2023-2024学年福建省厦门十中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年福建省厦门十中九年级（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）一元二次方程3x2﹣2x+5＝0的一次项系数是（ ）
A．3B．﹣2C．2D．5
2．（4分）将抛物线y＝x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1B．y＝x2+1C．y＝（x﹣1）2D．y＝（x+1）2
3．（4分）在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，1）
4．（4分）如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF．下列角中，是旋转角的是（ ）
A．∠DAEB．∠EABC．∠DABD．∠DAF
5．（4分）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是（ ）
A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝
6．（4分）函数y＝﹣x2+1的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）受国际油价影响，2022年六月底某地92号汽油的价格是9.4元/升，八月底的价格8.4元/升．假设该地92号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设为x．根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．9.4（1﹣x2）＝8.4B．9.4（1﹣x）2＝8.4
C．8.4（1+x）2＝9.4D．9.4（1+x）2＝8.4
8．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≤0C．m＞2D．m≤2
9．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠ACD＝∠EADB．∠ABC＝∠ADC
C．∠EAC＝αD．∠EDC＝180°﹣α
10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（ ）
A．当x1＞x2+2时，S1＞S2
B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2
C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2
D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一元二次方程x2＝9的解是 ．
12．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的对称轴是直线 ．
13．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣7＝0有一根为1，则k的值为 ．
14．（4分）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，则AC＝ ．
15．（4分）如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝ 米．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为 （﹣8，0），直线BC经过点B（﹣8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜a≤180°）得到四边形OA'B'C'，此时直线OA′、直线B'C'分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若，则点P的横坐标为 ．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．解方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣3x+1＝0．
18．（7分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中．
20．（8分）已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象．
21．如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，点D落在AC边上．
（1）尺规作图：作出△ADE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接CE，若AB＝3，BC＝4，求CE的长．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣tx+t﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）设y＝x2﹣tx+t﹣1，t为常数，函数y＝x2﹣tx+t﹣1的图象经过点（﹣1，﹣6），求此函数与x轴的交点坐标．
23．某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器，最大产量为900万个/天．若每增加1条生产线，每条生产线的最大产量将减少20万个/天
（1）当该厂增加5条生产线时，每条生产线的最大产量为 万个/天；
（2）若该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，在增加一定数量生产线的同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量；
（3）若该厂最多可以容纳20条生产线，该厂每天生产一次性注射器能否达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
24．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
25．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．
2023-2024学年福建省厦门十中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．解：一元二次方程3x2﹣2x+5＝0的一次项系数是﹣2．
故选：B．
2．【解答】解将抛物线y＝x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝x2﹣1．
故选：A．
3．解：点A（1，3）关于原点O对称的点A1的坐标是：（﹣1，﹣3）．
故选：A．
4．解：∵以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF，
∴旋转角为∠DAB或∠EAF，
故选：C．
5．解：抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣．
故选：A．
6．解：∵二次项系数a＜0，
∴开口方向向下，
∵一次项系数b＝0，
∴对称轴为y轴，
∵常数项c＝1，
∴图象与y轴交于（0，1），
故选：B．
7．解：根据题意得9.4（1﹣x）2＝8.4，
故选：B．
8．解：∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2．
故选：D．
9．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，
∴△ABC≌△DAE，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠EAC＝α，AB＝AD，所以C选项不符合题意；
∵△ABC≌△DAE，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵∠ACD＞∠CAB，
∴∠ACD＞∠EAD，所以A选项符合题意；
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADC，所以B选项不符合题意；
∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC，
而∠ADE＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ABC+∠ADC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α，所以D选项不符合题意．
故选：A．
10．解：不妨假设a＞0．
