福建省龙岩市第一中学锦山学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市第一中学锦山学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
(考试时间：120分钟 满分：150分 )
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
2．在下列事件中，必然事件是（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．任意画一个圆的内接四边形，其对角互补
3．将二次函数y＝+6x+2化成y＝+k的形式应为（ ）
A．y＝﹣7B．y＝+11
C．y＝﹣11D．y＝+4
4．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ ）．

A．60°B．90°C．120°D．150°
6．关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（ ）
A．±2B．2C．- 2D．不能确定
9．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A．B．C．D．a，b大小无法比较
10．表中所列x、y的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
根据表中提供约信息，有以下4个判断：
①； ②； ③当时，y的值是k；④；
其中判断正确的是( )
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．若点B与点关于原点对称，则点B的坐标为 ．
12．将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
13．用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设 ．
14．如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程，化为一般式为 ．
15．阅读：设实验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，用A表示事件：“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率，在桌面上放了一张50cm×50cm的正方形白纸ABCD，是它的内切圆，小明随机地将1000粒大米撒到该白纸上，其中落在圆内的大米有800粒，由此可得圆周率n的值为 ．
16．如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
三．解答题
17．解方程：
(1)；
(2)
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的其中一个根是1，求k的值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
19．如图，在中，，⊙O的半径为OB．
(1)请用尺规作图法在圆上确定一点C（点C不与点B重合），使得AC为⊙O的切线，保留作图痕迹并写出作法；
(2)证明你的作图方法是正确的．
20．小朋和小亮报名参加运动会志愿者活动，他们将被随机分配到排球 A．游泳B．田径C．击剑D．四个项目中承担工作任务．
(1)小朋被分配到游泳B项目的概率为___________；
(2)若小亮主动申请不到击剑D工作，并得到了允许．请用画树状图或列表的方法，求出小朋和小亮被分配到相同项目工作的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，且与x轴交于点B．
(1)求m的值和点B的坐标；
(2)若二次函数图象过A，B两点，请在图中画出这个二次函数的草图，并直接写出关于x的不等式的解集．
22．如图，都是的半径，．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
23．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2 400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元?
24． 若边长为6的正方形绕点A顺时针旋转，得正方形，记旋转角为α．
(1)如图1，当时，求点C经过弧的长度和线段扫过的扇形面积；
(2)如图2，当时，与的交点为E，求线段的长度；
(3)如图3，在旋转过程中，若F为线段的中点，求线段长度的取值范围．
25．已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，点为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，当直线垂直平分的边时，求点的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；
故选A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．D
【分析】必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中事件为随机事件，故不符合要求；
B中事件为随机事件，故不符合要求；
C中事件为随机事件，故不符合要求；
D中事件为必然事件，故符合要求；
故选D．
【点睛】本题考查了必然事件，随机事件．解题的关键在于正确理解必然事件的定义．
3．A
【分析】根据配方法的基本步骤，规范配方，后对照选项作出判断．
【详解】∵y＝+6x+2
=+6x++2
=﹣7，
故选A．
【点睛】本题考查了将一般形式的二次函数进行配方化成配方式，熟练掌握配方的基本步骤，规范配方是解题的关键．
4．D
【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
5．D
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．
故选D．
【点睛】考点：旋转的性质．
6．A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果．
【详解】解：∵，当时，，
∴该方程必有一个根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．
7．B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
8．B
【分析】根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案．
【详解】∵方程的两实数根互为相反数，
设两个根为a，b，
则，
∴，
故选：B.
