辽宁省阜新市2023-2024学年九年级上册10月月考数学试题（含解析）

这是一份辽宁省阜新市2023-2024学年九年级上册10月月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试时间：120分钟
一、选择题（每题2分，共20分）
1．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，，B．，，C．1，，1D．1，5，1
2．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．9.6B．0.6C．6.4D．0.4
4．如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
5．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD是菱形
B．若，则四边形ABCD是矩形
C．若，，则四边形ABCD是正方形
D．若，，则四边形ABCD是平行四边形
7．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（ ）
A．1B．C．D．
9．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（ ）

A．6B．15C．12D．30
二、填空题（每题3分，共18分）
11．关于x的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是 ．
12．不透明的袋子中装了2个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机出1个球，则摸出2个白球的概率为 ．
13．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为x，则根据题意可列方程 .
14．如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是 ．（第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色）

15．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边于点M，N．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
16．如图，菱形的对角线、相交于点，且，，分别过点、作与的平行线相交于点．点在直线上运动，则的最小值为 ．

三、解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)．
18．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.1）
(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)= ．
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
19．已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，试求四边形的面积．
20．为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用，，依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有，，的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到不同类比赛内容的概率．
21．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
22．如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．

(1)几秒后，四边形的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
23．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售， 4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥钧售价为多少元时，月销售利润达8400元？
24．在综合与实践活动课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝7．
动手操作
将图1中的矩形纸片折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后展平，得到折痕BE，连结EF，EC，如图2．
解决问题
请根据图2完成下列问题：
（1）线段CF的长为 ．线段CE的长为 ．
（2）试判断四边形ABFE的形状，并给予证明．
拓展探究
（3）将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D落在CE上的点N处，然后展平，得到折痕EM，连结MN，如图3，则线段CM的长为 ．
25．如图①，正方形中，点是对角线的中点，点是线段上（不与，重合）的一个动点，过点作且交边于点．

(1)求证：．
(2)如图②，若正方形的边长为6，过作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
(3)如图③，直接写出线段，，之间的数量关系．
参考答案与解析
1．C
【分析】求出一元二次方程的一般式，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
3．A
【分析】经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，说明点落在阴影部分的概率为0.6，再结合正方形的面积为16，即可估计阴影部分的面积．
【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在阴影部分的概率为0.6，
设阴影部分面积为S，则，即：，
∴黑色阴影的面积为9.6，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键．
4．D
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，推导得，再根据勾股定理性质计算，即可得到答案．
【详解】∵，点为边的中点，，
∴，
∴，
故选：D ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
5．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
6．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即AC、BD互相平分，且AC⊥BD，才可得四边形ABCD是菱形，故A错；
对角线相等的平行四边形是矩形，即AC、BD互相平分，且AC=BD，才可得四边形ABCD是矩形，故B错；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，即AC、BD互相平分，且AC⊥BD、AC=BD，才可得四边形ABCD是正方形，故C错；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确．
故选D
【点睛】本题考查平行四边形，特殊的平行四边形的判定，准确掌握判定定理是解题的关键．
7．C
【分析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据矩形的面积公式结合题意中的面积，可列方程．
【详解】解：设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据题意得，

故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找准相等关系，列出方程．
8．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，利用列表法求概率，先判断出哪些图形是中心对称图形和轴对称图形，然后利用列表法画出翻开2张卡片的所有结果，找出翻开的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果，再利用概率的公式，概率等于所求结果数与总结果数之比即可求解．
【详解】解：正方形、圆、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，
设“正方形、圆、平行四边形、菱形”的卡片分别为“A、B、C、D”，其中“A、B、D”既是轴对称图形又是中心对称图形，列表如下，
∴翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
9．C
【分析】如图所示，连接，根据矩形的性质可求出的长，根据三角形面积的计算方法可得，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，且，
∴，整理得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，几何图形面积的计算方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
10．B
【分析】作交的延长线于点，证、即可求解．
【详解】解：作交的延长线于点，如图：

设，则
∵
解得：
∴
故选：B
【点睛】本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键．
11．
【分析】设方程的另一根为 则由一元二次方程根与系数的关系可得：从而可得答案.
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是3，
设方程的另一根为
则

故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“一元二次方程根与系数的关系”是解本题的关键.
12．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出2个白球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：根据题意画如下树状图：
共有9种等可能的情况数，其中摸出2个白球有4种，
则摸出2个白球的概率为，
故答案为：．
【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键．
13．
【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得：
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为．
14．##0.5
【分析】运用画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：转盘一中的颜色分别用红，红，蓝表示，转盘二中的颜色分别用红，蓝表示，
∴画树状图把所有等可能结果表示，如图所示，

