山东省烟台市牟平区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（五四制）

这是一份山东省烟台市牟平区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（五四制），共19页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在代数式，3a，，495，，中，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣6a3﹣18a2＝﹣a2（6a+18）
B．a4﹣1＝（a2+1）（a2﹣1）
C．a2+4a+16＝（a+4）2
D．（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a+b）2（a﹣b）2
3．（3分）曲老师参加区青年教师教学大比武比赛，笔试得95分、微型课得90分、教学反思得85分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，曲老师的综合成绩是（ ）
A．88B．90C．91D．92
4．（3分）若x2﹣16x+c是完全平方式，则c等于（ ）
A．64B．﹣64C．±64D．±32
5．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
6．（3分）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（3分）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么x2+bx+c分解因式正确的结果为（ ）
A．（x﹣5）（x﹣4）B．（x+4）（x﹣5）
C．（x﹣4）（x+5）D．（x+4）（x+5）
8．（3分）某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了30%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）实验小学一年级学生的平均年龄为8岁，方差为2平方岁；那么4年后实验小学五年级学生年龄的统计量中（ ）
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为12岁，方差不变
C．平均年龄为12岁，方差改变
D．平均年龄为13岁，方差不变
10．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，且c2+ab﹣b2﹣ac＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
11．（3分）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144B．众数是141
C．中位数是144.5D．方差是5.4
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕点C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则点A2的坐标是（ ）
A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，3）
二.填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：﹣3（m2+1）+6m＝ ．
14．（3分）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ．
15．（3分）在数据1，3，7，9中加入一个正数a，使得到新的一组数据的平均数与中位数相等，则a＝ ．
16．（3分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ．
17．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为5，极差为4，方差为3，则另一组新数据：2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均数、极差、方差分别是 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6．∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为 ．
三.解答题（满分66分）
19．（6分）（1）因式分解：3a2（b+c）3﹣27a4（b+c）；
（2）利用因式分解计算：512+102×49+492．
20．（6分）解关于x的分式方程：
（1）；
（2）．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，求点B的坐标．
22．（8分）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现：
因为（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
所以多项式x2+（a+b）x+ab可因式分解为（x+a）（x+b），
【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如：
x2+6x+8＝x2+（2+4）x+2×4＝（x+2）（x+4），
x2﹣6x+8＝x2+（﹣2﹣4）x+（﹣2）×（﹣4）＝（x﹣2）（x﹣4），
x2﹣2x﹣8＝x2+（+2﹣4）x+（+2）×（﹣4）＝（x+2）（x﹣4），
x2+2x﹣8＝x2+（﹣2+4）x+（﹣2）×（+4）＝（x﹣2）（x+4）．
【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题：
（1）若x2﹣px﹣12因式分解的结果有一个因式为x﹣2，则实数p的值为 ；
（2）因式分解：
①x2﹣9x+18；
②（a+2）3﹣4（a+2）﹣21．
23．（8分）（1）化简：＝ ；
（2）先化简，再求值：，其中m是满足2＜m≤5的整数．
24．（8分）为系统挖掘黄河文化育人资源，某校开展黄河文化知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
八年级教师竞赛成绩扇形统计图如图：
七、八年级教师竞赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师黄河文化知识竞赛成绩谁更优异；
（4）画出七年级教师竞赛成绩条形统计图．
25．（12分）（1）为保障夏秋季节果农需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂农药所用的时间比原先生产220万剂农药所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂农药？
（2）周末，小明和父母外出游玩．他们从家出发去景点，在景点停留4h后回家．去时的路程是10km，回来时的路程比去时多2km，来回（包括停留时间在内）一共用了6h．若去时的速度是回来时的1.25倍，求去时的速度．
26．（12分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量；
（2）求小聪成绩的方差；
（3）现求得小明成绩的方差为s＝3（单位：平方分），根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
2023-2024学年山东省烟台市牟平区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分。每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑。）
1．（3分）在代数式，3a，，495，，中，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：属于分式，
