浙江省绍兴市新昌县南瑞实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省绍兴市新昌县南瑞实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．中，，，，（ ）
A．B．2C．D．
2．如图，在中，，，，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A．y=(x+1)2B．y=2(x-1)2C．y=2x2+1D．y=-(x-1)2
4．随机从二男一女三名学生的学号中抽取两个人的学号，被抽中的两人性别不同的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的长为（ ）

A．8B．12C．16D．20
6．以下点可能成为二次函数顶点的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点B，C，D在⊙A上，，，则的度数为（ ）
A．68°B．78°C．88°D．98°
9．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若，下列结论：①，②，③，④．正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．已知，，则a，b的比例中项为 ．
12．如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为 ．

13．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为
14．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为 ．
15．如图，在中，，，，．点正好落在上，那么 ．

16．设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，点C在线段AB上，，，求⊙O的半径．
18．小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌已知路灯的高度米，测得树影米，树与路灯的水平距离米，则树高AB为多少？
19．已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，，求的值；
（2）当，时，求证：函数图象与x轴有两个交点．
20．从数中任取两个，其和的绝对值为（是自然数）的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为4的概率）．
(1)求的所有取值；
(2)求；
(3)能否找到概率，使？若能找到，请举例说明，若不能找到，请说明理由．
21．如图，内接于⊙O，AB为⊙O的直径，，．连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：．
（2）求的值．
22．设函数和的图象相交于点，函数的图象的顶点分别为和．
(1)画出当时，函数在直角坐标系中图象；
(2)观察（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的表达式，并说明理由；
(3)设，求证：是与无关的常数，并求的最小值；
(4)设直线的图象分别与函数的图象交于和，．若，写出所有实数．（直接写出的值即可，不要求写理由）
23．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．

(1)求的值．
(2)若，
①求证：．
②求证：．
24．在直角坐标系中，已知点（为非零实数），点与点关于原点对称，若抛物线过三点．
(1)当时，求抛物线对应的二次函数解析式；
(2)尝试把的取值分成两类，使抛物线对应的二次函数分别有关于的最大、最小值，并写出最大值和最小值关于的函数解析式．
参考答案与解析
1．A
【分析】求出斜边AB，再求∠A的正弦值．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．
2．D
【分析】利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴BC=DE=．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于基础题型．
3．C
【分析】由已知可知对称轴为x＝0，从而确定函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，由选项入手即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x＝0，
即函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．C
【分析】随机从二男一女三名学生的学号中抽取两个人的学号，先画树状图得到所有的等可能的结果，被抽中的两人性别不同的结果，再按照概率公式计算即可．
【详解】解：随机从二男一女三名学生的学号中抽取两个人的学号，
画树状图如下：

可得一共有种等可能的结果，其中性别不同的结果有种，
所以被抽中的两人性别不同的概率为
故选：
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．
5．C
【分析】利用垂径定理求解即可．
【详解】解：如图：
，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．
6．A
【分析】根据顶点公式求得顶点坐标为，即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点．
【详解】解：二次函数中，
，，
顶点坐标为，
可能成为函数顶点的是，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握顶点公式是解题的关键．
7．B
【分析】连接AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到∠DAE=45°，AC=，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：连接AC、AF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AB=BC=AD=，∠DAE=45°，
∴由勾股定理，则
，
∴，
由弧长公式，则
的长为：；
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转变换的性质，勾股定理，以及正方形的性质，掌握弧长公式进行计算是解题的关键．
8．C
【分析】由圆周角定理，求出，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
9．B
【分析】根据B，C是对称点，可确定抛物线的对称轴，根据抛物线与x轴无交点，与y轴交于点（0,1）可画出抛物线的草图，根据草图计算判断即可.
【详解】∵，，
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
∵二次函数的图象与x轴没有交点，
∴抛物线的开口一定向上，
由此可画出抛物线的草图如下：
∴，
故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的性质，对称轴，与x轴的交点，抛物线的草图的画法，纵坐标的大小比较，根据题意，判断对称轴，画出符合题意的草图是解题的关键.
10．D
【分析】由正方形的性质证明 结合 从而可判断①；由，可得从而可得可判断②；设 则 再证明 可得 求解 再证明 利用 列方程解关于的方程并检验即可判断③；证明求解 再证明 求解 由 可判断④，从而可得答案．
【详解】解： 正方形ABCD与正方形EFGH．





