江西省宜春市百树学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷（解析版）

这是一份江西省宜春市百树学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
命题人：吴佑梅 审题人：汤亦洋
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线方程确定斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角.
【详解】若直线倾斜角为且，
由直线方程知：直线斜率.
故选：D
2. 圆心为，半径长为2的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的标准方程可直接得出.
【详解】圆心为，半径长为2，
圆的标准方程为.
故选：B.
3. 直线与直线垂直，则等于（ ）
A. 2B. C. 1D.
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【分析】根据一般式直线与直线垂直的结论列式求解即可得的值.
【详解】解：由于直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：A.
4. 点到直线距离是（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用点线距离公式求距离即可.
【详解】由点线距离公式有.
故选：A
5. 如果且，那么直线不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C
6. 已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，则两圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径和与差的关系，判断两个圆的位置关系．
【详解】解：圆O1：x2+y2=1的圆心(0,0)，半径为：1；
圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，圆心(3,-4)，半径为：4．
两个圆的圆心距为，恰好是两个圆的半径和，
所以两个圆外切．
故选:C．
7. 直线截圆所得的弦长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的方程求圆心和半径，再由点线距离求弦心距，最后应用几何法求直线被圆截得弦长.
【详解】由圆的方程知：圆心为，半径，
所以圆心为到直线距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
故选：C
8. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）．
A. 3B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案
【详解】圆的圆心为，半径，则
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为，
故选：B
二、多选题（共4题，每题5分，共20分．每题至少有两个正确答案，多选或不选得0分，漏选得2分）
9. 在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（ ）
A. 每一条直线都有点斜式和斜截式方程
B. 倾斜角是钝角的直线，斜率为负数
C. 方程与方程表示同一条直线
D. 直线过点，倾斜角为，则其方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线方程的形式，倾斜角和斜率的关系，逐一判断每个选项.
【详解】对于A，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故A选项错误；
对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B选项正确；
对于C，方程表示直线去掉点，与方程不表示同一直线，故C选项错误；
对于D，直线过点，倾斜角为，则其方程为，正确．
故选：BD
10. 下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设出与直线平行的直线系方程，再由平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或0．故所求直线的方程为或．
故选：AD
11. 已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，表示圆心为的圆B. 当时，表示圆心为的圆
C. 当时，表示的圆的半径为D. 当时，表示的圆与轴相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
可圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时半径为，所以A错误；
B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
12. 下列结论正确的是（ ）
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
B. 点关于直线对称点的坐标为
C. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
D. 过点作圆的弦，其中最短的弦长为
【答案】BD
【解析】
【分析】A只需写出过原点的直线即可判断；B令对称点，利用对称关系列方程组求点坐标判断；C由直线过定点，结合线段端点求临界直线斜率，数形结合判断的取值范围；D由弦长最短时圆心与连线与弦垂直，再应用几何法求弦长即可.
【详解】A：若直线过原点，则所求直线为，即，故错误；
B：令对称点，则，可得，故正确；
C：由，即直线恒过定点，
则，，故或，故错误；
D：要使弦长最短，只需圆心与连线与弦垂直即可，而圆心为，半径，
所以，此时弦心距为，则最短弦长为，故正确.
故选：BD
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13. 过点 且垂直于的直线方程为_______
【答案】​
【解析】
【分析】根据题意，设直线方程为:，再将点 代入求解.
【详解】解：设过点 且垂直于l:的直线方程为:，
把点 代入可得:，
解得 .
要求的直线方程为:，
故答案为：
14. 若直线平分圆的周长，则=________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意直线过圆心，根据圆的方程确定圆心并代入直线方程求参数.
【详解】由题意，直线过圆心，而圆的标准方程为，即圆心为，
所以.
故答案为：
15. 已知点在圆4的外部，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在圆外列不等式求参数范围即可.
详解】由题意，即，可得或.
所以的取值范围为.
故答案为：
16. 已知实数满足，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案.
【详解】由得，
所以点是以为圆心，半径为上的圆上的点，
表示点与点两点间距离的平方，
，所以的最大值为.
故答案为：
四、解答题（17题10分，18至22题每题12分，共70分）
17. 求符合下列条件的直线的方程：
（1）过点，且斜率为；
（2）过点，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用点斜式求解即可；
（2）先求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可.
【小问1详解】
因直线过点，且斜率为，
所以其方程为，
即；
【小问2详解】
因为直线过点，，
则，
所以其方程为，
即.
18. 已知直线.
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可.
（2）先利用直线平行求出a，然后代入平行直线距离公式求解即可.
【小问1详解】
因为直线，且，
所以，所以所以.
【小问2详解】
当时，，解得，
此时，
所以与的距离.
19. 求下列各圆的方程.
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.
（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.
【小问1详解】
由题意知半径，
所以圆的方程为：.
【小问2详解】
设圆的一般方程为：.
将，，代入得：
，
所以圆的方程为：.
20. 已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得得弦长为
（1）求该圆方程；
（2）求过点A的该圆的切线方程
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可；
（2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解.
【小问1详解】
解：圆C的圆心到直线的距离为：
，
则弦长为，解得，
所以圆的方程为：；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为：，
则圆心到直线的距离为，复合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为：，
综上：该圆的切线方程为：或
21. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.
（1）求直线的方程；
（2）若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据边上高所在直线与的位置关系可确定直线的斜率，又已知点，所以可得直线的方程；
（2）由（1）中的方程及边上的中线所在的直线过点，可求点的坐标，又设点，根据的中点在直线上及点在上列方程组可求解的值，得点的坐标，从而可求直线的方程.
【小问1详解】
解：由边上的高在上可知，垂直于直线
所以
又，所以直线的方程为：，
即的方程为．
【小问2详解】
解：因为是边上的中线所在的直线，又的方程为
则联立，解得，故点坐标为．
设点，则的中点在直线上，
所以，即①，
又点在上，则有②，
联立①②解得，．
即，所以，所以直线的方程为：
即直线的方程为：．
22. 已知圆，圆.
（1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交说明理由；
（2）点是直线上一点，过作圆的切线段、，、为切点，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）圆与圆相交，公共弦所在直线方程为：；
（2）最小值为9.
【解析】
【分析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系，用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；