清单04 几何图形初步（14个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）-2023-2024学年七年级数学上学期期末考点预测（人教版）

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【知识清单】
考点一、柱、锥、球
立体图形：有些几何图形（圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等）各部分不在一个平面内，这样的图形叫立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形.
【例1】（2022秋•甘井子区校级期末）下列四个几何体中，是棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
【变式】（2022秋•洛江区期末）三个边长分别为a、b、c的正方形如图摆放，则阴影部分的周长（ ）
A．只与a，b有关B．只与a、c有关
C．只与b、c有关D．与a，b、c有关
考点二. 正方体的表面展开图
正方形展开图的知识要点：
1. 正方体的表面展开图一共有11种可能。
第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”
第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”
第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”
第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”
注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图：
2. 正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【例2】（2022秋•灵宝市期末）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A．B．C．D．
【变式】（2022秋•洪山区期末）下列图形中，能够折叠成一个正方体的是（ ）
A．B．
C．D．
考点三. 其他立体图形的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
【例3】（2022秋•广阳区校级期末）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆柱，圆锥，四棱柱，正方体
B．四棱锥，圆锥，正方体，圆柱
C．圆柱，圆锥，正方体，三棱锥
D．圆柱，圆锥，三棱柱，正方体
【变式】．（2022秋•灵宝市期末）下列四张正方形硬纸片，分别将阴影部分剪去后，再沿虚线折叠，其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是（ ）
A．B．
C．D．
考点四. 点、线、面、体之间的转化
1. 几何体是由点、线 、面构成的.
2. 线分为直线和曲线，面分为平面和曲面.
3. 点、线、面之间的关系：
点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.
【例4】（2022秋•磁县期末）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（ ）
A．B．C．D．
考点五、直线、射线、线段的联系与区别
注意：表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置.
【例5】（2023春•东平县期末）平面上有三点A、B、C，如果AB＝10，AC＝7，BC＝3，那么（ ）
A．点C在线段AB上
B．点C在线段AB的延长线上
C．点C在直线AB外
D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
【变式】（2022秋•渌口区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线CB不经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
考点六、计数问题
1. 平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：．
2. 若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为.
用到类似知识点问题：单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等.
【例6】．如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果线段上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；……
（1）当线段上有6个点时，线段共有______条；
（2）当线段上有个点时，线段共有多少条？（用含的代数式表示）
【变式】已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段 条．
考点七、 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
细节剖析
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
【例7】．（2022秋•衡东县期末）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共可以画（ ）
A．1条B．2条C．3条D．1条或3条
【变式1】．（2022秋•梅里斯区期末）在平面内，过（ ）点可以确定一条直线．
A．一B．两C．三D．四
【变式2】．（2022秋•许昌期末）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（ ）
A．过一点有无数条直线B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短D．线段是直线的一部分
【例8】．（2022秋•衡南县期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．两点确定一条线段
【变式】（2022秋•东洲区校级期末）如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．经过一点有无数条直线
D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离
【例9】．（2022秋•绥宁县期末）如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式】．（2022秋•武陵区期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝2cm，求AC的长．
考点八.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
【例10】．（2022秋•梁山县期末）如图，已知线段a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）．
（1）画一条线段，使它等于a+b；
（2）画一条线段，使它等于a﹣c；
并用字母表示出所画线段．
考点九．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
细节剖析
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
【例11】（2022秋•阳曲县期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（ ）
A．A'B'＞A'C'B．A'B'＝A'C'C．A'B'＜A'C'D．不能确定
【例12】如图：点C为线段AB上的一点，M、N分别为AC、BC的中点，AB＝40，则MN＝_____．
【变式】已知：如图，点在线段上，点是中点，．求线段长
【例13】如图，C为线段AB上的一点，AC：CB＝3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE为2cm，则AB的长为多少？
考点十．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
（2）. 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
(3)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
细节剖析
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（4）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
细节剖析
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（5）角的分类
（6）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
【例14】．（2022秋•新华区校级期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式】．（2022秋•甘肃期末）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．118°B．108°C．62°D．152°
【例15】．（2022秋•娄星区期末）把8.32°用度、分、秒表示正确的是（ ）
A．8°3′2″B．8°30′20″C．8°18′12″D．8°19′12″
【变式】．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝26°18'，则∠2的度数是（ ）
A．26°18'B．52°20'C．56°23'D．56°18'
【例16】如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）
【变式】如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
考点十一．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【例17】．（2022秋•渠县校级期末）如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＜∠AODB．∠BOC＜∠AOBC．∠COD＞∠AODD．∠AOB＞∠AOC
【变式】．（2022秋•栾城区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 ；
（2）若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 ；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
【例18】．（2022秋•达川区校级期末）如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是（ ）
A．59°B．60°C．69°D．70°
【变式】．（2022秋•建平县期末）如图，OC平分∠AOB，若∠AOC＝27°32′，则∠AOB＝ ．
【例19】．（2022秋•平泉市校级期末）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70°B．90°C．105°D．120°
【变式】．（2022秋•道县期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为（ ）
A．360°﹣4αB．180°﹣4αC．αD．270°﹣3α
考点十二．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
细节剖析
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
【例20】．（2022秋•灵宝市期末）已知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠1＝∠2D．∠1＝∠2＝∠3
【变式1】．（2022秋•绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【变式2】．（2022秋•阳西县期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，这个角为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
考点十三. 钟面角
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°.
技巧：钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题.
【例21】．（2022秋•宜城市期末）某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与分针的夹角是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
【变式】．（2022秋•九龙坡区期末）当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是（ ）
A．9点钟B．10点钟
C．4点钟或8点钟D．2点钟或10点钟
考点十四．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
细节剖析
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【例22】．（2022秋•汉台区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，∠AOB＝100°，则B地在灯塔O的（ ）
A．南偏东40°方向B．南偏东50°方向
C．南偏西50°方向D．东偏南30°方向
【变式】．（2022秋•和平区校级期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．OA方向是北偏东30°B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25°D．OD方向是东南方向
【核心素养提升】
1.分类讨论思想
1.以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC=______．
2.如图，点在直线上，．在中，，．先将一边与重合，然后绕点顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．
（1）当在与之间，且时，则______°．
（2）试探索：在旋转过程中，与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）在△ODE的旋转过程中，若，试求的大小．
2.直观想象-运用数形结合的思想方法解决问题
3．（1）特例感知：如图1，OC、OD是内部的两条射线，若，，则 °．
（2）知识迁移：如图2，OC是内部的一条射线，若OM、ON分别平分和，且，则的值为 ．
（3）类比探究：如图3，OC、OD是内部的两条射线．若OM、ON分别平分和，且，求的值．
3.数学建模
4.平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
5．在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线相交时最多有3个交点，四条直线相交时最多有6个交点，…，那么十条直线相交时最多有____个交点．
4.数学运算-运用整体思想求角度或线段的长
6.如图，点B在线段AC的延长线上，AC（1）若AC=8cm,CB=10cm，求线段MN的长；
（2）若AC=a,CB=b，求线段CD的长．
【中考热点聚焦】
热点1.角的平分线
1．（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 ．
热点2.余角和补角
2．（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36°B．44°C．54°D．63°
3．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50°B．60°C．140°D．160°
4．（2022•陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（ ）
A．42°B．52°C．132°D．142°
热点3.立体图形的展开图
5．（2023•威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
6．（2023•扬州）下列图形是棱锥侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023•陕西）如图，沿线段OA将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（ ）
A．三角形B．正方形C．扇形D．圆
8．（2023•达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°