黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．
2．下面的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
5．根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．缩小2倍C．改变D．不改变
6．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
7．多项式4a4b2c5﹣2abc7的公因式是（ ）
A．4abc5B．4a4b2c7C．2abc5D．2abc
8．若am＝5，an＝3，则am+2n的值为（ ）
A．11B．36C．45D．5
9．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
10．下列说法中，错误的有（ ）个．
①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；
②等边三角形是轴对称图形，它的三条高是它的对称轴；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等；
⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为 米．
12．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
13．把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 ．
14．计算：＝ ．
15．多项式a2﹣6a+m是完全平方式，则m＝ ．
16．如图，等边△ABC中，D为AC中点，DE⊥BC，CE＝6，则线段AB的长度为 ．
17．若x+y＝0，xy＝﹣3，则x3y﹣xy3＝ ．
18．如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔C 海里．
19．在等边三角形ABC中，点D在直线BC上，BD＝3CD，以AD为一边向AD的右侧作等边三角形ADE，若CE＝6，则BC边的长是 ．
20．如图，平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，6），点A（3，m）在第一象限内，连接AB交y轴于点D，连接AC，∠CAD＝2∠ABO，点A关于x轴对称点为点E，连接AE、DE，则△ADE的面积为 ．
三.解答题（21题、22题各7分，23题、24题各8分，25-27题各10分）
21．（7分）计算：
（1）（2x﹣1）（x﹣4）；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．
22．（7分）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+y）﹣（x+y）（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1．
23．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上，点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找到一点P，使PA+PB的值最小；
（3）直接写出P点的坐标 ．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为线段AB的中点，过点E作MN⊥AB交AC于点D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，直接写出△ABC的周长 ．
25．如图，学校有一块长为（2a+b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积，（结果写成最简形式）；
（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积．
26．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上一点，过点D作DE∥BC，连接BE，2∠E+∠A＝90°．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点F作FN⊥BE，交DE于点M，连接ND，ND⊥DE，连接DF，DF平分NFB，求证：DN＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点N作NK⊥AB于点K，交BE的延长线于点G，EG＝1，EF＝2，求线段NM的长度．
27．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，4）分别为x轴、y轴上的点，连接AB，∠ABO＝45°．
（1）求a的值；
（2）如图2，过点B作直线l∥x轴，D为第二象限l上一点，连接DO，E为第一象限内一点，连接ED，∠EDO＝90°，DE＝DO，设点D的横坐标为t，点E的横坐标为d，请用含t的式子表示d： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，F为点A右侧一点，连接DF交y轴于点N，交AB于点M，AF+2d＝5，过点F作FQ⊥直线l，垂足为点Q，连接MQ，MQ＝MF，求点N的坐标．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．
解：A．x（x+1）＝x2+x是整式的乘法，故A不是因式分解；
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式的乘法，故B不是因式分解；
C．x2+4x+4＝（x+2）2是因式分解，故C正确；
D．x+1＝x（1+）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，右边1+不是整式，故D不是因式分解；
故选：C．
2．下面的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
解：，，是整式；
是分式．
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
解：A、a3•a4＝a7，计算错误，故本选项错误；
B、（a3）2＝a6，计算错误，故本选项错误；
C、（﹣3a2）3＝﹣27a6，计算错误，故本选项错误；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，计算正确，故本选项正确．
故选：D．