A．如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，
∵P1P2∥AB，
∴S1＝S2，故A错误．
B．当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2，
则S1＞S2，故B错误．
C．∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，
∴S1＞S2，故C正确．
D．如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．
故结论正确的是：C．
同理，a＜0时，结论正确的是：C．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．解：x2＝9
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
12．解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
故答案为：x＝1．
13．解：把x＝1代入方程x2+kx﹣7＝0得1+k﹣7＝0，
解得k＝6．
故答案为6．
14．解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC＝CD，DE＝AB＝，
∵AE＝3，∠D＝90°，
∴AD＝＝＝2，
∴AC＝AD＝1，
故答案为：1．
15．解：∵AB＝30米，
∴当x＝15时，y＝﹣×152＝﹣9，
当水位上升5米时，y＝﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2得：﹣4＝﹣x2，
解得x＝±10，
此时水面宽CD＝20米，
故答案为：20．
16．解：过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH＝OC′＝OC，
∵S△POQ＝PQ•OC，S△POQ＝OP•QH，
∴PQ＝OP．
设BP＝x，
∵BP＝BQ，
∴BQ＝2x，
∵点P在点B右侧，
∴OP＝PQ＝BQ﹣BP＝x，PC＝8﹣x．
在Rt△PCO中，（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝．
∴PC＝BC﹣BP＝8﹣＝，
∴P（﹣，6）．
故答案为：（﹣，6）．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．解：（1）（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣3x+1＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
18．【解答】证明：∵FB＝CE
∴BC＝EF
又∵AB∥ED
∴∠B＝∠E
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∴AC＝DF
19．解：原式＝•
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝1﹣．
20．解：（1）已知二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），可设解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入上式，得：﹣3＝a﹣4，即a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
故该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴与y轴的交点为（0，﹣3），
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
如图：
．
21．解：（1）如图，△ADE即为所求．
（2）由旋转可得，AD＝AB＝3，DE＝BC＝4，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
由勾股定理得，AC＝＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，
∴CE的长为．
22．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣t）2﹣4×（t﹣1）＝（t﹣2）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：∵函数y＝x2﹣tx+t﹣1的图象经过点（﹣1，﹣6），
∴﹣6＝1+t+t﹣1，
∴t＝﹣3，
∴函数为y＝x2+3x﹣4，
令y＝0，则x2+3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴此函数与x轴的交点坐标为（﹣4，0），（1，0）．
23．解：（1）900﹣5×20＝800（万个/天），
故答案为：800；
（2）设增加m条生产线，
根据题意得：（900﹣20m）•（m+1）＝4100，
解得m＝4或m＝40，
∵增加一定数量生产线的同时又要节省投入，
∴m＝4，
∴增加4条生产线；
（3）设增加x条生产线，0≤x≤19，
根据题意得：（900﹣20x）（x+1）＝10900，
整理得：x2﹣44x+500＝0；
Δ＝（﹣44）2﹣4×500＝﹣64＜0，
∴原方程无实数解，
∴该厂每天生产一次性注射器不能达到10900万个．
24．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∵∠C＝α，
∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴DM＝DC，即D是MC的中点；
（2）∠AEF＝90°，
证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，
∵DF＝DC，
∴DE是△FCH的中位线，
∴DE∥CH，CH＝2DE，
由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∴∠FCH＝2α，
∵∠B＝∠C＝α，
∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠ACH，AB＝AC
设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，
.DF＝CD＝n，
∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝m+n，
∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，
∴CH＝BF，
在△ABF和△ACH中，
，
∴△ABF≌△ACH（SAS），
∴AF＝AH，
∵FE＝EH，
∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，
25．【解答】（1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）解：延长DC交x轴于点M，
∵∠DCA＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠CMA，
∴CA＝CM，
过点C作CQ⊥AM于点Q，
则QM＝AQ＝8，
∴点M坐标为（14，0），
由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：y＝x+7，
令y＝x+7＝x2﹣x﹣2，
解得x＝﹣6或6（舍去），
∴x＝﹣6，y＝×（﹣6）+7＝10，
∴点D坐标为（﹣6，10）；
（3）证明：设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C的坐标代入上式并解得b＝4﹣6k，
故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，
则点M（0，﹣6k+4），
令y＝x2﹣x﹣2＝kx﹣6k+4，
整理得x2﹣（+k）x+6k﹣6＝0，
∴xC+xE＝2+4k，
∴xE＝4k﹣4 ①，
同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点N（0，﹣6t+4），即xF＝4t﹣4 ②，
由令y＝x2﹣x﹣2＝mx+n，
整理得x2﹣（+m）x﹣2﹣n＝0，
∴xE+xF＝4m+2③，
xE•xF＝﹣8﹣4n④，
将①②代入③④，得，
又OM•ON＝3，
∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，
∴n＝m﹣，
∴y＝mx+n＝mx+m﹣＝m（x+）﹣，
当x＝时，y＝﹣，
∴直线EF经过定点且定点坐标为（，﹣）．