2023-2024学年浙江省金华市金东区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市金东区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列所描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．任意买一张电影票，座位号是7的倍数
C．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球
D．太阳从西边升起
2．下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ）
A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．1，3，5，7D．2，4，6，8
3．二次函数y＝2（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
4．如图，△OAB绕点O顺时针旋转得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，当点C恰好在AB上时，则∠BCD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．55°
5．两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比为（ ）
A．1：3B．3：1C．D．
6．下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弦相等
C．圆心角是圆周角的2倍
D．90°的圆周角所对的弦是直径
7．如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝8，OE＝3，则CE的长是（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．已知线段AB＝1，E，F分别为其上的两个黄金分割点，则EF的长是（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．b2＞4acB．a+b+c＞0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0
10．如图，点P为正方形ABCD的外接圆O的上一点，连结PA，PB，PC，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．若，则＝ ．
12．在不透明的口袋中装有5个红球，2个黄球，1个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为 ．
13．如图，BC∥DE，且，DE＝4，则BC＝ ．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+1，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
15．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D为BC的中点，E，F分别在AB，AC上，若，则点D到AB的距离是 ，△AEF的周长是 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）经过点（1，4）．
（1）求二次函数与x轴的交点坐标．
（2）求a的值．
18．如图，在4×4的方格纸中，线段AB的两个端点都在1×1小方格的格点上，分别按下列要求画图．
（1）将线段AB绕点O顺时针旋转90°得线段A1B1．
（2）以点O为位似中心，画出线段A2B2，使线段A1B1与A2B2是位似图形，且位似比为1：2．
19．为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
（1）请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到0.01）．
（2）已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为3：5：2，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
20．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，∠AEB＝∠EDB．
（1）求证：△BDE∽△BEA．
（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的长度．
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
22．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）当AE＝4，CE＝6时，求：
①的值；
②CD的长．
23．探究解决以下问题：
24．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标．
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，CP，在点P运动过程中，△BPC 中是否存在一个内角，使其等于∠ABC，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分）.
1．下列所描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．任意买一张电影票，座位号是7的倍数
C．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球
D．太阳从西边升起
【分析】根据随机事件和必然事件的概念进行解题即可．
解：A、投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机随机，不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是7的倍数是随机随机，不符合题意；
C、从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球是必然事件，符合题意；
