山西省朔州市怀仁市第九中学校2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山西省朔州市怀仁市第九中学校2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）30分
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将你认为正确的选项字母填入下表相应空格内，每小题3分，共30分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC中，D为BC边上一点，且△ABD与△ADC面积相等，则线段AD一定是（ ）
A．△ABC的高
B．△ABC的中线
C．△ABC的角平分线
D．以上选项都不对
3．下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部
④三角形的三个外角一定都是锐角
A．①②B．②③C．①③D．③④
5．如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，则图中全等三角形共有（ ）

A．1对B．2对C．3对D．4对
7．如图，把长方形沿对折，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形
9．作的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，则下列结论：①△BEC≌△CDB，②△ABC是等腰三角形，③AE=AD，④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷（非选择题）90分
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有 条对角线．
12．已知：如图，，则 度．
13．如图，△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后，得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝ 。
14．如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个．

15．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．在学习“轴对称现象”内容时,邱老师让同学们寻找身边的轴对称图形,小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示).

(1)小明的这三件文具中,可以看成轴对称图形的是 (填字母代号);
(2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案,画出草图(只需画出一种).
17．在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，BE=5，则求AC的长.
18．如图，已知等腰的顶角．
（1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形．
19．如图，中，，点P在AB上，，，垂足分别为D，E，已知，求BE的长．
20．图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
(1)求证：△PMN是等边三角形；
(2)若AB＝12cm，求CM的长．
21．如图，点在上，与交于点．求证：

(1)；
(2)．
22．如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．

(1)请说出的理由；
(2)试说出的理由；
(3)试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明．
23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）
（1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

（模型应用）
（2）如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有_____________（填“>、、”）
参考答案与解析
1．D
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.
【详解】A.是轴对称图形；
B.是轴对称图形；
C.是轴对称图形；
D.不是轴对称图形；
故选D.
【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键.
2．B
【分析】表示出△ABD与△ADC的面积，可推导出BD=DC，即可解答．
【详解】解：作AE⊥BC．
∵△ABD与△ADC面积相等，
∴BD×AE=DC×AE，
∴BD=DC，
即线段AD一定是△ABC的中线．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线分成的两个三角形的面积相等．
3．D
【分析】根据三角形某一边上高的概念，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵过三角形ABC的顶点A作AD⊥BC于点D，点A与点D之间的线段叫做三角形的高线，
∴D符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形的高的概念，掌握“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高”，是解题的关键．
4．B
【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以①是假命题；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以②是真命题；
三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部，所以③是真命题；
三角形的三个外角最多只有一个锐角，所以④是假命题．
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称与图形对应点的连线相互垂直平分是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可求解．
【详解】解：与关于直线对称，
∴，
∴，故选项正确，不符合题意；
∵与关于直线对称，交于点，
∴，，
故、选项正确，不符合题意；
与，不一定平行，故选项错误，符合题意；
故选：．
6．C
【分析】先利用SAS证出△ABD≌△CDB，从而得出AD=CB，再利用SSS证出△ABC≌△CDA，从而得出∠ABO=∠CDO，最后利用AAS证出△ABO≌△CDO，即可得出结论．
【详解】解:在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB
∴AD=CB
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA
∴∠ABO=∠CDO
在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO
共有3对全等三角形
故选：C．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键．
7．B
【分析】根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【详解】解：根据折叠的性质有：，即，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．D
【分析】一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
【详解】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故A不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，故B不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故C不符合题意；
D、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺，故D符合题意．
故选D．
【点睛】题目考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
9．D
【分析】利用基本作图得到，，然后根据全等三角形的判定与性质即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
故选D．
10．D
【分析】根据已知条件逐一对选项进行分析．
【详解】①中，，
，
在和中，，
，故①正确；
②中，，
，
，
是等腰三角形，故②正确；
③中，，
，
，
，即，故③正确；
④中，，
，
，
，即，
又，
∴点O在的平分线上，故④正确．
综上所述：正确的有4个．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及角平分线的性质的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并灵活应用是解题的关键．
11．8．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【详解】设此多边形的边数为x，由题意得：
（x-2）×180=1620，
解得；x=11，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：11-3=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．
12．30
【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
【点睛】本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
13．260º
【分析】由∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1=∠ADE+∠A，∠2=∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值．
【详解】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角，
∴∠1=∠ADE+∠A，∠2=∠AED+∠A，
∴∠1+∠2=∠ADE+∠A+∠AED+∠A，
又∵∠ADE+∠A+∠AED=180°，
∴∠1+∠2=180°+80°=260°．
故答案为：260°．
【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
14．
【分析】利用轴对称图形的定义作出轴对称图形后即可确定轴对称图形的个数．
【详解】解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为：

故答案为：3．
【点睛】考查了轴对称图形的知识，解题的关键是了解轴对称图形的定义，难度不大．
15．
【分析】根据全等三角形的判定定理证明，进而利用勾股定理，在中，，求出即可
【详解】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在中，
，
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出，是解题关键．
16．（1）B、C；（2）画图见解析.
【详解】试题分析：(1)根据轴对称图形的概念进行判断即可得；
(2)根据轴对称图形的概念选择轴对称图形进行拼图即可得.
试题解析：(1)小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是B、C，
故答案为B、C；
(2)如图所示：

17．AC=2.5
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠EAB=15°，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】连接AE，
∵DE是AB的中垂线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠EAB=15°，
∴∠AEC=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=AE=BE=2.5．
18．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于点O，连接BO，交AC于点D，则问题可求解；
（2）由题意易得，然后可得，则问题可求证．
【详解】.解：（1）如图所示：即为所求；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴都是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
19．2
【分析】已知CD的长，求BE的长，可通过证明△BEC和△ACD全等来得出．这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据∠ABC=∠BAC=45°，因此∠ACB=90°，AC=BC，我们发现∠DAC和∠BCE同为∠ACD的余角，因此∠DAC=∠BCE，这样就构成了△ACD和△BCE全等的条件，两三角形全等．这样就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长．
【详解】解：，
，，
，，
，
在和中，，
≌，
．
【点睛】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
20．(1)见解析
(2)4cm
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；
（2）易证得，得出，，从而求得cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得PB的长，进而得出CM的长．
【详解】（1）证明：∵是正三角形，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，是正三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
∴，
同理可得
∴，
∴，，
∴cm，
∵△ABC是正三角形，
∴，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出是本题的关键．
21．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由得到，证明即可得证；
（2）利用得到，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．
【详解】（1）证明∶∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
22．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)是等边三角形，证明见解析．
【分析】（1）利用证明即可得出答案；
（2）根据，推出，由，点、、在同一条直线上，得出，根据即可证明；
（3）由，推出，根据即可证明．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，点、、在同一条直线上，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴（全等三角形的对应边相等），
又∵，
∴是等边三角形（有一内角为度的等腰三角形为等边三角形）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、邻补角定义、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质．
23．（1）；（2）见解析；（3）。
【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；
（2）分别过点和点作于点，于点，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题；
（3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，由题意易得，，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为；
（2）分别过点和点作于点，于点，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可知，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，即点是的中点；
（3），理由如下：
如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于

∵四边形与四边形都是正方形
∴，，
∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
同理可以证明，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
作法：
．在和上分别截取，使．
．分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
．作射线．
就是的平分线（如图）．