河南省平顶山市新华区实验中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河南省平顶山市新华区实验中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图是一个由4个相同的小正方形组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A．B．C．D．
3．已知方程，则此方程（ ）
A．无实数根B．两根之和为
C．两根之积为D．有一根为
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④
5．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1＋x）2＝315B．560（1－x）2＝315
C．560（1－2x）2＝315D．560（1－x2）＝315
6．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
7．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝( )
A．B．C．D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=4：1，连接AE、BE，AE交BD于点F，则△BEC的面积与△BEF的面积之比为（ ）
A．1：2B．9：16C．3：4D．9：20
9．在直角坐标系中，有两点，．以原点为位似中心，相似比为，把线段缩小后得到线段，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A．B．C．1D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
12．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体有 个．
13．若菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且菱形的面积为，则菱形的周长为 ．
14．如图，在中，，，点在边上，且，点在边上．当 时，．
15．如图,正方形的边长为,顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,…．以此类推,则第六个正方形的周长是 ;面积是 ．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．解下列方程：
（1）；
（2）．
17．如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）画出位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的相似比为__________，面积比为__________．
18．“天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时44分在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行太空科普授课，3名航天员演示了球星火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验．
某校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，从七年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
（Ⅰ）成绩频数分布表：
A： B： C： D： E：
（Ⅱ）这一组的分数是：70，70，71，72，72，74，77，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a＝______，b＝______，这次成绩的中位数是______分．
(2)这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．甲说：“我的成绩高于平均数，所以我的成绩高于一半学生的成绩．”你认为甲的说法正确吗？请说明理由．
(3)学校要从成绩在之间的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生参加市里举办的“航空航天知识”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
19．每年秋季，校园里的银杏路是学校最为靓丽的条风景线，吸引着大量的师生驻足观赏；数学兴趣小组成员决定运用数学知识测量出一棵银杏树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案；把镜子放在离银杏树8米的点E处，然后观测者沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得点D与点E之间的距离为2米，已知观测者身高为1.75米，则银杏树高约是多少米？
20．泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．
（1）填表：
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
21．如图，在中，为边上的一动点（不与，重合），交于点，交于点．

(1)满足什么条件时，四边形为矩形？说明理由；
(2)当满足什么条件时，四边形为菱形？说明理由；
(3)在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？
22．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．直线经过点A，且与y轴交于点D．

(1)求点D的坐标；
(2)在直线第四象限的图象上，是否存在一点E，过E作y轴的垂线，垂足为F，使得与相似，且满足，若存在请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
23．【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则的值为 ；
【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
2．A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的有2种情况，
∴小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是
故选：A
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．C
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系．牢记“当时，方程有两个不等的实数根”是解题的关键．
【详解】解：，方程有两个不相等的实数根；
两根之和，两根之积，
，
观察四个选项，只有选项C符合题意；
故选：C．
4．B
【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
5．B
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1－x），第二次后的价格是560（1－x）2，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，设每次降价的百分率为x，
可列方程为： ．
故选：B
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
6．D
【分析】先将图形利用平移进行转化，可得剩余图形的长等于原来的长减去小路的宽，剩余图形的宽等于原来的宽减去路宽，然后再根据矩形面积公式计算．
【详解】解：利用图形平移可将原图转化为下图，设道路的宽为x米
根据题意可得：
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
7．D
【分析】根据菱形的性质得出△CEF为等边三角形，即可解答
【详解】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°
∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°
∵CE＝CD，CF＝CB
∴CE＝CF＝
∴△CEF为等边三角形
∴S△CEF＝
故选D.
【点睛】此题考查菱形的性质和等边三角形的性质，解题关键在于得出△CEF为等边三角形
8．D
【分析】先根据等高不等底的三角形面积之比等于底边之比，得，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】由题意可知：
①
四边形ABCD是平行四边形，