D、太阳从东边升起，西边落下，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查随机事件和倍数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2．下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ）
A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．1，3，5，7D．2，4，6，8
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；
B、2×6＝3×4，故本选项正确；
C、1×7≠3×5，故本选项错误；
D、2×8≠4×6，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．二次函数y＝2（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案．
解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣2
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．如图，△OAB绕点O顺时针旋转得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，当点C恰好在AB上时，则∠BCD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．55°
【分析】由旋转得∠AOB＝∠COD，可推导出2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠BOC，而∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，即可求得∠AOB＝55°，然后可以求出∠AOC，接着利用旋转的性质即可求解．
解：∵△OAB绕点O顺时针旋转得到△OCD，
∴∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∠OCD＝∠A，
∵∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，
∴2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOC＝95°+15°＝110°，
∴∠AOB＝55°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝（180°﹣∠AOC）＝70°，
∴∠OCD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ACO﹣∠OCD＝40°．
故选：B．
【点评】此题重点考查旋转的性质，由∠AOB＝∠COD推导出2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠BOC是解题的关键．
5．两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比为（ ）
A．1：3B．3：1C．D．
【分析】根据相似三角形的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
解：∵两个相似三角形的周长之比为1：，
∴两个相似三角形的相似比为1：，
∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴它们相应的面积之比是1：3．
故选：A．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
6．下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弦相等
C．圆心角是圆周角的2倍
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【分析】由圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，确定圆的条件，即可判断．
解：A、不共线的三点确定一个圆，故A不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故C不符合题意；
D、90°的圆周角所对的弦是直径，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，确定圆的条件，命题与定理，掌握以上知识点是解题的关键．
7．如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝8，OE＝3，则CE的长是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA，最后根据线段的和差求解即可．
解：如图，连接OA，
∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝4，
∵OE＝3，
∴OA＝＝5，
∴OC＝OA＝5，
∴CE＝OC+OE＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出AE的长是解此题的关键．
8．已知线段AB＝1，E，F分别为其上的两个黄金分割点，则EF的长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据黄金比为分别求出AF、BE，结合图形计算，得到答案．
解：∵E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，
∴AF＝BE＝AB＝，
∴EF＝AF+BE﹣AB＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比为是解题的关键．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．b2＞4acB．a+b+c＞0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0
