∠E=∠FBP，
∵∠BAC+∠CDE=180∘，且∠BAC+∠CAD+∠ADC+∠CDE+∠E+∠ABP=360∘，
∠CAD+∠C+∠ADC=180∘，
∴∠ABF=∠ACD，
∵AB=AC，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∵PF=PD,AP=AP，
∴△APF≌△APD(SSS)，
∴∠APD=∠APF=180∘÷2=90∘，
∵AP=PD,
∴∠PAD=45∘,
同理可得，∠PAF=45∘，
∴∠FAD=90∘,
∴∠BAC=90∘
∴AB⊥AC．
【小题4】
45∘−α2

【解析】1.
先证明△ADC≌△EDB，根据三角形三边之间的关系即可进行解答；
解：延长AD到点E，使DE=AD．
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△EDB，
∴AD=DE，BE=AC=4，
∴6−4∴1故答案为：12.
DP交AB延长线于点F，证△BPF≌△EPD即可；
3.
延长DP至点F，使得PF=PD，连接BF、AF、AD，证△BPF≌△EPD及△ABF≌△ACD即可；
4.
过点C作CM⊥BC交AP于点M，由(3)可得∠APD=90∘，证△ACM≌△DCP，用含α的代数式表示出即可．
解：过点C作CM⊥BC交AP于点M，如图，
由(3)可知∠APD=90∘,∠BAC=α,∠BAC+∠CDE=180∘,AB=AC=CD=DE，
∴∠ACB=180∘−α2=90∘−α2，
∴∠DCE=90∘−∠CDE2=90∘−180∘−α2=α2，
∴∠ACB和∠DCE互余，∠ACD=∠MCP=∠APD=90∘,
∴∠ACM=∠DCP=α2,∠CAM=∠CDP，
∴△ACM≌△DCP，
∴MC=PC,
∴∠BPA=45∘，
又∵∠ACB=90∘−α2，
∴∠PDC=∠PAC=∠BCA−∠APB=45∘−α2，
故答案为：45∘−α2．
本题是全等三角形的综合，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，多边形内角和定理，等腰三角形的性质，作出辅助线推理论证是解题的关键．