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题关键．
9．A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
10．B
【分析】题考查了二次函数图象与系数的关系，根据对称轴得到对称轴为直线，进而根据表格中的数据得到在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，则，进一步可推出，当时，，则，进而推出．
【详解】解：由表格中的数据可知二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，
∴，故①正确，
∵对称轴在直线和直线之间，且，
∴，故②正确；
∵，
∴二次函数开口向下，
∴当时，，故③错误；
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选B．
11．
【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标公式，掌握平面直角坐标系中点关于原点对称的点的特点是解题的关键．根据性质解题即可．
【详解】解：根据题意，关于原点对称点的坐标的特点是横纵坐标变为原来点坐标的相反数，
∴点的坐标为．
故答案为：
12．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小．
13．##
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，进行作答即可．
【详解】解：用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设：；
故答案为：．
【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，根据题意可知阴影部分的长为，宽为，根据长方形面积公式可得，据此化为一般式即可．
【详解】解：由题意得，，
整理得，
故答案为：．
15．3.2
【分析】根据题意，可得相应的等式，进而求出n值．
【详解】解：由题意，得
=
解得n=3.2
故答案为：3.2．
【点睛】本题考查了几何概率，正方形和圆，根据题意列出方程是解题的关键．
16．
【分析】取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H，先求出，，，再说明是等边三角形，根据“”证明≌，可求，即可得出点G的运动轨迹是射线，然后证明≌，可确定的最小值，根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：如图，取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H．
由题意，得，，．
∵点N是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是射线．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
在中，，，，
∴，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与旋转的综合问题，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，勾股定理等，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．(1)k＝5
(2)k＜9且k≠0
【分析】（1）由于x＝1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值；
（2）根据根的判别式公式，令Δ＞0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：把x＝1代入，
得 k6+1＝0，
∴k＝5；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴＝＞0，且k≠0，
∴k的取值范围为k＜9且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根的判别式：，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交⊙O于点C，连接AC即可；
（2）利用SSS证明，推出，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交⊙O于点C，连接AC，AC即为⊙O的切线．
（2）解：由（1）中作图方法可知，，，
在和中，
，
，
，
，
AC为⊙O的切线．
【点睛】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，切线的判定等，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
20．(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据概率的意义求解即可；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【详解】（1）解：共4种可分配的可能性，其中分配到游泳B项的只有1种，
因此小朋被分配到游泳B项目的概率为，
故答案为：．
（2）树状图如图：
由表可知，共有12种等可能出现的结果，其中分配到不同项目工作的有3种，
所以分配到不同项目工作的概率为．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数图象的性质、求二次函数的解析式及利用函数图象确定不等式的解集，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
（1）将点A的坐标代入解析式即可求得m的值，然后令，求得x的值即为B点的横坐标；
（2）先根据、两点的坐标求出二次函数的解析式，再画出函数图象，最后直接写出解集即可．
【详解】（1）解：∵的图象过点，
∴，
∴．
∴．
令，得，
∴点的坐标为；
（2）∵二次函数图象过，两点
∴ ，解得：，
∴
画出函数图象如图：
由函数图象可得不等式的解集为：．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；
（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
23．(1)
(2)当单价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200元
(3)100元
【分析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求函数值2400为所对应的自变量的值，即解方程求出，然后利用“想卖得快”确定的x值．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
当时，w有最大值3 200，
所以当单价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200元；
（3）解：由题意，，
解得：，
当时，，
当时，，
因为想卖得快，所以销售单价应定为100元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
24．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由勾股定理得到，根据弧长的计算公式和扇形的面积公式即可得到结论；
（2）连接，根据题意得到B在对角线上，根据勾股定理得，求得，推出是等腰直角三角形，得到，于是得到结论；
（3）如图3，连接，取中点，根据三角形中位线定理得到，，推出点F的轨迹是以О为圆心、3为半径的圆，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴的长度，
扇形的面积；
（2）如图2，连接，
∵旋转角，
∴，
∴点B在对角线上，
在中，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）如图，连接，取中点，
则，
又∵
∴，，
∴点F的轨迹是以О为圆心、3为半径的圆，
∵，
∴，
∴，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了圆的综合题，正方形性质，全等三角形判定与性质，弧长，扇形面积的计算，三角形中位线定理.（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点、代入抛物线解析式中，解方程组即可求解；
（2）过点作轴，交于点，由题意得，结合，轴，得到，，进而推出，根据题意得：直线的解析式为，所以设，则，最后根据即可求解；
（3）设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接，由点在线段的垂直平分线上和轴，得到，进而得到轴，最后结合和直线的解析式为即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）过点作轴，交于点，
由（1）知，抛物线的解析式为，
，
，
点，
，
，
，
，轴，
，，
，
，，
直线的解析式为，
设，则，
，
当时，最大，最大值为，
当时，
；
（3）如下图，设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接，
点在线段的垂直平分线上，
，，
轴，
，
，
轴，
又，
由（2）知直线的解析式为，
当时，，
，
点的纵坐标为，
设点，
，
解得：或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，一元二次方程等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．
x
…


…
y
…
6
m
11
k
11
m
6
…