【分析】由抛物线与x轴交点个数可判断可判断A选项，由图象可得x＝1时y＞0，可判断B选项．由图象可得x＝﹣1时y＜0可判断C选项．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断选项D．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，选项A正确．
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，选项B正确．
由图象可得x＝﹣1时y＜0，
∴a﹣b+c＜0，选项C正确．
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10．如图，点P为正方形ABCD的外接圆O的上一点，连结PA，PB，PC，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】首先根据题意画出图形，然后延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角形，则可求得答案．
解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC＝PE＝PB．
即：＝，
故选：B．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．若，则＝ ．
【分析】利用设k法进行计算即可解答．
解：∵，
∴设b＝2k，a＝3k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
12．在不透明的口袋中装有5个红球，2个黄球，1个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵袋子中共有5+2+1＝8（个），其中黄球有2个，
∴从中随机摸一个球，是黄球的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．如图，BC∥DE，且，DE＝4，则BC＝ 2 ．
【分析】根据BC∥DE，可以得到△ADE∽△ABC，从而可以得到，再根据，DE＝4，即可求得BC的值．
解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，DE＝4，
∴＝，
解得BC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+1，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ﹣3≤y＜6 ．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
将x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+1得y＝1+4+1＝6，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣3≤y＜6，
故答案为：﹣3≤y＜6．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不等式的关系．
15．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积为 π﹣3 （结果保留π）．
【分析】连接OD交BC于点E，由翻折的性质可知：OE＝DE＝3，在Rt△OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC＝30°，然后在Rt△COB中，可求得CO，从而可求得△COB的面积，最后根据阴影部分的面积＝扇形面积﹣2倍的△COB的面积求解即可．
解：连接OD交BC于点E．
扇形的面积＝π×32＝π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE＝DE＝，OD⊥BC．
在Rt△OBE中，sin∠OBE＝，
∴∠OBC＝30°．
在Rt△COB中，＝tan30°，
∴＝．
∴CO＝．
∴△COB的面积＝×3×＝．
阴影部分的面积＝扇形面积﹣2倍的△COB的面积
＝π﹣3．
故答案为：π﹣3．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，扇形面积的计算以及特殊锐角三角函数值的应用，根据翻折的性质求得OE的长，然后再求得∠OBC的度数是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D为BC的中点，E，F分别在AB，AC上，若，则点D到AB的距离是 ，△AEF的周长是 ．
【分析】连接AD，过点D作DG⊥AB交于点G，过点D作DM⊥EF交于点M，过点D作DN⊥AC交于点N分别求出BD、AD，利用三角形的面积公式求出DG的长即可点D到AB的距离；根据“两角分别相等的两个三角形全等”证△BED～△CDF，则得，∠BDE＝∠CFD，再根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似“证△EBD～△EDF，可得∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，进而可证△EGD≌△EMD，推出EG＝EM，再进一步推出AG＝AN，BG＝CN，EF＝BE+CF﹣2BG，最后证△DGB～△ADB，利用相似三角形对应边成比例求出BG的长即可．
解：连接AD，过点D作DG⊥AB交于点G，过点D作DM⊥EF交于点M，过点D作DN⊥AC交于点N，如图所示：
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴BD＝BC＝1，AD⊥BC，∠ADB＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，
∵，
∴DG＝，
又∵∠EDF＝90°﹣∠A，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠BED＝∠FDC，∠EBD＝∠DCF，
∴△BED～△CDF，
∴，∠BDE＝∠CFD，
∵D为BC的中点，
∴，
∴，
又∵∠EBD＝∠EDF，
∴△EBD～△EDF，
∴∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，
∵∠EGD＝∠EMD＝90°，∠BED＝∠DEF，DE＝DE，
∴△EGD≌△EMD，
∴EG＝EM，
同理可得：FN＝FM，
∵AB＝AC，
∴ABC是等腰三角形，