，故①符合题意；
，


故②符合题意；
正方形



设 则








经检验：不合题意，舍去，

故③符合题意；





















故④不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．
【分析】根据比例中项的定义列式求值即可．
【详解】解：设a、b的比例中项为x，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴a，b的比例中项为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a与c的比例中项．
12．
【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题．
【详解】解：设正方形网格的边长为1，
由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△EDF∽△BAC，
∴与的周长比为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．
【分析】根据题意画出树状图求解即可；
【详解】由题可得：
共有9种情况，两次摸到红球的情况有4种，
∴两次都摸到红球的概率为；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确计算是解题的关键．
14．
【分析】等量关系为：第一季度的产值y=一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份的产值为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的产值为200×(1+x)，三月份的产值为200×(1+x)×(1+x)=200(1+x)2，
∴y=200+200×(1+x)+ 200×(1+x)2=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
15．
【分析】过点作于点，先求出的长度，进而求出、的长度；证明，得，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即
解得，
∵，
∴，，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】此题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
16．（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）
【分析】分别对a、b的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），得出抛物线与x轴的交点坐标情况，即可求解．
【详解】因为 是二次函数，令=0，有或，解得：或；
对m来说，
①当时，图像与轴有一个交点，即；
② 当时，图像与轴有两个交点，即；
函数：令，有或，
对n来说，
①当时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有1个交点，即；
②当时，关于x的方程无解，图像与x轴没有交点，即；
③当且时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有1个交点，即；
④ 当且时，关于x的方程有两个不相等的解，图像与x轴有两个交点，即；
综上所述，当时，或；当时，或．
∴所有可能的数对是（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）
故答案为：（1，0）或（2，1）或（1，1）或（2，2）．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式．
17．
【分析】连接AO，MN与AB相交于点D；结合题意，计算得AB的值，再根据垂径定理，得AD及CD，通过勾股定理计算，得OD以及AO，从而得到答案．
【详解】如图，连接AO，MN与AB相交于点D
∵，
∴
∵MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，
∴，
∴
∴
∴，即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、垂径定理、勾股定理的性质，从而完成求解．
18．
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵AB∥CD，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∴AB(米)．
答：树高AB为米．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（1）；（2）见解析
【分析】(1)分别将A，B的坐标代入二次函数，即可得到m的值，
(2)根据函数的开口方向和函数的最大值，判断顶点在x轴上方，从而判断函数图象与x轴有2个交点．
【详解】（1）解：∵二次函数 y=a(x−1)2+h图象经过点A(0，4)， B(2，m)
将A(0，4)代入y=a(x−1)2+h得，
4=a+h
将 B(2，m) 代入 y=a(x−1)2+h得，
m=a+h
∴m=4
（2）证明：∵
∴图象开口向下
∵当时，
∴顶点在轴上方，
∴函数图象与轴有2个交点.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟悉二次函数的点的坐标特征，和二次函数的图象性质判断与x轴交点个数．
20．(1)0，1，2，3，4，5
(2)
(3)，
【分析】本题考查概率问题，准确找到所有可能的结果和每种情况的结果数是解题的关键．
（1）列表找出所有可能的结果，即可得出答案；
（2）由表去数和的绝对值为3的结果数，即可求出；
（3）分别算出不同值的概率，再看是否有满足题目条件的，即可得出答案．
【详解】（1）解：列表如下：
由表可知一共有20种情况，的所有取值有6种，分别为：0，1，2，3，4，5
（2）由表可知一共有20种等可能结果，其中和的绝对值为3的有4种
（3）能找到．由表可知
．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可；
（2）证明△AEC∽△BCA，根据对应边成比例可以求出CE的长，从而求出OE ，再根据中位线定理求出BD的长，继而证△ECF∽△DBF，根据相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵OC为半径，E为AD中点.
∴，
∴∠CAD=∠CBA
（2）解：如图：
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AE=DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∠CAD=∠CBA
∴△AEC∽△BCA，
∴ ，
∴，
∴CE=1.8，
∵OC= AB=2.5，
∴OE=OC﹣EC=2.5﹣1.8=0.7．
∵E为AD的中点，O为AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥BD
∴BD=2OE=2×0.7=1.4，
∵OC∥BD
∴△ECF∽△DBF
∴
故EF:FD=9:7
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC∽△BCA，△ECF∽△DBF是解题关键．
22．(1)见解析
(2)（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由见解析
(3)证明见解析，y的最小值为
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，画二次函数图象，一元二次方程与二次函数之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）先分别求出当时，当时，对应的函数解析式，再描点，连线，画出对应的函数图象即可；
（2）分别求出两个函数的顶点坐标为，，由点和点都在直线图象上可得结论；
（3）联立两函数解析式得到，进而推出，要想恒成立，则，即是与无关的常数，再由，，可得；
（4）联立得，设，则，，利用勾股定理得到 ，同理可得，再由，推出，由此可得．
【详解】（1）解：当时，，，
当时，，，
函数图象如下所示：
（2）解：（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由如下：
∵，
∴函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为，
∵点和点都在直线图象上，
∴（1）中所画函数图象的顶点均在直线上；
（3）证明：联立得，
∴，
∴，
∴，
∴当时， 符合题意；
当，则，即，
∴要想恒成立，则，
∴是与无关的常数，
∵，，
∴，
∴y的最小值为；
（4）解：联立得，
整理得，
设，则，，
∴
，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵当时，，，此时线段重合，不符合题意，
∴，
∴．
23．(1)
(2)①详见解析；②详见解析
【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明，得；再结合，根据平行线性质，通过证明，根据相似比的性质计算，即可得到答案；
（2）①，根据题意计算得；结合（1）的结论，得，从而推导得，通过证明，即可完成证明；
②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明，根据相似三角形的性质计算，即可完成证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：①设，
∵，
∴，
∴，
由（1）的结论，得：，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解．
24．(1)
(2)见解析
【分析】对于（1），先将三个点坐标代入关系式，再用含t的代数式表示a，b，c，可得含有t的二次函数关系式，然后代入得出答案；
对于（2），分，两种情况，并根据二次函数的顶点坐标求出答案即可．
【详解】（1）设二次函数的关系式为，
∵点和点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为.
∵抛物线Q过A，B，C三点，得
解得
∴抛物的关系式为．
当时，抛物线的关系式为；
（2）当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
即；
当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
即．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，关于原点对称的点的特点，求含字母系数的二次函数的最值等，注意分情况讨论．
-2
-1
1
2
3
-2
3
1
0
1
-1
3
0
1
2
1
1
0
3
4
2
0
1
3
5
3
1
2
4
5