3a属于整式，
属于整式，
495属于整式，
属于分式，
属于整式，
则属于分式的有2个．
故选：B．
2．（3分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣6a3﹣18a2＝﹣a2（6a+18）
B．a4﹣1＝（a2+1）（a2﹣1）
C．a2+4a+16＝（a+4）2
D．（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a+b）2（a﹣b）2
【解答】解：﹣6a3﹣18a2＝﹣6a2（a+3），则A不符合题意；
a4﹣1＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1），则B不符合题意；
a2+4a+16无法因式分解，则C不符合题意；
（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2，则D符合题意；
故选：D．
3．（3分）曲老师参加区青年教师教学大比武比赛，笔试得95分、微型课得90分、教学反思得85分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，曲老师的综合成绩是（ ）
A．88B．90C．91D．92
【解答】解：曲老师的综合成绩为：95×30%+90×60%+85×10%＝91（分）．
故选：C．
4．（3分）若x2﹣16x+c是完全平方式，则c等于（ ）
A．64B．﹣64C．±64D．±32
【解答】解：∵x2﹣16x+c是完全平方式，
∴c＝（）2＝82＝64，
故选：A．
5．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
6．（3分）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字3后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故符合题意；
C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和3，故不符合题意；
D、原来数据的方差＝[（1﹣2）2+2×（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝，
添加数字3后的方差＝[（1﹣）2+2×（2﹣）2+2×（3﹣）2]＝，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：B．
7．（3分）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么x2+bx+c分解因式正确的结果为（ ）
A．（x﹣5）（x﹣4）B．（x+4）（x﹣5）
C．（x﹣4）（x+5）D．（x+4）（x+5）
【解答】解：∵（x﹣4）（x+5）＝x2+x﹣20，
（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x+﹣12，
∴b＝﹣1，c＝﹣20，
∴原多项式为：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4），
故选：B．
8．（3分）某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了30%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，
依题意得：﹣＝30，
即：﹣＝30．
故选：A．
9．（3分）实验小学一年级学生的平均年龄为8岁，方差为2平方岁；那么4年后实验小学五年级学生年龄的统计量中（ ）
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为12岁，方差不变
C．平均年龄为12岁，方差改变
D．平均年龄为13岁，方差不变
【解答】解：由题意知，实验小学一年级的学生4年后，每个同学的年龄都加4，
其中平均年龄加4，众数加4，中位数加4，方差不变，
故A、C、D不符合要求；B符合要求；
故选：B．
10．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，且c2+ab﹣b2﹣ac＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：∵c2+ab﹣b2﹣ac＝0，
∴（ab﹣ac）﹣（b2﹣c2）＝0，
∴a（b﹣c）﹣（b+c）（b﹣c）＝0，
∴（b﹣c）（a﹣b﹣c）＝0，
∴b﹣c＝0或a﹣b﹣c＝0，
∴b＝c或a＝b+c，
∵a、b、c是△ABC的三边，
∴b+c＞a，
∴a＝b+c不成立，只能是b＝c，
∴△ABC一定是等腰三角形．
故选：C．
11．（3分）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144B．众数是141
C．中位数是144.5D．方差是5.4
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为：，故A选项错误；
众数是：141，故B选项正确；
中位数是：，故C选项错误；
方差是：＝4.4，故D选项错误；
故选：B．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕点C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则点A2的坐标是（ ）
A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，3）
【解答】解：如图：
由图可知，A2坐标为（2，2），
故选：A．
二.填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：﹣3（m2+1）+6m＝ ﹣2（m﹣1）2 ．
【解答】解：﹣3（m2+1）+6m
＝﹣3（m2+1﹣2m）
＝﹣2（m2﹣2m+1）
＝﹣2（m﹣1）2．
故答案为：﹣2（m﹣1）2．
14．（3分）若分式的值为负数，则x的取值范围是 x＜3且x≠0 ．
【解答】解：由题意，得到＜0，则不等式的两边同时乘以正数x2，得
x﹣3＜0，且x≠0，
解得，x＜3且x≠0
故答案为：x＜3且x≠0．
15．（3分）在数据1，3，7，9中加入一个正数a，使得到新的一组数据的平均数与中位数相等，则a＝ 5或15 ．
【解答】解：新数据的平均数为，
∵新的一组数据的平均数与中位数相等，
若中位数为3，则，解得a＝﹣5（舍）；
若中位数为7，则，解得a＝15；
若中位数为a，则，解得a＝5．
综上a的值为5或15．
故答案为：5或15．
16．（3分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ＝ ．
【解答】解：根据题意得，＝，
故答案为：＝．
17．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为5，极差为4，方差为3，则另一组新数据：2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均数、极差、方差分别是 11，8，12 ．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5，极差为4，方差为3，
∴新数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均数是2×5+1＝11，
极差为2×4＝8，
方差为3×22＝12．
故答案为：11，8，12．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6．∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为 2 ．
【解答】解：∵将△ABC沿射线BC的方向平移，
∴∠B＝∠A'B'C'＝60°，AB＝A'B'＝4