∵D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△AND，
∴AG＝AN，
又∵AB＝AC，
∴BG＝CN，
∴EF＝EM+FM＝EG+FN＝BE﹣BG+CF﹣CN＝BE+CF﹣2BG，
∵∠B＝∠B，∠BGD＝∠ADB＝90°，
∴△DGB～△ADB，
∴，即，
∴BG＝，
∴EF＝BE+CF﹣，
∴△AEF的周长＝AE+AF+BE+CF﹣＝AB+AC﹣＝3+3﹣＝．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质推理是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）经过点（1，4）．
（1）求二次函数与x轴的交点坐标．
（2）求a的值．
【分析】（1）令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解．
解：（1）令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x＝3或﹣1，
故函数和x轴交点的坐标为：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）将（1，4）代入抛物线表达式得：4＝a（1+1）（1﹣3），
解得：a＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数和x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
18．如图，在4×4的方格纸中，线段AB的两个端点都在1×1小方格的格点上，分别按下列要求画图．
（1）将线段AB绕点O顺时针旋转90°得线段A1B1．
（2）以点O为位似中心，画出线段A2B2，使线段A1B1与A2B2是位似图形，且位似比为1：2．
【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A，B，的对应点A1，B1即可；
（2）根据位似变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可．
解：（1）如图，线段A1B1即为所求；
（2）如图，线段A2B2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
（1）请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 0.72 （精确到0.01）．
（2）已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为3：5：2，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
【分析】（1）根据图表可知，该足球小将射中球门的概率为0.72；
（2）用240除以射击1000次左脚射门次数即可求得概率．
解：（1）据上表，估计该足球小将射中球门的概率为0.72；
故答案为：0.72；
（2）240÷（1000×）＝0.8．
答：左脚射中概率为0.8．
【点评】本题考查利用频数估计概率，解题的关键在于学会估算概率，熟记概率公式．
20．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，∠AEB＝∠EDB．
（1）求证：△BDE∽△BEA．
（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的长度．
【分析】（1）∠ABE是公共角，可直接得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得BE2＝BD•BA，由此可得出BE的长度，再由等角对等边可得结论．
解：（1）∵∠ABE＝∠EBD，∠AEB＝∠EDB，
∴△BDE∽△BEA；
（2）∵△BDE∽△BEA，
∴BD：BE＝BE：AB，即BE2＝BD•BA，
∵BD＝1，AD＝2，
∴AB＝3，
∴BE2＝1×3，
∴BE＝，
∵∠C＝∠BEC，
∴BC＝BE＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等内容，得出△BDE∽△BEA是解题关键．
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【分析】（1）设水池的长为a m，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为x m，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为x m，则CD长度为（21﹣3x）m，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
此时CD＝21﹣3×＝＜12，符合题意，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
22．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）当AE＝4，CE＝6时，求：
①的值；
②CD的长．
【分析】（1）连接OC，如图，由于∠BAO＝∠ABE，则∠BAC＝2∠BAO，所以∠BAO＝∠CAO，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠AOB＝∠AOC，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
（2）①证明OA∥CD，然后利用平行线分线段成比例定理得到＝＝；
②过O点作OH⊥AC于H点，如图，设⊙O的半径为5x，则OA＝OD＝5x，OE＝2x，利用垂径定理得到AH＝CH＝5，所以EH＝1，利用双勾股得到4x2﹣1＝25x2﹣25，解方程求出x得到OA＝，然后利用平行线分线段成比例定理得到＝，从而根据比例的性质可求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠BAC＝2∠ABE，
∴∠BAC＝2∠BAO，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：①∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴＝＝＝；
