山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题（解析版）

这是一份山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(每小题5分，共40分)
1. 设集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2. 符合条件的集合的个数是（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】用列举法，列举出满足条件的集合即可.
【详解】符合条件的集合有：
，，，，共4个．
故选C
【点睛】本题主要考查由集合的包含关系确定集合的个数，熟记集合间的关系即可，属于常考题型.
3. 若关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）．更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. 21B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到2是两个方程的根，代入两方程，求出参数，即可求出结果.
【详解】因为，所以2是两个方程的根，
所以，，
解得，，所以．
故选A
【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数的问题，熟记集合交集的概念即可，属于常考题型.
4. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.
【详解】因集合，
若，有，解得，此时，于是得，
若，因或，则由得：，解得：，
综上得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A
5. 已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，化简，，再由是的一个必要不充分条件，列出不等式，求解，即可得出结果.
【详解】由，得．
由，得．
∵是的一个必要不充分条件，
∴，即.
故选B
【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
6. 若正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.
【详解】因为正数满足，
所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
7. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题化为，利用基本不等式求左侧的最小值，注意取值条件，即可得参数范围.
【详解】由题意，只需在时即可，
又，则，故，
当且仅当时等号成立，故，
所以，即.
故选：A
8. 在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A. 大于克B. 小于克
C. 大于等于克D. 小于等于克
【答案】C
【解析】
【分析】设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到，再根据均值不等式计算得到答案.
【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号.
故选：C.
二、多选题（每小题5分，共20分；部分选对得2分，选错不得分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”．
B. 命题“”的否定是“”
C. “是“”的必要条件．
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据特称命题与全称命题的否定来判断选项A，B，根据充分必要条件判断方法来确定C，D选项的正误.
【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项正确；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，
故B选项正确；
对于C选项，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，
故D选项正确．
故选：ABD.
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
11. 给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 集合为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合为闭集合
D. 若集合为闭集合，则为闭集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据新定义依次判断，举反例得到ABD错误，取，得到，，C正确，得到答案.
【详解】对于选项A：当集合时，而，集合不为闭集合，错误；
对于选项B：设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，错误；
对于选项C：当}时，设，
则，，正确；
对于选项D：设是闭集合，且，
而，此时不为闭集合，错误．
故选：ABD．
12. 下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A. 当时， 的最小值为2
B. 当时，的最大值是
C. 当时，的最小值为
D. 当时，的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当时，，当且仅当时，等号成立，但，
故等号不成立，所以，所以A错误；
对于B中，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，当时，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，当时，可得，则
，
当且仅当，即时，等号成立，所以D正确
故选：BCD.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.
【答案】1或
【解析】
【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.
【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，，所以，
综上所述，或.
故答案为：1或.
14. 若，，，则，的大小关系是___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小.
【详解】由,有，，
则，故,
故答案为：.
15. “，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ ．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围．
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立；
当时，由二次函数的图像及性质可知，解得，
综上，实数的取值范围为，
故答案：．
16. 正数，满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式可得，，解不等式即可．
【详解】正数、满足，
，当且仅当时取等号，
，解得或（舍去），
则，当且仅当时取等号，即的取值范围是.
故答案：．
四、解答题（共70分，17题10分，其余每小题12分）
17. 解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式解法求解集；
（2）应用分式不等式解法求解集.
【小问1详解】
由，解得，故不等式的解集为.
【小问2详解】
由，得，即，解得，故解集为.
18. 已知集合，，
（1）求，
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】结合已知条件，利用集合的交并补运算即可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
因为或，
所以.
【小问3详解】
因为或，
所以或.
19. 解答下列各题.
（1）若，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值.
【答案】（1）8 （2）9
【解析】
【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；
（2）变形后得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【小问1详解】
因为，则，
，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8；
【小问2详解】
，
，又，，
，
当且仅当，即是等号成立，
结合，知时，有最小值为.
20. 已知命题，，命题，．
（1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得；
（2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解.
【小问1详解】
解：若命题为真命题，即命，，所以，所以，
若命题为真命题，即，，所以，解得，
因为命题和命题有且只有一个为假命题，
当命题为假，命题为真时，解得；
当命题为真，命题为假时，所以；
所以；
【小问2详解】
解：若命题和命题都为假命题，则，即；
因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即；
21. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若是必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，当时，，
因为全集，则或，或，
因此，或.
【小问2详解】
易知集合为非空集合，
因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
22. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.