②

故选D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练掌握等高不等底的三角形面积之比等于底边之比和相似的性质是解题关键.
9．C
【分析】本题考查了位似图形的性质．分两种情况进行讨论，用A点的坐标分别乘以，即可求解．
【详解】解：∵平面直角坐标系中有两点，以原点为位似中心，相似比为，
∴或，
∴A点对应点的坐标是或，
故选：C．
10．C
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质.
11．4∶9
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
12．6．
【分析】根据主视图以及左视图可得出该小正方形共有两行搭成，俯视图可确定几何体中小正方形的列数．
【详解】由主视图与左视图可以在俯视图上标注数字为：
主视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，1，
左视图有两列，每列的方块数分别是：1，2，
俯视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，2，
∴总个数为1+2+1+1+1＝6个．
故答案为6．
【点睛】考查由三视图判断几何体；注意俯视图可表示最底层正方体的个数．
13．
【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．由菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为，可求得其对角线的长，又由勾股定理，即可求得其边长，继而求得答案．
【详解】解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，
∴设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为，
∵菱形的面积为，
∴，
解得：（舍去负值），
∴菱形的两条对角线长分别为，，
∴菱形的边长为：，
∴菱形的周长．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应边成比例，即可求得．
【详解】解：由题意可知，，，，
∵，
∴=，=，
解得，
∴当时，．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查正方形性质,勾股定理知识．通过阅读本题利用正方形及中点得到线段长度继而利用勾股定理求得下一个正方形边长,后根据规律求得正方形周长及面积．根据图形的变化得出规律是解答本题的关键．
【详解】解:∵正方形的边长为,
∴正方形的面积为,周长为;
∵顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,
∴,根据勾股定理得,
即正方形的周长为,面积为;
∵顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,
同理可得正方形的周长为,面积为;
……
∴以此类推,不难发现规律,第个正方形的周长为,面积为,
∴第六个正方形的周长为,面积为．
故答案为：，
16．（1）；（2）
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（1）
解得：；
（2）
解得：．
17．（1）作图见解析；（2）2∶1；4∶1．
【分析】（1）根据位似的性质，延长AA′、BB′、CC′，则它们的交点即为位似中心O；
（2）根据位似的性质得到AB：A′B′=OA：OA′=2：1，则△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质得到它们面积的比．
【详解】解：（1）如图，点O为位似中心；
（2）因为AB∶A′B′=OA∶OA′=12∶6=2∶1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2∶1，
面积比为4∶1．
故答案为：2∶1；4∶1．
【点睛】本题主要考查位似知识．利用位似的性质找出位似中心是解题的关键．
18．(1)10，18，78.5
(2)不正确，见解析
(3)
【分析】本题考查求中位数、平均数以及列表法或树状图法求概率．
（1）根据即可求出a的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出b的值，根据中位数的定义求出中位数；
（2）根据平均数、中位数的定义进行判断即可；
（3）用树状图表示从甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1），
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是78.5，
故答案为：10，18，78.5；
（2）不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是78.5分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
（3）列树状图如下，
共有12种等可能性的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
19．
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据镜面反射的性质求出，再根据其相似比解答．
【详解】根据题意，易得，，
则，则，即，
解得：，
答：银杏树高AB约是．
20．（1）100－x；200＋2x；400－2x；（2）十月份的销售单价应是80元
【分析】（1）十月份的单价等于九月份的单价减去降价的数量；十月份的销售量等于九月份的销售量加上下降价格的2倍；清仓的数量等于总的数量减去九月份和十月份的数量；
（2）根据总获利等于总的销售价格减去进货的总价得出一元二次方程，最后根据售价进行验根得出答案．
【详解】解：（1）由题意，十月份单价为：100－x；
十月份销量为：；
清仓数量为：；
故答案为：100－x；200＋2x；400－2x；
（2）根据题意得：
100×200＋(100－x)(200＋2x)＋50[800－200－(200＋2x)]－60×800＝9200，
解得x1＝20，x2＝－70(舍去)．
当x＝20时，100－x＝80＞60，符合题意．
答：十月份的销售单价应是80元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确通过表格分析列出一元二次方程并求解检验是解题关键．
21．(1)是直角时，四边形为矩形；
(2)当平分时，四边形为菱形；
(3)当是直角时，四边形为正方形．
【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及矩形的性质．
（1）根据，可判断四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求解；
（2）由四边形为菱形，能得出为的平分线即可；
（3）由四边形为正方形，得，即当是以为斜边的直角三角形即可．
【详解】（1）解：当是直角三角形即是直角时，四边形为矩形，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
当是直角时，四边形为矩形；
（2）解：当平分时，四边形为菱形，
∵四边形为平行四边形，
∴平分，四边形为菱形；
（3）解：当是直角三角形即是直角时，四边形为正方形，
∵四边形为菱形，
∴当是直角时，四边形为正方形．
22．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线求出点A的坐标，代入求出解析式然后计算点D的坐标即可；
（2）设点E的坐标为，则点F的坐标为，分点F在点D 的上方和点F在点D 的下方两种情况分别解题计算．
【详解】（1）解：令，则，解得，
∴点A的坐标为，
把代入得：，解得
∴，
当时，，
∴点D的坐标为，
（2）解：当时，，
∴点B的坐标为，
∴，

设点E的坐标为，则点F的坐标为，
如图，当点F在点D 的上方时，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴点E的坐标为，
如图，当点F在点D 的下方时，
，，

∵，
∴，即，
解得：，
∴点E的坐标为，
综上所述，点E的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例转化为解方程时解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】（1）如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，易证AP=EF，GH=BQ，可判定△PDA∽△QAB，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（2）由（1）中的结论可得到，问题得到解决；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
【详解】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得 ，
∴
（2）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，
∴▱ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得 ．
设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，
在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，
由②﹣①得x=2y﹣5③，
解方程组 ，得
（舍去），或 ，
∴AR=5+x=8，
∴ ．
【点睛】本题四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用(1) 中的结论是解决第(2)(3)小题的关键．
成绩x（分）
频数
4
a
14
b
4
月份
九月
十月
清仓
销售单价(元)
100
50
销售量(件)
200