四川省泸州市泸县泸县第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市泸县泸县第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间上点和，则为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】有空间向量的坐标，向量模的计算，或者空间两点间距离公式直接求得即可.
【详解】由空间两点间距离公式.
故选：.
【点睛】本题考查空间向量的模的计算,难度容易.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求模长即可.
【详解】因为，所以
所以.
故选：A.
3. 已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由直线倾斜角的定义，即可得到结果.
【详解】因为的倾斜角为，与垂直，所以的倾斜角为.
故选：B.
4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正方体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】D
【解析】
【分析】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，依次分析各选项对应的概率，看是否符合即可
【详解】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间
选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错；
选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为，不符合，故B错；
选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为，不符合，故C错；
选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D对
故选：D
5. 直线与直线互相平行，则实数
A. B. 4C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用两条直线平行，它们的斜率相等或者斜率都不存在的性质求解.
【详解】当时，，，此时，不满足条件，
当时，应满足，解得，
综上，.
故选：D.
【点睛】本题考查含有参数的两条直线平行的参数的求法，判断斜率相等或者斜率都不存在是关键.
6. 若方程表示圆，则m的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】配方变形为圆的标准方程后可得．
【详解】方程配方后得，它表示圆，则，．
故选：C．
【点睛】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆，可通过配方法化为圆的标准方程，由圆标准方程得条件．
7. 设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，由两点距离公式计算可得根据题意可得，进而利用点到直线的距离公式即可求解．
【详解】设，
，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，
，即．
圆心到直线的距离，
或．
故选：C．
8. 在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由线面角的最大值求出边长PC，将三棱锥补形成长方体，再确定外接球的半径，计算体积.
【详解】M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时，．
在中，，则，解得．
将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为．
故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．所以D正确；
故选：D.
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A. 圆B. 线段C. 椭圆D. 直线
【答案】BC
【解析】
【分析】结合基本不等式求得，结合椭圆定义分类讨论，即可求解.
【详解】由题意知，定点，，可得，
因为，可得，
当且仅当，即时等号成立．
当时，可得的，此时点的轨迹是线段；
当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．
故选：BC．
10. 中国篮球职业联赛（CBA）中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，且事件A，B，C是否发生互不影响，用频率估计事件A，B，C发生的概率，，，下述结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据频率与概率的关系，结合互斥事件的加法公式逐个判断即可
【详解】，用频率估计事件发生的概率，可得，，，故ABC正确，表示事件B发生或事件C发生，故．故D错误；
故选：ABC．
11. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的倾斜角等于
B. 在轴上截距等于
C. 与直线垂直
D. 与直线平行
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
因为直线经过点，所以直线的方程为，
即，
A，直线的斜率，则倾斜角等于，A错误；
B，当时，，所以在轴上的截距等于，B错误；
C，因为直线的斜率，直线直线的斜率为，，所以两直线垂直，C正确；
D，因为直线的斜率，直线的斜率，不过（1，-2），所以两直线平行，D正确.
故选：CD
12. 在正方体中，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，平面
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，△PBD的面积为定值
D. 当时，直线与所成角的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；
对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；
对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；
对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.
【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，
又平面，所以平面，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，平面，
同理可证平面，
，所以，平面平面，
平面，所以，平面，A正确；
对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动，
三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，
则，其大小随着的变化而变化，C错误；
对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，
因为且,所以四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角是直线与所成角，
在正中，的取值范围为，D正确.
故选：ABD.
第II卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知一组数按从小到大顺序排列的数据：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；这组数据的第30百分位数为______.
【答案】37
【解析】
【分析】按照百分位数的定义，直接求得.
【详解】因为这一组数据为：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；
所以第30百分位数为.
故答案为：37.
14. 已知三点共线，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，结合两点斜率公式列方程求的值.
【详解】因为三点共线，
所以，
所以，
解得.
故答案为：.
15. 设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于__________．
【答案】
【解析】
【详解】设到位于轴上方，坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴，即，
即，
∵，
∴，，
∴．
16. 设点P(x，y)是圆C：x2+(y-2)2=1上的动点，定点A(1，0)，B(－1，0)，则的最大值为_____
【答案】8
【解析】
【分析】用点的坐标表示出，，再求出并借助点P在圆C上的条件即可作答.
