江西省宜春市高安市第二中学和高安四中2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份江西省宜春市高安市第二中学和高安四中2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0．0001的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
5．如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，，有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③④D．①②④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
7．若2是方程的一个根，则方程的另一根为________．
8．已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为、，底面半径分别为、，若，则________．
9．袋子中有10个除颜色外完全相同的小球在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀重复上述过程1500次后，共到红球300次，由此可以估计袋子中的红球个数是________．
10．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为________．（结果保留和根号）
11．如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点，在上，它们的横坐标分别是0，18，若沿着轴作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是________．
三、解答题（本大题有5小题，每题6分，共30分）
13．（1）解方程：
（2）点，，都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长．
14．一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（取3）
15．2023年9月23日晚，“第19届亚运会”开幕式在我国杭州隆重举行．小明和爸爸此次来杭州除了观看精彩比赛外，还想游览杭州的美景．由于时间关系，原计划去的乌镇和千岛湖只能去一个地方，他们决定不了．最后小刚提出用抽扑克牌的方式来决定．具体方法如下：把四张牌面数字分别是2、3、4、5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小刚先从其中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，那么去乌镇；否则，就去千岛湖．
（1）如果小刚抽出的牌面数字是4，那么他们去乌镇的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法分析他们去乌镇和千岛湖哪个地方的概率大．
16．如图，在边长为1的正方形网格纸上，以为圆，为半径作圆，点、、均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，作的中点；（2）在图2中，作，使得．

图1 图2
17．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高为2.44m，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方2.25m处？
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知抛物线经过，对称轴是直线．点，两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当取何值时，取最大值．
19．如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，过点作半圆的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求半圆的半径长．
20．近年来，随着国家对生态环境的不断优化治理，生态环境持续向好，生态旅游成为一种时尚，旅游用品也随之热销．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，设每个背包的售价为元．
（1）月均销量为________个；（直接写出答案）
（2）当为何值时，月销售利润为3120元？
（3）求月销售利润的最大值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，中，、（）．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
图1 图2
（1）求证：，，，四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证是的切线．
22．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段（点在点的左侧），点、在抛物线上．设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
六，解答题．（本大题共12分）
23．如图1，在中，，，．以为边向的下方作等边，连接，求的长．
图1 图2 图3 图4
（1）尝试探究 如图2，小明将绕点顺时针旋转60°得到，然后证为等边三角形，进而求得________；
（2）类比应用
①如图1，在中，其中是一个可以变化的角，，．以为边向的下方作等边，连接，则长的最大值是________；
②如图3，在中，其中是一个以变化的角，，．以为边向的下方作等腰直角．连接，求长的最大值及的长最大时的大小；
③拓展提升：如图4，点是等边三角形内部的一点，若，，，________．
2023—2024学年度上学期九年级数学训练参考答案
一、选择题
二、填空题
7． 8． 9．2 10． 11． 12．或
三、解答题
13．（1）， （2）
14．超速
．∴汽车的速度：，
∵，∴这辆汽车经过弯道时超速．
15．（1）解：由题意得
爸爸可选的扑克为2、3、5的三种结果，其中数字之和大于7的为5，
∴；故答案：；
（2）解：列表如下：
共有12种等可能结果，其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，小于或等于7的结果有8种，
∴两人的牌面数字之和大于7的概率：，
两人的牌面数字之和小于或等于7的概率：，
∴，∴小刚和爸爸去千岛湖的概率大．
16．
图1-1 图2-1
17．（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
18．解：（1）由题可得：，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）∵点，两点在抛物线上，
∴，
∴，
∵，∴当时，取最大值．
19．解：（1）连接，如图1，
∵过点作半圆的切线，交于点，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴；
图1
（2）连接，，如图2，
设圆的半径为，则，
∵，，，∴，，
图2
∵，∴，∴．
故圆的半径为．
20．（1）解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个．
故答案为：；
（2）设价格在40元的基础上上涨元，利润为元，
则，整理得
令，得，
解之得：，，∴，，
∴当为42或56时，月销售利润为3120元．
（3）由配方得：，
∴当，即时，有最大值3610，
即：月销售利润最大为3610元．
21．（1）证明：由旋转的性质，得，，
∴，
∴，即，
又∵，∴≌，
∴，
∵，∴，
∴，，，四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，，
∵，，∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴是的半径，∴是的切线．
22．（1）解：设抛物线解析式为：，
∵当时，，∴，
将点坐标代入解析式得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图，连接、相交于点，连接，取的中点，连接，
∵，∴，即，∴，
∵，，∵直线过对角线的交点，
∴平分矩形的面积，
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴，，
∵是中点，∴，
∵是中点，∴，∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∴抛物线平移的距离是4．
23．（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
将绕点顺时针旋转60°得到，
∴，，，，
∵，∴，
∴，
∴点、、共线，而，，
∴为等边三角形，
∵，∴．
（2）如图，∵为等边三角形，
∴，，
∵逆时针旋转60°得到，
∴，，，
∴是等边三角形，∴，
在中，，即，
则当点、、三点共线时，，即，
即的最大值是：6；
②∵为等腰直角三角形，∴，，
如图，将绕点顺时针旋转90°得到，
∴，，
连接，可得为等腰直角三角形，∴，
当点、、在同一直线上时，最大，
即最大，而，此时，，
∴，
当点、、在同一直线上时，
∴，则，
∴，．
③∵为等边三角形，
∴，，
把绕顺时针旋转60°得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，∴，
∴，∴．
1
2
3
4
5
6
B
B
C
B
D
D
2
3
4
5
2
5
6
7
3
5
7
4
6
7
9
5
7
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