清单08 锐角三角函数（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点预测（人教版）

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【知识清单】
考点一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；余弦：csA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【例1】（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】．（2022·河南·油田十中九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点二、特殊角的三角函数值
【例2】（2022·广西·平果市教研室九年级期末）计算：．
【变式1】（2022·四川乐山·九年级期末）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．
【变式2】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）计算：
考点三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=csB=，csA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cs2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式】（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，把一个量角器与一块30°（）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有点P恰好是量角器的半圆弧中点，连结CP．若BC＝4，则CP的长为（ ）
A．B．C．D．
考点四、仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【例4】（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．
【变式1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m）
【变式2】（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图：
聪聪的做法：
第一步：他在地面上B点处测得大树顶端的仰角为35°，
第二步：他继续向大树方向走8m到达D点时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，（已知A、E、M三点共线，聪聪的眼睛距地面的高度保持不变且为1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN=6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．
第三步：计算出大树的高MN．
请你根据聪聪做法，计算出大树大概有多高？（结果精确到1m）．
（参考数据：，，，）
考点五、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
【例5】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是，前进20米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是，继续沿着坡比为的斜坡BC上升到C处，此时又测得旗杆顶端N点的仰角是，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，CM//AD，求旗杆MN的高度．
【变式1】（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为．小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点．在此测得旗杆顶端点的仰角为39°，求旗杆的高度．（参考数据：，，）
【变式2】（2022·山东威海·九年级期末）某风景管理区，为提高旅游安全性，决定将到达景点步行台阶的倾角由45°改为30°，已知原台阶坡面AB长为5m（BC所在地面为水平面），调整后的台阶坡面为AD．求：
(1)调整后的台阶坡面会加长多少？
(2)调整后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据：，）
考点六、方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
【例6】（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，是湿地公园里的一条环形跑道，B在A的正南方．一天，李老师从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿AB方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东75°方向．（A，B，C在同一平面内，参考数据：，）
(1)求BC的长；（结果保留整数）
(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB段继续向正南方向延伸至D处，再将DC连接起来组成新的环形跑道．若在D处测得C在D的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．
【变式】（2022·安徽合肥·九年级期末）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cs63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32)
考点七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
【例7】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）．

A．米B．米C．米D．米
【变式】．（2021春·浙江杭州·九年级期末）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CO为900m，且点O，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_______．（结果保留根号）
考点八、解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【例8】（2021·浙江·九年级期末）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形例如：如图1，中，，和是星相似三角形．如图2，是的中点，以为直径画圆，交，于点，，．
（1）①若，求的长．
②设，，试写出与的函数关系式．
（2）若，则与哪个三角形星相似，并证明．
（3）在（2）的条件下，求的长．
【变式】．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为，，．
(1)点D到的距离为_____；
(2)求点D到的距离．
【核心素养提升】
1.直观想象-通过画函数图象解决三角函数问题
1．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．

2．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中点点的坐标分别为，，将三角形沿着折叠，点落在点处，求过点的反比例函数表达式 ．

3．（2022上·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．

(1)求点A、B、C、D的坐标；
(2)求的余弦值．
2.数学运算-利用特殊角的三角函数值求值
4．（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知中，点为边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（ ）
①连接，若为中点，且平分，则；
②若，且，则；
③若，且，则；
④若，，且平分，则的重心在上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022·河南南阳·九年级期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校九年级期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则弧AB的长为_______．
7．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）如果，那么锐角的度数为________°．
8．（2021·河北保定·九年级期末）随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cs37°≈0．80，tan37°≈0．75）
3.数学建模-构造含已知条件的直角三角形解决实际问题
9．（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF平行MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）
4.转化思想
10.（2023•包河区三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处测得河的北岸点B在其北偏东13°方向，然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东53°方向，求河宽．（结果精确到0.1，参考数据sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，cs77°≈0.22，tan77°≈4.33）
11.（2023•庐阳区校级三模）如图，灯塔B位于港口A的北偏东67.4°方向，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为18km．一艘轮船在港口A的正南方向距港口46km的D处，测得灯塔C在轮船北偏东37.0°方向上，求港口A距离灯塔B有多远？（结果取整数）
（参考数据：sin67.4°＝，cs67.4°＝，tan67.4°＝，sin37.0°＝，cs37.0°＝，tan37.0°＝）
5.分类讨论思想
12.（2023·上海·一模）如图，在中，，， ，，平分交边于点D，点E是边上的一个动点（不与B、C重合），F是边上一点，且，与相交于点G．

(1)求证：；
(2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【中考热点聚焦】
热点1.锐角三角函数
1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
2．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
热点2.特殊角三角函数值
3．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
4．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cs30°＝
5．（2022•荆门）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝ ．
6．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
7．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
热点3.锐角三角函数与圆
8．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
9．（2023•达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2）
热点4.利用解直角三角形解决实际问题
10．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则csα的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（ ）
A．米B．米C．x•sinα米D．x•csα米
12．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米B．32cs25°米
C．米D．米
13．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1）
14．（2023•甘孜州）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，）
15．（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）．
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°