②过O点作OH⊥AC于H点，如图，设⊙O的半径为5x，则OA＝OD＝5x，
∵OE：DE＝2：3，
∴OE＝2x，
∴AH＝CH＝AC＝5，
∴EH＝AH﹣AE＝5﹣4＝1，
在Rt△OEH中，OH2＝OE2﹣EH2＝（2x）2﹣12＝4x2﹣1，
在Rt△OEH中，OH2＝OA2﹣AH2＝（5x）2﹣52＝25x2﹣25，
∴4x2﹣1＝25x2﹣25，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴OA＝5x＝，
∵OA∥CD，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
23．探究解决以下问题：
【分析】任务1：设AC与BE、CE分别相交于点G、F，由∠A+∠D＝∠BFG，∠C+∠E＝∠BGF，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFG+∠BGF+∠B＝180°；
任务2：作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由∠DOE+∠EOF+∠FOA＝180°，∠EOF+∠FOA+∠AOB＝180°证明对角线AD、BD都经过圆心O，设EC分别交AD、BD于点K、L，AC分别交BE、BD于点G、I，可证明四边形OCDE是菱形，则OD⊥CE，OK＝DK＝OD＝2，则AK＝4+2＝6，CK＝EK＝＝2，求得S△ACK＝6，S△EOK＝2，由DK＝＝LK＝2，求得LK＝，则S△BGI＝S△DKL＝，即可由S五角星ABCDE＝S△ACK+S△EOK+S△DKL+S△BGI求得S五角星ABCDE＝；
任务3：①作正五边形ABCDE的外接圆⊙O，则＝＝＝＝，可求得∠AED＝108°，则∠EAD＝∠EDA＝36°，所以∠AEB＝∠BEC＝∠FED＝∠FDE＝36°，可证明∠AEF＝∠AFE＝72°，则AE＝AF＝DE＝4，再证明△DEF∽△DAE，得＝，于是得AF2＝AD•（AD﹣AF），求得AF＝AD＝4，则AD＝2+2；
②设S△DEF＝n，由＝＝，得＝＝，所以S△AEF＝n，求得S△AED＝n，再证明S△AFC＝S△ABC＝S△EDC＝S△AED＝n，则S正五边形ABCDE＝S△AFC+S△ABC+S△EDC+S△AEF＝（2+5）n，S正五角星ABCDE＝S正五边形ABCDE﹣5S△DEF＝2n，即可求得正五角星与正五边形的面积之比是2﹣4．
【解答】任务1：证明：如图1，设AC与BE、CE分别相交于点G、F，
∵∠A+∠D＝∠BFG，∠C+∠E＝∠BGF，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFG+∠BGF+∠B，
∵∠BFG+∠BGF+∠B＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任务2：解：如图2，作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴∠DOE+∠EOF+∠FOA＝180°，∠EOF+∠FOA+∠AOB＝180°，
∴对角线AD、BD都经过圆心O，
设EC分别交AD、BD于点K、L，AC分别交BE、BD于点G、I，
∵△DOE、△DOC都是等边三角，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝DE＝DC＝4，
∴四边形OCDE是菱形，
∴OD⊥CE，OK＝DK＝OD＝2，
∴∠AKC＝∠OKE＝90°，AK＝4+2＝6，
∴CK＝EK＝＝2，
∴S△ACK＝×6×2＝6，S△EOK＝×2×2＝2，
∵∠LKD＝90°，∠LDK＝∠AOB＝30°，
∴LD＝2LK，
∴DK＝＝＝LK＝2，
∴LK＝，
∴S△DKL＝×2×＝，
同理求得S△BGI＝，
∴S五角星ABCDE＝S△ACK+S△EOK+S△DKL+S△BGI＝6+2++＝，
∴五角星ABCDE的面积为．
任务3：解：①如图3，作正五边形ABCDE的外接圆⊙O，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴＝＝＝＝，
∵∠AED＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠EAD＝∠EDA＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEB＝∠BEC＝∠FED＝∠FDE＝36°，
∴DF＝EF，∠AEF＝∠AEB+∠BEC＝72°，∠AFE＝∠FED+∠FDE＝72°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝DE＝4，
∵∠FDE＝EDA，∠FED＝∠EAD，
∴△DEF∽△DAE，
∴＝，
∴DE2＝AD•DF，
∴AF2＝AD•（AD﹣AF），
∴AF＝AD或AF＝AD（不符合题意，舍去），
∴AD＝4，
∴AD＝2+2，
∴AD的长是2+2．
∴②设S△DEF＝n，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△DEF＝n，
∴S△AED＝n+n＝n，
∵AF＝AB，∠CAF＝∠CAB＝∠EAD＝36°，AC＝AC，
∴△AFC≌△ABC（SAS），
∵AB＝ED，∠ABC＝∠EDC，BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC，
同理△ABC≌△AED，
∴S△AFC＝S△ABC＝S△EDC＝S△AED＝n，
∴S正五边形ABCDE＝S△AFC+S△ABC+S△EDC+S△AEF＝3×n+n＝（2+5）n，
∴S正五角星ABCDE＝S正五边形ABCDE﹣5S△DEF＝（2+5）n﹣5n＝2n，
∴＝＝2﹣4，
∴正五角星与正五边形的面积之比是2﹣4．
【点评】此题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、三角形内角和定理及其推论、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标．
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，CP，在点P运动过程中，△BPC 中是否存在一个内角，使其等于∠ABC，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标代入解析式，求出c的值即可得出结论；