5．根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．缩小2倍C．改变D．不改变
解：根据题意得：＝＝，
即分式的值不改变．
故选：D．
6．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
解：如图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AE：CE＝AD：BD，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，
∴DE＝2．
故选：B．
7．多项式4a4b2c5﹣2abc7的公因式是（ ）
A．4abc5B．4a4b2c7C．2abc5D．2abc
解：多项式4a4b2c5﹣2abc7的公因式是2abc5．
故选：C．
8．若am＝5，an＝3，则am+2n的值为（ ）
A．11B．36C．45D．5
解：∵am＝5，an＝3，
∴am+2n
＝am•a2n
＝am•（an）2
＝5×32
＝5×9
＝45．
故选：C．
9．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
解：图甲阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图乙阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
10．下列说法中，错误的有（ ）个．
①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；
②等边三角形是轴对称图形，它的三条高是它的对称轴；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等；
⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形，错误；
②等边三角形是轴对称图形，它的三条高是它的对称轴，正确；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合，错误；
④三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，正确；
⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，正确．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为 7.7×10﹣6 米．
解：0.000 0077＝7.7×10﹣6；
故答案为：7.7×10﹣6．
12．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
13．把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 b（a+5）（a﹣5） ．
解：a2b﹣25b
＝b（a2﹣25）
＝b（a+5）（a﹣5）．
故答案为：b（a+5）（a﹣5）．
14．计算：＝ ﹣ ．
解：（）2016•（﹣）2017
＝[×（﹣）]2016×（﹣）
＝（﹣1）2016×（﹣）
＝1×（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
15．多项式a2﹣6a+m是完全平方式，则m＝ 9 ．
解：∵多项式a2﹣6a+m是完全平方式，
∴m＝9，
故答案为：9．
16．如图，等边△ABC中，D为AC中点，DE⊥BC，CE＝6，则线段AB的长度为 24 ．
解：∵等边△ABC，
∴∠C＝60°，AB＝AC，
∵DE⊥BC，CE＝6，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝12，
∵D为AC中点，
∴AC＝AB＝2CD＝24，
故答案为：24．
17．若x+y＝0，xy＝﹣3，则x3y﹣xy3＝ 0 ．
解：x3y﹣xy3＝xy（x﹣y）（x+y），
∵x+y＝0，xy＝﹣3，
∴x3y﹣xy3＝xy（x﹣y）（x+y）＝0，
故答案为：0．
18．如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔C 8 海里．
解：如图，∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD＝42°，
∵∠NBC＝∠A+∠ACB，
∴∠ACB＝84°﹣42°＝42°，
∴∠ACB＝∠A，
∴BC＝BA＝8，
即船距离灯塔C8海里．
故答案为8．
19．在等边三角形ABC中，点D在直线BC上，BD＝3CD，以AD为一边向AD的右侧作等边三角形ADE，若CE＝6，则BC边的长是 4或8 ．
解：当点D在BC边上时，如图所示，
设CD＝x，
∴BD＝3x，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝6，
∴3x＝6，
∴x＝2，
∴BC＝BD+CD＝4x＝8，
当点D在BC的延长线上时，如图所示，
设CD＝x，BD＝3x，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
同理可证：△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝6，
∴3x＝6，
∴x＝2，
∴BC＝2x＝4，
故答案为：4或8．
20．如图，平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，6），点A（3，m）在第一象限内，连接AB交y轴于点D，连接AC，∠CAD＝2∠ABO，点A关于x轴对称点为点E，连接AE、DE，则△ADE的面积为 12 ．
解：
过点A作AF⊥y轴于点F，
∴AF∥x轴，即AF∥BO，
∴∠DBO＝∠FAD，∠BOD＝∠AFD＝90°，
∵∠CAD＝2∠ABO，
∴∠DBO＝∠FAD＝∠CAF，
∴CF＝DF，
∵点B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，6），点A（3，m），
∴BO＝3，AF＝3，CO＝6，
∵∠DBO＝∠FAD，
BO＝AF，
∠BOD＝∠AFD，
∴△BDO≌△ADF（ASA），
∴FD＝DO，
∵CF＝DF，CO＝6，
∴FO＝4，即m＝4，
∵E点是点A关于x轴的对称点，
∴AE＝8，
∴S△ADE＝×8×3＝12，
故答案为：12．
三.解答题（21题、22题各7分，23题、24题各8分，25-27题各10分）
21．（7分）计算：
（1）（2x﹣1）（x﹣4）；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．
