河北省石家庄市精英中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄市精英中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知为锐角，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知的半径长为，若，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列关于的函数中，二次函数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．2
5．一个正多边形的边心距与边长的比为，这个多边形的边数是（ ）
A．六B．四C．五D．三
6．反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
D．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
7．小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．下列选项正确的是（ ）
A．是反比例函数上两点，并且，则
B．长度相等的两条弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．已知是反比例函数，则
9．如图，点在点的正下方，从点测得点的仰角为，，则从点测得点的俯角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图1为一个土堆，我们可以把它的截面看成一个等腰（如图2）．其中斜坡AB和AC与水平地面BC所成锐角为20°，最高处A距离地面0.8米，则下列说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是20°B．斜坡AC的坡度是
C．米D．米
11．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（ ）
A．B．
C．D．点N是OP的中点
12．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有50名同学参加了学校组织的2022年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于86分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定B．小高得84分将排在甲班的前25名
C．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同D．甲班成绩优异的人数比乙班多
13．以为中心点的量角量与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点．若点的读数为，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米
15．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=
16．如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
17．如图1，已知扇形，点P从点O出发，沿以的速度运动，设点P的运动时间为，，y随x变化的图象如图2所示，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
18．对于题目∶“如图所示，一艘渔船以海里时的速度由西向东航行在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．己知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面个数据，错误的是（ ）
A．海里
B．
C．海里
D．过点向的延长线引垂线，垂足为，求得，小明得出结论有触礁危险
二、填空题(本大题共3个小题，共 14分．前4个空3分，最后一个空2分)
19．如图，外接圆的圆心坐标为 ．
20．如图，将一个正六边形沿直线l绕点C做无滑动滚动一次，使边落在直线l上，则四边形的形状是 ，的度数为 ．

21．已知A，B，C三点的坐标如图所示．
（1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 ；
（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 ．

三、解答题(本大题共6小题，共58分)
22．年是中国共产党成立周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班员的分数进行整理分析如下∶
甲班名学员测试成绩(满分分)统计如下∶
．
乙班名学员测试成绩(满分分)统计如下∶
．
(1)按如表分数段整理两班测试成绩
表中______；
(2)补全甲班名学员测试成绩的频数分布直方图；
(3)两班测试成绩的平均数、众数，中位数、方差如表所示∶
表中______，_______．
(4)以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是______班．
23．一条排水管的截面是个圆，且排水管的半径为．
(1)如图，当水面宽时，求水面深度的最大值；
(2)在（1）的情况下，随着水面不断上涨，过了一段时间，嘉琪同学又测量了水面宽，水面宽度变为了，则此时排水管水面上升了多少．
24．如图，已知是半圆O的直径，，点D是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点D，在直线上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线绕点D逆时针旋转，旋转角为．
(1)若，求点C与点O之间距离的最小值；
(2)当射线与相切于点C时，求劣弧的长度；
25．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．
(1)直接写出不等式的解集；
(2)分别求出两个函数的解析式；
(3)连接，求的面积．
26．如图，中，．点O为斜边上的一点，以为半径的与切于点D，与交于点E，连接．
(1)求的度数；
(2)若．
①求的长度；
②求阴影部分的面积．（结果保留）
27．已知，如图是等腰直角三角形，，为外一点，连接、，过点作，垂足为，交于，已知．
(1)若是等边三角形，求的长；
(2)若，求的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据即可得出的值．
【详解】解:∵，，为锐角，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可，解题的关键是正确理解根据数据判断出点到直线的距离和圆的半径的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点在圆外，
故选：．
3．C
【分析】根据二次函数关系式的定义逐项判断即可．
【详解】因为是反比例函数，所以A不符合题意；
因为是一次函数，所以B不符合题意；
因为是二次函数，所以C符合题意；
因为是正比例函数，所以D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，理解定义是解题的关键．即一般地，形如，这样的函数叫做二次函数．
4．A
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，，
∴，
，