（2）设点D的坐标为（0，d），由圆的性质可知，CD＝BD，由此建立方程，求出d即可；
（3）根据题意，需要分三种情况：∠CBP＝∠ABC；∠BCP＝∠ABC；∠BPC＝∠ABC，分别画出图形，根据图形列出方程，求解即可．
解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，且点A坐标为（﹣1，0），
∴＝0，
解得c＝2，
∴抛物线的解析式为：+2；
（2）∵抛物线y＝+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴令y＝0，即+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
令x＝0，则y＝2，
∴B（4，0），C（0，2），
设点D的坐标为（0，d），由题可知，CD＝BD，
∴＝，
解得d＝﹣3，
∴D（0，﹣3）；
（3）存在，理由如下：在△OBC中，OB＝4，OC＝2，
∴tan∠ABC＝；
根据题意，△BPC 中是否存在一个内角，使其等于∠ABC，需要分以下三种情况：
①当∠CBP＝∠ABC时，如图3﹣1，过点C作CE⊥BP于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，过点B作BG⊥x轴交EF于点G，
∴EF⊥BG，
∵∠CBP＝∠ABC，∠BOC＝∠BEC＝90°，BC＝BC，
∴Rt△OBC≌Rt△EBC（HL），
∴OB＝BE＝4，OC＝CE＝2，
∵EF⊥y轴，EF⊥BG，CE⊥BP，
∴∠CFE＝∠FGB＝∠CEB＝90°，
∴∠CEF+∠BEG＝∠CEF+∠CFE＝90°
∴∠BEG＝∠CFE，
∴△CEF∽△EBG，
∴EF：BG＝CF：GE＝CE：BE＝1：2，
设EF＝t，则BG＝2t，CF＝2t﹣2，
∴EG＝4t﹣4，
∴t+4t﹣4＝4，
∴t＝，
∴E（，），
∵B（4，0），
∴直线BE的解析式为：y＝﹣（x﹣4），
令﹣（x﹣4）＝+2，
解得x＝4（舍）或x＝；
②当∠BCP＝∠ABC时，
当点P在BC上方时，如图3﹣2，此时CP∥x轴，
∴令+2＝2，
解得x＝3；
当点P在x轴下方时，如图3﹣3，设CP与x轴交于点H，
∴CH＝BH，
∴OH＝4﹣BH，
在Rt△OCH中，由勾股定理可得，OC2+OH2＝CH2，
即22+（4﹣BH）2＝BH2，
解得BH＝，
∴H（，0），
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，
令﹣x+2＝+2，
解得x＝0（舍）或x＝；
③当∠BPC＝∠ABC时，如图3﹣4，过点B作BM⊥BP交PC的延长线于点M，过点B作BN∥y轴，分别过点M，P作x轴的平行线，交BN于点N，G，
∴△BMN∽△PBQ，
∴MN：BQ＝BN：PQ＝BM：BP＝tan∠BPC＝，
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+t+2），
∴PQ＝4﹣t，BQ＝t2﹣t﹣2，
∴BN＝2﹣t，MN＝t2﹣t﹣1，
∴M（5﹣t2+t，2﹣t），
∴直线PC的解析式为：y＝（﹣t+）x+2，
将点M的坐标代入上述解析式，可得（﹣t+）（5﹣t2+t）+2＝2﹣t，
整理得t3﹣6t2﹣7t+60＝0，即（t+3）（t﹣4）（t﹣5）＝0，
∴t＝﹣3或t＝4（舍）或t＝5（如图3﹣5）；
综上，符合题意的点P的横坐标为：或3或或﹣3或5．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法，相似三角形的性质与判定，角度的存在性等相关知识，分类讨论思想等数学思想，利用垂直构造一线三等角是解题关键．
射门次数n（次）
10
50
100
200
500
800
1000
射中次数m（次）
7
37
75
142
365
576
720
射中频率
0.70
0.74
0.75
0.71
0.73
0.72
0.72
探究1
如图1，该兴趣小组在纸上画了一个圆，随机在圆上取5个点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，小组同学经过讨论，提出猜想：认为五角星的五个角之和为180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

探究2
如图2，兴趣小组继续探讨，在边长为4的正六边形中取五个顶点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，发现这个五角星的形状大小是唯一确定的，因此可求出这个五角星的面积．

探究3
如图3，兴趣小组深入探讨，连结边长为4的正五边形的顶点A，B，C，D，E，得到一个5个角都相等的正五角星，小组同学想尝试探究正五角星和正五边形之间的联系．

问题解决
任务1
如图1，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任务2
如图2，求五角星ABCDE的面积．
任务3
如图3，求：①AD的长；②正五角星与正五边形的面积之比．
射门次数n（次）
10
50
100
200
500
800
1000
射中次数m（次）
7
37
75
142
365
576
720
射中频率
0.70
0.74
0.75
0.71
0.73
0.72
0.72
探究1
如图1，该兴趣小组在纸上画了一个圆，随机在圆上取5个点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，小组同学经过讨论，提出猜想：认为五角星的五个角之和为180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

探究2
如图2，兴趣小组继续探讨，在边长为4的正六边形中取五个顶点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，发现这个五角星的形状大小是唯一确定的，因此可求出这个五角星的面积．

探究3
如图3，兴趣小组深入探讨，连结边长为4的正五边形的顶点A，B，C，D，E，得到一个5个角都相等的正五角星，小组同学想尝试探究正五角星和正五边形之间的联系．

问题解决
任务1
如图1，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任务2
如图2，求五角星ABCDE的面积．
任务3
如图3，求：①AD的长；②正五角星与正五边形的面积之比．