【详解】因点在圆C上，即，则，且，
而，
于是得，
显然在上单调递增，则当时，，即，
所以的最大值为8.
故答案为：8
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 对某班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中，，，，在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图所示．
（1）求实数m的值并估计每位同学每天参加课外活动的平均时间；
（2）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率．
【答案】（1），平均时间为34.75分钟；（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1可求，再根据平均数公式可求；
（2）设每天参加活动不少于50分钟的人分别为，甲，列出所有可能结果，再利用古典概型概率公式可计算.
【详解】（1）由频率之和为1可得，解得，
每位同学每天参加课外活动的平均时间为分钟；
（2）每天参加活动不少于50分钟的人有人，设为,甲，
则从中任选3人，可能情况有abc，abd，ab甲，acd，ac甲，ad甲，bcd，bc甲，bd甲，cd甲，共10种，
其中的男生甲被选中的情况有ab甲，ac甲，ad甲，bc甲，bd甲，cd甲，共6种，
则男生甲被选中的概率为.
18. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求对角线AC所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线垂直的关系求出直线斜率即可求AD边所在直线的方程；
（2）求出交点A的坐标即可求对角线AC所在直线的方程
【小问1详解】
解法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以．所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即；
解法二：因为矩形ABCD中，，所以设AD边所在直线的方程为：．又因为直线AD过点，所以将点代入上式得，解得．所以AD边所在直线的方程为：；
【小问2详解】
由，解得，即，所以对角线AC所在直线的方程：，即．
19. 甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4．记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，
（1）写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；
（2）写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；
（3）求“需要进行第五场比赛”的概率．
【答案】（1）事件为ACAC，概率为；
（2）事件分别为BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率为；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，写出所求事件，再利用相互独立事件的概率公式计算作答.
（2）比赛四场结束的事件是三个互斥事件的和，写出该事件，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解作答.
（3）由（2），利用对立事件求出概率作答.
【小问1详解】
依题意，， “乙队连胜四场”的事件为ACAC，
所以.
【小问2详解】
“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件BCBC；
“乙队连胜四场”为事件ACAC；“丙队上场后连胜三场”为事件ABAB和事件BABA，
所以，“比赛四场结束”的概率为
．
【小问3详解】
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
所以，需要进行第五场比赛的概率为.
20. 已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过原点且垂直于直线，直线l交圆C于M，N，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)由条件有圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线，两方程联立可求出圆心坐标，从而求出圆的方程.
(2)根据条件直线l的方程为：，先求出圆心到直线l的距离，再由垂径定理求出弦长，则三角形面积可求.
【详解】（1）线段的中垂线方程为：，
圆与x轴的交点分别为，则圆心在线段的中垂线上.
由，得，∴圆心C为，
又半径，
∴圆C的方程为.
（2）直线l垂直于直线，则
又直线l过原点，则直线l的方程为：，
所以点C到直线l的距离为：，
，
.
【点睛】本题考查利用圆的几何性质求圆的方程，考查圆中垂径的应用，属于中档题.
21. 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心.
（1）求证：平面平面PAC；
（2）若，求二面角A-OP-G的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面OPM的一个法向量和平面AOP的一个法向量，利用，即可求解.
【小问1详解】
证明：
如图，延长OG交AC于点M.
因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点.
因为O为AB的中点，所以.
因为AB是圆的直径，所以，所以.
因为平面ABC，平面ABC，所以.
又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC.
即平面PAC
又平面OPG，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
以点C为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz，
则，，，，，，
则，，，
平面OPG即为平面OPM，
设平面OPM的一个法向量为，
则
令，得.且
设平面AOP的一个法向量为，
则
令，得.且
设所求二面角的平面角为，
因为，
因为所求二面角为锐角，
所以二面角A-OP-G的余弦值为
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为.椭圆的左、右顶点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）过定点；，
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，从而可求出，再由可求出，进而可求得椭圆的方程，
（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程化简整理再由根与系数的关系可得，，再由直线，可求得，，则可得以为直径的圆的方程，结合前面的式子化简可得，从而可求得圆过的定点
【小问1详解】
由离心率.且左右顶点间距离为，
所以，，，
∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入椭圆的方程，整理得.
设，，则，②
由直线，令，
得，同理，
∴以为直径的圆的方程为，
即，③
由②得，
代入③得圆的方程为.
若圆过定点，则
解得或投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球次数
100
65
16