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出BA与BC的关系，再利用正弦函数的定义．
5．B
【分析】本题考查的是正多边形和圆，边心距与边长的比为，即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的夹角是度，可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．
【详解】如图，
∵圆是正多边形的内切圆，
∴，，是边长的一半，
∵正多边形的边心距与边长的比为，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，，即正多边形的中心角是，
∴它的边数，
故选：．
6．D
【分析】根据反比例函数的性质对选项A、B、C、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对选项D进行判断．
【详解】A.反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，故A选项错误；
B.在每一象限，y随x的增大而增大，故B选项错误；
C.若图象上点B的坐标是（−2，1），则当x＜−2时，y的取值范围是0＜y＜1，故C选项错误；
D.矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝−2，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，及其系数k的几何意义，在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．A
【分析】根据电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，得到，根据题意，求出的值，得到电流I与电阻R成反比例函数关系，即可得出结论．
【详解】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴电流I与电阻R成反比例函数关系，
故答案A符合题意，
答案B是一次函数，故不符合题意，
答案C是正比例函数，故不符合题意，
答案D是二次函数，故不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查实际问题与函数图象．解题的关键是确定电流I与电阻R成反比例函数关系．
8．D
【分析】此题考查了反比例函数和圆，根据圆的有关概念和反比例函数的图象及性质逐项判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】、∵，
∴在每个象限内，随的增大而减小，
∵无法判断在哪个象限，
∴无法判断与的大小，故此选项错误，不符合题意；
、等弧是指能够互相重合的弧，故此选项错误，不符合题意；
、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
、根据是反比例函数，则有，解得，故此选项正确，符合题意；
故选：．
9．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，根据平行线的性质以及三角函数的定义即可得到结论，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】如图，过作于，
则，
∴，
∴，
∵从点测得点的仰角为，，
，
∴从点测得点的俯角的正切值是，
故选：．
10．B
【分析】根据坡度的概念、正切和正弦的定义计算，判断即可．
【详解】解：A、斜坡AB的坡角是20°，而不是坡度是20°，本选项说法错误，不符合题意；
B、斜坡AC的坡度是tan20°，本选项说法正确，符合题意；
C、过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
在Rt△ABD中，，
∴，本选项说法错误，不符合题意；
D、，本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．D
【分析】根据切线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A.∵，且，∴，可知是的切线，故选项A不符合题意；
B. ∵，且，∴，可知是的切线，故选项B不符合题意；
C.∵，∴是直角三角形，且，可知是的切线，故选项C不符合题意；
D. 点N是OP的中点不能得出，即不能判断出是的切线，故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键．
12．B
【分析】分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即可．
【详解】A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班成绩稳定，此选项错误，不符合题意；
B．因为甲班共有50名同学，甲班的中位数是83分，所以小明得84分将排在甲班的前25名，此选项正确，符合题意；
C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，此选项错误，不符合题意；
D．乙班成绩的中位数大于甲班，所以乙班成绩不低于85分的人数多于甲班，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差及众数的概念，平均数、中位数及众数反映的是一组数据的平均趋势及水平，平均数与每个数据有关；方差反映的是一组数据的波动程度，在平均数相同的情况下，方差越小，说明数据的波动程度越小，也就是说这组数据更稳定．
13．D
【分析】根据切线的性质得到，证出，根据平行线的性质得到，于是得到结果．
【详解】解∶是的切线，
故选∶D．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
14．C
【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsinβ与AD=ABsinα，两线段作差即可．
【详解】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ，
在Rt△ECD中，sin，
∴CD=，
在Rt△ABD中，sin，
∴，
∴AC=CD-AD=8-6=2．
故选择C．
【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．
15．C
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
16．C
【分析】先由三角形内心的性质得到，根据圆周角定理得到，利用三角形内角和求出，得到，最后根据同弧所对的圆周角相等可得结果．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，圆周角定理及其推论，解题的关键是灵活运用所学定理，根据内心得到．
17．D
【分析】先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为，
∴，即扇形的半径为，
由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为，
∴的长为，即弧长为，
设扇形的圆心角为，根据弧长公式可得：，
解得，
由扇形的面积公式可得：扇形的面积为．
故选D．
【点睛】本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半径和弧长是解答本题的关键．
18．D