解：（1）（2x﹣1）（x﹣4）
＝2x2﹣9x+4；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy
＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y．
22．（7分）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+y）﹣（x+y）（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1．
解：（x+y）2﹣2x（x+y）﹣（x+y）（x﹣y）
＝x2+2xy+y2﹣2x2﹣2xy﹣x2+y2
＝2y2﹣2x2，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）2﹣2×22
＝2×1﹣2×4
＝2﹣8
＝﹣6．
23．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上，点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找到一点P，使PA+PB的值最小；
（3）直接写出P点的坐标 （﹣2，0） ．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）由图形可知P（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为线段AB的中点，过点E作MN⊥AB交AC于点D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，直接写出△ABC的周长 32 ．
解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
（2）∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵BC+BD+DC＝20，
∴AD+DC+BC＝20，
∴AC+BC＝20，
∵AB＝2AE＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
故答案为：32．
25．如图，学校有一块长为（2a+b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积，（结果写成最简形式）；
（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积．
解：（1）绿化总面积＝（2a+b﹣b）（2a﹣b﹣b）
＝2a•（2a﹣2b）
＝4a2﹣4ab．
（2）当a＝5，b＝2时，
原式＝4×52﹣4×5×2
＝100﹣40
＝60（米2）．
26．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上一点，过点D作DE∥BC，连接BE，2∠E+∠A＝90°．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点F作FN⊥BE，交DE于点M，连接ND，ND⊥DE，连接DF，DF平分NFB，求证：DN＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点N作NK⊥AB于点K，交BE的延长线于点G，EG＝1，EF＝2，求线段NM的长度．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠CBF，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABF+∠CBF＝90°，
又∵∠A+2∠E＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝2∠E，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠E，
∴DB＝DE；
（2）证明：∵FN⊥BE，ND⊥DE，
∴∠EFM＝∠NDM＝90°，
∵∠EMF＝∠NMD（对顶角），
∴∠E＝∠N，
∴∠N＝∠DBF，
∵DF平分NFB，
∴∠NFD＝∠BFD，
在△NDF和△BDF中，
，
∴△NDF≌△BDF（AAS），
∴DN＝DB，
∴DN＝DE；
（3）解：延长ND交BF于H，
∵∠NKB＝∠NFB＝90°，∠NQK＝∠BQF，
∴∠GNF＝∠KBF，
由（2）知：∠HNF＝∠DBF，
∴∠HNF＝∠GNF，
∵FN⊥BE，
∴∠GFN＝∠HFN＝90°，
∴△GNF≌△HNF（ASA），
∴HF＝GF＝EG+EF＝1+2＝3，
∴HE＝EF+HF＝2+3＝5，
∵∠MND＝∠HED＝90°﹣∠NHF，∠NDM＝∠EDH＝90°，
由（2）知：DN＝DE，
∴△NMD≌△EHD（ASA），
∴NM＝EH＝5．
27．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，4）分别为x轴、y轴上的点，连接AB，∠ABO＝45°．
（1）求a的值；
（2）如图2，过点B作直线l∥x轴，D为第二象限l上一点，连接DO，E为第一象限内一点，连接ED，∠EDO＝90°，DE＝DO，设点D的横坐标为t，点E的横坐标为d，请用含t的式子表示d： d＝4+t ；
（3）如图3，在（2）的条件下，F为点A右侧一点，连接DF交y轴于点N，交AB于点M，AF+2d＝5，过点F作FQ⊥直线l，垂足为点Q，连接MQ，MQ＝MF，求点N的坐标．
解：（1）∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝45°，
∴AO＝BO＝4，
∴a＝4；
（2）如图2，作DH⊥AO于H，EP⊥DB于P，
∵l平行x轴，
∴DH⊥l，
∴∠EDO＝∠BDH＝90°，
∴∠EDP＝∠ODH，
∵DE＝DO，
在△EDP和△ODH中，
，
∴△EDP≌△ODH（AAS），
∴DP＝DH＝d+（﹣t）＝4，
∴d＝4+t；
（3）∵MQ＝MF，
∴∠MQF＝∠MFQ，
∴∠MQD＝∠MFO，
∵l平行x轴，
∴∠MFO＝∠QDM，
∴∠MQD＝∠QDM，
∴MQ＝MD＝MF，
在△DBM 和△FAM中，
，
∴△DBM≌△FAM（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝﹣t，
∵AF+2d＝5，
∴﹣t+2d＝5，d＝4+t，
∴t＝﹣3，d＝1，
∴AF＝BD＝3，
∴OF＝7，
∴S△DOF＝OF•OB＝7×4＝14，
∵S△DOF＝S△OND+S△ONF
＝ON•DB+ON•OF
＝ON+ON＝14，
∴ON＝，
∴点N的坐标为（0，）．