福建省厦门市集美区英才学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省厦门市集美区英才学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共24页。

A．锐角三角形B．直角三角形
C．菱形D．对角互补的四边形
2．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的三个点，相等的是（ ）
A．∠C和∠DB．∠DAB和∠CAB
C．∠C和∠EBAD．∠DAB和∠DBE
4．（4分）已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．AO＝BO
B．BO＝EO
C．点A关于点O的对称点是点D
D．点D 在BO的延长线上
5．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为（ ）
A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣1
6．（4分）已知坐标原点为O，点A（2，1），将OA绕原点O顺时针旋转90°后1的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）
7．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
8．（4分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，BC长为半径画弧，交腰AC于点E（ ）
A．∠EBC＝∠BACB．∠EBC＝∠ABEC．AE＝ECD．AE＝BE
9．（4分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米（ ）
A．6.5米B．9米C．13米D．15米
10．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+1，当的范围内，都有y≥0（ ）
A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣D．b≥﹣3
二、填空题（每小题4分）
11．（4分）方程x2﹣x＝0的解是 ．
12．（4分）抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 ．
13．（4分）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40° ．
14．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元．已知两次降价的百分率均为x则应列出方程 （列出方程即可，不要解方程）
15．（4分）AB为⊙O的直径，C为半圆弧AB的中点，点D在⊙O上，若AB＝6，则CD的长为 ．
16．（4分）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，2）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，顶点为D．将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA'B'C'，连结DE，线段DE的长度最大值为 ．
三.解答题（86分）
17．（86分）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
18．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（2，0）在所给平面直角坐标系中解答下列问题：
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）请直接写出经过A、B、C三点的⊙P的圆心P的坐标 ．
19．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3
（1）用列表描点画出它的图象；
（2）该二次函数的顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标 ．
（3）当0＜x＜2时，y的取值范围．
20．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．若BC＝2CD
22．某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x（元）（x＞50）（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该店主想每周获得利润2250元，能否实现，并说明理由．
23．如图1，△ABC中，AB＝AC，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，G是的中点，若FG＝2，CD＝2
24．在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，DG之间的数量关系，并证明．
25．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°
（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；
（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；
（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，将△ANB的面积记为S，若≤S≤
2023-2024学年福建省厦门市集美区英才学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．菱形D．对角互补的四边形
【答案】C
【解答】解：A、锐角三角形，故此选项错误；
B、直角三角形，故此选项错误；
C、菱形是中心对称图形；
D、对角互补的四边形，故此选项错误；
故选：C．
2．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：当a≠0，b2﹣2ac＞0时，
一元二次方程的求根公式为x＝，
故选：D．
3．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的三个点，相等的是（ ）
A．∠C和∠DB．∠DAB和∠CAB
C．∠C和∠EBAD．∠DAB和∠DBE
【答案】A
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠E＝∠C＝∠D＝90°．
故A正确，B，C，D错误．
故选：A．
4．（4分）已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．AO＝BO
B．BO＝EO
C．点A关于点O的对称点是点D
D．点D 在BO的延长线上
【答案】D
【解答】解：A、AO＝OE；
B、BO＝DO；
C、点A关于点O的对称点是点E；
D、点D ，正确；
故选：D．
5．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为（ ）
A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣1
【答案】C
【解答】解：∵令x＝0，则y＝﹣2（x﹣5）2﹣3＝﹣6，
∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）7﹣3与y轴交点的纵坐标坐标为﹣5，
故选：C．
6．（4分）已知坐标原点为O，点A（2，1），将OA绕原点O顺时针旋转90°后1的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）
【答案】C
【解答】解：过A作AC⊥y轴于C，过A1作A1D⊥y轴于D．
∵∠AOA6＝90°，∠ACO＝90°，
∴∠AOC+∠A1OD＝90°，∠A+∠AOC＝90°，
∴∠A＝∠A1OD，
在△AC5和△ODA1中
∵，
∴△AC0≌△ODA2（AAS），
∴A1D＝OC＝1，OD＝CA＝6，