【分析】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，先根据题意可得，，海里，根据等腰三角形的性质和角所对直角边是斜边的一半逐项判断即可，掌握方位角的角度知识，直角三角形角所对直角边是斜边的一半和勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴（海里），则选项正确，
∵，，
∴，，
∴（海里）
在中，由勾股定理得：，
∴没有有触礁危险，故选项判断错误，符合题意，
故选：．
19．
【分析】根据外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，进行解答即可．
【详解】解：如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，
∵垂直平分线的交点坐标为，
∴外接圆的圆心坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边的垂直平分线的交点是解本题的关键．
20． 菱形 60°##60度
【分析】根据题意，易得四边形是菱形，是正三角形，即可得解．
【详解】解：由正六边形和滚动可知，，
∴四边形是菱形，
连接，

∵，
∴是正三角形，
∴，
故答案为：菱形，60°．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．解题的关键是根据题意确定图形为菱形和等边三角形．
21． C 或
【分析】（1）写出三个点的坐标，比较三个点的横纵坐标的积的情况，即可得解；
（2）求出直线的解析式，联立两个解析式，转化为一元二次方程，利用两个函数只有一个交点时，，求出一个值，再求出反比例函数过线段的两个端点时的值，进行判断即可．
【详解】解：（1）由坐标系可知，，
∵，
∴反比例函数的图象过点A、B，点C不在反比例函数图象上，
故答案为：C；
（2）设直线为，
代入A、C的坐标得，
解得，
∴直线为，
令，
整理得，
当反比例函数的图象与直线有且只有一个公共点时，，
∴，
解得，
由（1）可知时，反比例函数图象过两点，时，反比例函数图象过C点，
∴时，反比例函数的图象与线段（含端点）有且只有一个公共点，
综上，当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是或．
故答案为：或．

【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
22．(1)；
(2)见解析图；
(3)，；
(4)乙．
【分析】（）用总人数减去其它组的测试成绩即可求得的值；
（）根据（）中数据补全直方图即可；
（）根据众数和中位数的定义取值即可；
（）从中位数及方差的数据分析即可；
本题主要考查频数分布直方图，中位数，众数，明确题意，清楚题中各数据代表的意义是解题的关键．
【详解】（1）(人)，
故答案为：；
（2）补全甲班名学员测试成绩的频数分布直方图如下：
（3）甲班出现次数的最多的为，所以众数为；
乙班名学员测试成绩从小到大排列为：
，
所以中位数为，
故答案为：，；
（4）从中位数看，乙班整体成绩偏高，
从方差看，乙班方差小于甲班，则乙班成绩较为稳定，
综上，乙班成绩较好，
故答案为：乙．
23．(1)当水面宽时，水面深度的最大值是
(2)排水管水面上升了或
【分析】（1）连接，过点O作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论
（2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】（1）连接，过点O作垂足为，交于．
∵，
∴
∴，
∴
答：当水面宽时，水面深度的最大值是．
（2）①当水面在水面平行的直径下方．
∴过点作于点，
∴且与交于点，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴；
在中，
∴，
∴
∴上升的距离为
②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，
∴且与交于点．
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴；
在中，
∴，
∴，
∴上升的距离为：．
答：排水管水面上升了或．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小，求出则可得出答案；
（2）连接，由切线的性质得出，代入弧长公式可得答案．
【详解】（1）解：如图，当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小，
∵，
∴，
即点C与点O之间距离的最小值为；
（2）如图，连接，
∵
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，解题的关键是掌握添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25．(1)或；
(2)；；
(3)
【分析】（1）观察图象，根据图象可直接得出的取值范围；
（2）将点坐标代入反比例函数中即可求出的值，求出点D坐标，将、两点坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（3）根据一次函数解析式求出点坐标即可根据三角形面积计算公式求出．
【详解】（1）由图象可知，当时，或；
（2）由过点和可得：
，
解得：，
故，
又由过点和可得：
，
解得，
故．
（3）如图，连接，
由过点，可知，
故，
．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．
26．(1)
(2)①；②
【分析】（1）连接，由切线的性质得，先证，再证是的平分线，即可求出的度数．
（2）①由可得，则．由三角函数可求出和的长，即可求出的长．
②连接，先证是等边三角形，则，再证四边形是菱形，则可得与面积相等．因此，阴影部分面积就等于扇形的面积，由扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）连接
∵切于，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）①
又
cs
②设与交于点，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又由（1）知，即，
∴四边形是菱形，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，求阴影部分面积，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形．综合性较强，熟练掌握圆的相关性质及扇形面积公式是解题的关键．
27．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，等边三角形性质，等腰三角形性质的应用，解题的关键是熟练掌握等边和等腰三角形的性质与勾股定理及其应用．
（）根据已知得出，求出，在中，由勾股定理求出，再由是等腰直角三角形，求出，再用线段和差即可求出答案；
（）根据，设，，则由勾股定理得：，求出，求出和长，即可得出答案；
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴
∵，
∴设，，
则由勾股定理得：，即，解得：，
即，，
∴，
同（）理得，
∴．
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
50
85
83
5.1
乙
50
85
85
4.6
班级
甲
乙
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
乙