福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

这是一份福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则的值约为（ ）
A．0.25 B． C．0.89 D．
7．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题（共4小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分）
9．下面说法正确的有（ ）
A．化成弧度是
B．终边在直线上的角的取值集合可表示为；
C．角为第四象限角的充要条件是；
D．若角的终边上一点的坐标为，则．
10．已知一元二次方程有两个实数根，且，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
11，中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，若一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，则称这个函数为这个圆的“太极函数”，下列说法中正确的有（ ）
A．对于一个半径为1的圆，其“太极函数”仅有1个
B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数不可能是某个圆的“太极函数”
D．函数是某个圆的“太极函数”
12．已知函数，若函数有四个零点，且，则下列正确的是（ ）
A．的范围 B．的范围
C．的取值范围 D．的范围
三、填空题（共4小题，每小题5分）
13．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为______．
14．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则函数至少有______个零点．
15．已知，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围是______．
16．定义在上的函数满足，且，则使成立的的取值范围是______．
四、解答题（共6小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合，非空集合．
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．
（1）若；求及的值；
（2）若，求点的坐标．
19．已知函数．
（1）若在内单调递增，求的取值范围；
（2）若任意，都有，'求的取值范围．
20．设区间是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在“不动点”，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是．
（1）若函数有两个互为相反数的“不动点”，求实数的值；
（2）若函数在区间上不存在“不动点”，求实数的取值范围．
21．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的．即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立．
（1）现有两个奖励函数模型：①；②．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围。
22．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对，都有，求实数的取值范围．
闽侯一中2023-2024学年高一数学上学期第二次月考参考答案：
1．【答案】D
【详解】解不等式，得，即，所以．
2．【答案】C
【详解】因为，
3．【答案】B
【详解】对于，故A不正确：对于，故B正确；对于，故C不正确；对于，，故D不正确；
4．【答案】C
【详解】因为，所以．
5．【答案】D
【详解】因为函数在R上单调递增，所以，解得，
6．【答案】A
【详解】由题意可知：，当时，，代入公式得：即，则．
7．【答案】C
【详解】因为，所以，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A选项，当时，，所以，排除B、D选项，选C
8．【答案】B
【详解】依题意，函数的定义域为，令，则，即为奇函数，由于函数有最大值为，最小值为，则函数有最大值，最小值，由奇函数的性质知，所以．
9．【答案】AD
【详解】根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；易知终边在直线上的角与的角的终边相同，故其取值集合可表示为，即B错误；易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为，则，即D正确．
10．【答案】ABC
【详解】因为一元二次方程有两个实数根，且，令，则由题意可得，即解得，
11．【答案】BD
【详解】A项，对于任意一条过圆心的一次函数的图象都能够将该圆的周长和面积同时平分，所以有无数个，所以A项错误；B项，若函数经过圆的圆心，则该函数是“太极函数”，因为可以有无数个圆的圆心均在函数上，所以B项正确；C项，函数满足，奇函数，对称中心为，当某个圆的圆心为时，则该函数是“太极函数”，所以C项错误；D项，函数，因为，所以对称中心为，同理是“太极函数”，所以D项正确．
12．【答案】AC
【详解】函数准四个零点，等价于直线与函数的图象有4个交点，其横坐标依次为，在同一坐标系内作出直线与函数的图像，如图，观察图象知，，由得，，由，即得，且有，因此的范围是，A正确；由得，，显然在上递减，因此，则，B不正确；，显然函数在上单调递减，则，当且仅当时取等号，C正确；因为，则有，当时，，当时，，即的取值范围是，D不正确．
13．【答案】
【详解】设扇形半径为，而圆心角为，弧长．因此，则扇形面积为．
14．【答案】3
【详解】由题设可得，，则在区间内至少有一个零点；同理，则在区间内至少有一个零点；，则在区间内至少有一个零点；则函数至少有3个零点．
15．【答案】
【详解】在上单调递减，在上单调递增．所以当时，在R上单调递减，所以当时，．因为对任意，都存在，使得，所以只需即可，即，解得，即的取值范围是．
16．【答案】
【详解】由，且，则两边同时除以可得，令，则原不符式为，因此函数在上单调递减，由，得，又，于是，解得，所以使成立的的取值范围是．
17．【小问1详解】是的必要不充分条件，是A的真子集．
，解得．
∴实数的取值范围为．
【小问2详解】由，可得或，
解得或．∴实数的取值范围为．
18．【小问1详解】角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，当时，，
则，所以．
【小问2详解】依题意，，由，得，即，
于是，
因此，即，所以点们坐标为．
19．【小问1详解】若在内单调递增，则根据复合导函数的单调性，函数在内单调增减，且恒大于零，即，解得
【小问2详解】，即对任意都成立，即对任意都成立，即，又，当且仅当时等号成立，
20．【小问1详解】设两个“不动点”分别为，由題意得：，解得或，
【小问2详解】假设存在“不动点”，所以有，，令，所以，所以要使没有“不动点”，即在该方程无解，的对称轴为，
①当，即时，有，解得，所以；
②当，即时，有，解得
③当，即时，有，解得，所以，综上所述，．
21．【详解】（1）对函数模型：①，验证条件③：当时，而，即不成立，故不符合公司要求；
对函数模型：②，当时，条件①是增函数满足；，
满足条件②；对于条件③：记则当时，恒成立，即条件③也成立．故函数模型：②符合公司要求．
（2）函数符合条件①：由函数符合条件②，得，解得：；由函数得合条件③，得对恒成立，即对恒成立．，当且仅当，即时等号成立，
综上所述，实数的取值范围
22．【小问1详解】由，且是奇函数，得，于是，解得，即．
经验证，函数满足定义域成立，所以．
【小问2详解】函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，所以在上有两个不相等的实数根，则，解得．
【小问3详解】任取，且，
则，
当，且，则，
，即，所以，函数在上单调递减．
当，且，则，
，即所以，函数在上单调递增．
由题意知，
令，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，，
因为函数的对称轴方程为，
函数在上单调递增，当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．所以，
又因为对任意的都有恒成立，，
即，解得，
又，所以的取值范围是1
2
3
4
5
6
136.13
15.55
10.66