∴A1的坐标是（1，﹣5）．
故选：C．
7．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
【答案】D
【解答】解：∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，
∴选项A不正确；
∵不在同一条直线上的三个点全等一个圆，
∴选项B不正确；
∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
∴选项C不正确；
∵三角形的内心到三边的距离相等，
∴选项D正确；
故选：D．
8．（4分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，BC长为半径画弧，交腰AC于点E（ ）
A．∠EBC＝∠BACB．∠EBC＝∠ABEC．AE＝ECD．AE＝BE
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：A．
9．（4分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米（ ）
A．6.5米B．9米C．13米D．15米
【答案】A
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上
连接OA．根据垂径定理，
设圆的半径是r，根据勾股定理2＝36+（r﹣4）5，解得r＝6.5
故选：A．
10．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+1，当的范围内，都有y≥0（ ）
A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣D．b≥﹣3
【答案】C
【解答】解：若抛物线的对称轴在0的左侧，
即x＝＜5，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝0时，y＝1＞5成立，
∴b＞0，
若抛物线的对称轴在0和之间，
即0≤≤，
∴﹣8≤b≤0，
此时抛物线的最小值为≥0，
∴﹣6≤b≤2，
∴﹣1≤b≤3，
若抛物线的对称轴在的右侧，
则，即b＜﹣6，
∵抛物线的开口向上，
∴当x＝，y＝，
解得：b，
∴﹣≤b＜﹣1，
综上可得：b，
故选：C．
二、填空题（每小题4分）
11．（4分）方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣6）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
x1＝8，x2＝1，
故答案为：x7＝0，x2＝8．
12．（4分）抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y＝2x2﹣bx+6，对称轴是直线x＝1，
∴＝3＝1．
13．（4分）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40° 50° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝40°．
∴∠BOC＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝50°，
故答案为50°．
14．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元．已知两次降价的百分率均为x则应列出方程 58（1﹣x）2＝43 （列出方程即可，不要解方程）
【答案】58（1﹣x）2＝43．
【解答】解：由题意得，58（1﹣x）2＝43．
故答案为：58（3﹣x）2＝43．
15．（4分）AB为⊙O的直径，C为半圆弧AB的中点，点D在⊙O上，若AB＝6，则CD的长为 3或3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OC、OD，
∵C为半圆弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝45°，
当D点与C点在AB同侧，如图1，
∵∠BCD＝15°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+15°＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD＝OC＝AB＝3，
当D点与C点在AB异侧，如图2，
∵∠BCD＝15°，
∴∠OCD＝∠OCB﹣∠BCD＝45°﹣15°＝30°，
过O点作OH⊥CD，如图4，
在Rt△OCH中，OH＝，
∴CH＝OH＝，
∴CD＝2CH＝3，
综上所述，CD的长为7或3．
故答案为8或3．
16．（4分）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，2）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，顶点为D．将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA'B'C'，连结DE，线段DE的长度最大值为 2+2 ．
【答案】2+2．
【解答】解：如图：
∵四边形OABC是矩形，A（2，C（2，
∴B（2，8），
将B（2，7），2）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴顶点D（，2），
∴OD＝2，
∵E为A'C'的中点，
∴OE＝A'C'＝，
在△DOE中，DE＜OD+OE，
∴当D、O、E构成三角形时+2，
当D、O、E不构成三角形，DE的长度最大
此时DE＝OD+OE＝6+2，
故答案为：5+2．
三.解答题（86分）
17．（86分）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2x2﹣7x﹣1＝0，
∴7x2﹣4x＝6，
则x2﹣2x＝，
∴x2﹣6x+1＝，即（x﹣1）2＝，
则x﹣1＝±，
∴x1＝，x6＝．
18．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（2，0）在所给平面直角坐标系中解答下列问题：
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）请直接写出经过A、B、C三点的⊙P的圆心P的坐标 （，） ．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）（，）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C2即为所求，
（2）∵AB2＝17+12＝7，BC2＝23+22＝6，AC2＝12+32＝10，
∴AB6+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
则经过A、B、C三点的⊙P的圆心P即为AC的中点，
∵A（7，0），3），
∴P（，），
故答案为：（，）．
19．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3
（1）用列表描点画出它的图象；
（2）该二次函数的顶点坐标是 （1，4） ，与x轴的交点坐标 （﹣1，0）（3，0） ．
（3）当0＜x＜2时，y的取值范围．
【答案】（1）见解答；
（2）（1，4），（﹣1，0）（3，0）；
（3）3＜y≤4．
【解答】解：（1）如下图：
（2）由图表信息得：二次函数的顶点坐标是 （1，4），6）（3；
故答案为：（1，6），0）（3；
（3）由（1）中图象得：当2＜x＜2时，y的取值范围为3＜y≤7．
20．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值．
【答案】2或﹣1．
【解答】解：根据“凤凰方程”的定义知x＝﹣1是一元二次方程2x3﹣mx﹣n＝0的根；
①当m＝﹣1时，5x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程；
②当m≠﹣2时，
∵m是方程2x2﹣mx﹣n＝2的一个根，
∴﹣1+m＝，
解得m＝8．