共有种等可能结果，其中红色和蓝色配成紫色的有种，
∴配得紫色的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查运用画树状图法求随机事件概率的计算，掌握以上知识是解题的关键．
15．9
【分析】根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案．
【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，证明是解答此题的关键．
16．
【分析】根据菱形的性质，可得四边形是矩形，如图所示，作点关于的对称点，连接，连接与交于点，可得，在中，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，即，
∵，，
∴四边形是矩形，且，，
∴，，，
如图所示，作点关于的对称点，连接，连接与交于点，此时满足最小，

∴，则，
∴，则，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，对称图形求线段最小值的方法，勾股定理的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）移项后，利用因式分解法求解即可；
（2）直接利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，，，
，
，．
【点睛】本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．
18．(1)0.6；
(2)；
(3)黑球16个，白球有24个
【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率．
（2）根据概率与频率的关系即可求解；
（3）根据摸到白球的频率即可得到白球数目，根据总数求黑球数目．
【详解】（1）解：由表中数据可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6．
（2）解：∵摸到白球的频率为0.6，
∴摸到白球的概率P(白球)=0.6=，
故答案为；
（3）解：盒子里白色的球有40×0.6=24（只）．
盒子里黑色的球有40-24=16（只）
答：盒子里黑球有16只，白球有24只．
【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
19．(1)见解析
(2)24
【分析】（1）由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，进而证明，则四边形是菱形；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，可得，根据勾股定理得，则，最后根据菱形的面积即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图所示，连接，与交于点O，
∵四边形是菱形，
∴互相垂直且平分，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∴四边形的面积．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形对角线 垂直平分是解题的关键．
20．
【分析】运用画树状图将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到不同类比赛内容的有种，
∴小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为．
【点睛】本题主要考查画树状图求随机事件的概率，掌握画树状图把所有等可能结果表示出来，概率的计算公式是解题的关键．
21．(1)，
(2)
(3)的值为或．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
22．(1)1秒
(2)不能，见解析
【分析】（1）根据题意可得当运动时间为时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可；
（2）看的面积能否等于，只需要看方程是否有解即可．
【详解】（1）解：，，
当运动时间为时，，
根据题意可得：
，
整理得：，
解得：或，
当时，点重合，不符合题意，舍去，
∴经过1秒钟，四边形的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，
理由如下：
根据题意可得：
，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．
23．(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%
(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（1）3，5；（2）四边形ABFE是正方形，证明见解析；（3）．
【分析】（1）由折叠可知△FBE≌△ABE，可得∠AFE＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，则CF＝BC﹣BF＝3，根据矩形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠＝D＝90°，CD＝AB＝4，可得到四边形ABFE是矩形，则AE＝BF＝4，DE＝3，根据勾股定理可得CE的长；
（2）由折叠可知△FBE≌△ABE，可得BF＝BA，∠A＝∠BFE，根据矩形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠BFE＝90°，可得到四边形ABFE是矩形，由于BF＝BA，于是得到四边形ABFE是正方形；
（3）设CM＝x，则DM＝4﹣x，由折叠可知△ENM≌△EDM，可得∠ENM＝∠D＝90°，DM＝NM＝4﹣x，EN＝ED＝3，则CN＝5﹣3＝2，在Rt△CNM中，根据勾股定理可得x的值，即可求解．
【详解】解：（1）由折叠可知△FBE≌△ABE，
∴∠AFE＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠＝D＝90°，CD＝AB＝4，
∴∠BFE＝∠A＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF＝AB＝4，
∴CE＝＝5，
故答案为：3，5；
（2）解：四边形ABFE是正方形，
证明：由折叠可知△FBE≌△ABE，
∴BF＝BA，∠BFE＝∠A，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABF＝90°，
∴∠BFE＝∠A＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
又BF＝BA，
∴四边形ABFE是正方形；
（3）设CM＝x，则DM＝4﹣x，
由折叠可知△ENM≌△EDM，
∴∠ENM＝∠D＝90°，DM＝NM＝4﹣x，
EN＝ED＝AD﹣AE＝7﹣4＝3，
∴CN＝CE﹣EN＝5﹣3＝2，
在Rt△CNM中，NM2+CN2＝CM2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，解得：x＝，
即CM＝．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的性质，正确的理解题意，证明四边形ABFE是矩形是解题的关键．
25．(1)证明见解析
(2)不发生变化，
(3)
【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，根据证明可得结论;
（2）连接，通过证明,得，即可得最终结论；
（3）根据和是等腰直角三角形，得，整理可得结论.
【详解】（1）证明：如图1，过作，交于，交于，

图1
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
（2）在点运动的过程中，的长度不发生变化，
理由是：如图2，连接，

图2
点是正方形对角线的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，是等腰直角三角形，
，
为定值是；
（3）如图1，，
理由是：，
是等腰直角三角形，
，
由（1）知：，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力.利用条件构造三角形全等是解题的关键．
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.59
0.604
0.601
0.599
0.601
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）