∵将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴A'B'＝A'C＝4，且∠A'B'C'＝60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴B'C＝A'B'＝4，
∴BB'＝BC﹣B'C＝2
故答案为2
三.解答题（满分66分）
19．（6分）（1）因式分解：3a2（b+c）3﹣27a4（b+c）；
（2）利用因式分解计算：512+102×49+492．
【解答】解：（1）3a2（b+c）3﹣27a4（b+c）
＝3a2（b+c）[（b+c）2﹣9a2]，
＝3a2（b+c）（b+c+3a）（b+c﹣3a），
（2）512+102×49+492
＝512+2×51×49+492，
＝（51+49）2，
＝1002，
＝10000．
20．（6分）解关于x的分式方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）去分母得：（x﹣1）2＝x（x+1），
整理得：x2﹣2x+1＝x2+x，
解得：，
经检验： 是分式方程的解．
故分式方程的解为：；
（2）去分母得：60＝1.5x，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
故分式方程的解为：x＝40．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，求点B的坐标．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．
∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，EC＝BF，
∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），
∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，
∴OF＝CF﹣OC＝2，
∴B（2，2）．
22．（8分）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现：
因为（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
所以多项式x2+（a+b）x+ab可因式分解为（x+a）（x+b），
【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如：
x2+6x+8＝x2+（2+4）x+2×4＝（x+2）（x+4），
x2﹣6x+8＝x2+（﹣2﹣4）x+（﹣2）×（﹣4）＝（x﹣2）（x﹣4），
x2﹣2x﹣8＝x2+（+2﹣4）x+（+2）×（﹣4）＝（x+2）（x﹣4），
x2+2x﹣8＝x2+（﹣2+4）x+（﹣2）×（+4）＝（x﹣2）（x+4）．
【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题：
（1）若x2﹣px﹣12因式分解的结果有一个因式为x﹣2，则实数p的值为 ﹣4 ；
（2）因式分解：
①x2﹣9x+18；
②（a+2）3﹣4（a+2）﹣21．
【解答】解：（1）∵x2﹣px﹣12分解因式的结果有一个因式为x﹣2，
∴x＝2是x2﹣px﹣12＝0的解，
∴4﹣2p﹣12＝0，
解得p＝﹣4．
故答案为：﹣4；
（2）①）x2﹣9x+18
＝x2+（﹣3﹣6）x+（﹣3）×（﹣6）
＝（x﹣3）（x﹣6）；
②（a+2）2﹣4（a+2）﹣21
＝（a+2+3）（a+2﹣7）
＝（a+5）（a﹣5）．
23．（8分）（1）化简：＝ ﹣3 ；
（2）先化简，再求值：，其中m是满足2＜m≤5的整数．
【解答】解：（1）原式＝•
＝•
＝﹣3；
（2）原式＝÷
＝•
＝，
∵m是满足2＜m≤5的整数，
∴m＝3或4或5，
∵m﹣3≠0，m﹣5≠0，
∴m＝3或5时，原式无意义，
∴m＝4时，原式＝﹣7．
24．（8分）为系统挖掘黄河文化育人资源，某校开展黄河文化知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
八年级教师竞赛成绩扇形统计图如图：
七、八年级教师竞赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 9 ；
（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师黄河文化知识竞赛成绩谁更优异；
（4）画出七年级教师竞赛成绩条形统计图．
【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
∴中位数a＝8．
根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9．
故答案为：8；9．
（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为＝102（人）．
（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异．
（4）七年级教师竞赛成绩条形统计图，
25．（12分）（1）为保障夏秋季节果农需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂农药所用的时间比原先生产220万剂农药所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂农药？
（2）周末，小明和父母外出游玩．他们从家出发去景点，在景点停留4h后回家．去时的路程是10km，回来时的路程比去时多2km，来回（包括停留时间在内）一共用了6h．若去时的速度是回来时的1.25倍，求去时的速度．
【解答】解：（1）设原先每天生产x万剂疫苗，
由题意可得：+0.5＝，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，符合题意．
答：原先每天生产40万剂疫苗；
（2）设回来时的速度为x km/h，则去时的速度为1.25x km/h，
根据题意，得 ，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的根，
∴1.25x＝12.5，
答：去时的速度12.5km/h．
26．（12分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量；
（2）求小聪成绩的方差；
（3）现求得小明成绩的方差为s＝3（单位：平方分），根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
【解答】解：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
小聪成绩的平均数：×（7+8+7+10+7+9）＝8（分），
小明成绩的平均数：×（7+6+6+9+10+10）＝8（分），
答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8分，8分；
（2）小聪成绩的方差为：×[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝（平方分）；
（3）小聪同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定．故小聪同学的成绩较好．
一分钟跳绳个数（个）
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
年级
七年级
八年级
平均数
8.5
8.5
中位数
a
9
众数
8
b
优秀率
45%
55%
一分钟跳绳个数（个）
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
年级
七年级
八年级
平均数
8.5
8.5
中位数
a
9
众数
8
b
优秀率
45%
55%