综上所述，m的值是2或﹣1．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．若BC＝2CD
【答案】见解析．
【解答】解：如图所示，连接AE，
∵ADB＝90°，点A、B，
∴AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，BC为底边，
又∵AE⊥BC，
∴AE是BC边上的中线，
∴E是BC的中点，
∴BC＝2CE，
∵BC＝2CD，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝，
又∵AE⊥BC，
∴∠ABD＝∠AED＝90°﹣∠CED
∴∠ABD＝90°﹣∠CED＝90°﹣＝，
∴∠BCD＝3∠ABD．
22．某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x（元）（x＞50）（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该店主想每周获得利润2250元，能否实现，并说明理由．
【答案】（1）y＝﹣10x2+1100x﹣28000；
（2）能实现，理由见解答过程．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x﹣35﹣5）[200﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1100x﹣28000；
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x7+1100x﹣28000；
（2）能实现，理由如下：
∵y＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250，
当y＝2250时，2250＝﹣10（x﹣55）4+2250，
解得：x＝55，
即包邮单价定为55元时，每周获得利润2250元．
∴能实现．
23．如图1，△ABC中，AB＝AC，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，G是的中点，若FG＝2，CD＝2
【答案】（1）答案见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠HAC+∠C＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAH，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAH，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CAH＝∠CAD，
∴∠BAC＝5∠CAD；
（2）解：如图，连接GC并延长交AD延长线于点H，BG，
∵G是的中点，
∴，
∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，
∴∠CAG＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AG垂直平分BC，
∴AG为直径，
∴∠ADG＝∠ACG＝90°，
∴∠GDH＝∠ACH＝90°，
∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，
∴∠AGC＝∠AHC，
∴AG＝AH，
∴CG＝CH，
在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，
∵∠AEB＝90°＝∠ACG，
∴BD∥GH，
∴四边形GHDF为平行四边形，
∴DH＝FG＝2，
设半径为r，则AH＝AG＝2r，
在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2＝（4r）2﹣（2r﹣7）2＝8r﹣2，
在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝4，
∴DG2＝GH2﹣DH5＝32﹣4＝28，
∴8r﹣2＝28，解得r＝4，
∴⊙O的半径为4．
24．在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，DG之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）补全图形见解答过程；EF＝AH+DG，理由见解答过程．
【解答】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，
∴AD＝AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BG∥AF，
∴∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABG＝2∠AEB，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠BGC＝∠ABG，
∴∠BGC＝7∠AEB；
（2）补全图2如下：
线段AH，EF，理由如下：
在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，连接HM，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，
又DN＝AH，
∴△ADN≌△BAH（SAS），
∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，
∵∠DNA+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠AHB＝90°，
∴∠APH＝90°，
∴∠BPM＝∠BPA＝90°，
由（1）知∠ABE＝∠GBE，
且BP＝BP，
∴△ABP≌△MBP（ASA），
∴AB＝MB，
而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，
∴△ABH≌△MBH（SAS），
∴∠HAB＝∠HMB＝90°，
∴A、H、M、B共圆，
∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，
∴∠DNA＝∠GMN，
∴GN＝GM，
∵CF∥AB，BG∥AF，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴BG＝AF，
∵AE＝AD＝AB＝MB，
∴EF＝GM，
∴EF＝GN，
∵GN＝DG+DN，
∴EF＝DG+AH．
25．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°
（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；
（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；
（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，将△ANB的面积记为S，若≤S≤
【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；
（2）2；
（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．
【解答】解：（1）点B在抛物线上，理由如下：
过点B作BH⊥x轴于点H，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，
则∠BOH＝60°，则BH＝，故点B（1，）；
抛物线过原点，则c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x；
当x＝1时，y＝；
（2）如图1，作点O关于AB的对称点O′，
则四边形AOBO′为菱形，
四边形AOBO′的面积＝AO×BH＝2×＝2；
（3）由点A、B的坐标得直线AB的表达式为：y＝，
点P（n，0），n2+n），n+），
△ANB的面积S＝×MN×（xB﹣xA）＝|n2+n﹣，
≤S≤，则≤|n2+n﹣2|≤，
解得：≤n≤﹣或或≤n≤