2023-2024学年河南省郑州外国语中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州外国语中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列选项是无理数的为（ ）
A．B．C．3.1415926D．π
2．△ABC的三边分别是a，b，c，下列条件不能使△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a：b：c＝12：13：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点A（﹣1，3）和点B（3，m﹣1），如果直线AB∥x轴，那么m的值为（ ）
A．1B．﹣4C．4D．3
5．如图，根据以下程序，当输入x＝﹣9时，输出的y值为（ ）
A．6B．C．﹣3D．5
6．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2D．x2+62＝（10﹣x）2
8．若点A（﹣5，y1），B（1，y2）都在直线y＝2x+7上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2
C．y1＞y2D．无法比较大小
9．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a+|+|a﹣1|的结果为（ ）
A．﹣2a﹣1B．C．D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．4的算术平方根是 ．
12．请写出一个y随x的增大而减小的一次函数的表达式： ．
13．若点M（m﹣1，1）与点N（3，n﹣1）关于x轴成轴对称，则m+n＝ ．
14．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝15，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为 ．
三、解答题（本大题共有7个小题，共55分，
16．计算：
（1）；
（2）﹣（π﹣3.14）0．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出△ABC的面积 ；
（3）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小．（保留画图的痕迹）
18．周末，小明和小亮去碧沙岗公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
19．河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以得更多的茶叶？
20．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）＝ ．
（2）化简．
（3）若，则a4﹣4a3﹣4a+7的值 ．
21．小颖根据学习函数的经验，对函数y＝2﹣|x﹣1|的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
①a＝ ；b＝ ；
②若A（7，﹣4），B（m，﹣4）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
（2）描点并画出该函数的图象；
（3）①根据函数图象可得，当x＝ 时，该函数y的最大值为 ；
②观察函数y＝2﹣|x﹣1|的图象，写出该图象的两条性质： ； ．
22．【观察发现】
如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣8与x轴，y轴分别交于A，B两点．
①则∠OAB＝ ；
②C，D是正比例函数y＝kx图象上的两个动点，连接AD，BC，若BC⊥CD，BC＝6，则AD的最小值是 ；
（2）如图2，一次函数y＝﹣3x+6的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【拓展应用】
（3）如图3，点A在x轴负半轴上，OA＝16，过点A作AB⊥x轴交直线y＝﹣4x﹣6于点B，P是直线y＝﹣4x﹣6上的动点，Q是y轴上的动点，若△APQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列选项是无理数的为（ ）
A．B．C．3.1415926D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解：，＝4，3.1415926是有理数；π是无理数．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
2．△ABC的三边分别是a，b，c，下列条件不能使△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a：b：c＝12：13：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
解：A、∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
故能判定△ABC是直角三角形．
B、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵52+（12）2＝132，
故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝75°，
故不能判定△ABC是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可．
解：由题意得，，
点A所表示的数为．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键．
4．已知点A（﹣1，3）和点B（3，m﹣1），如果直线AB∥x轴，那么m的值为（ ）
A．1B．﹣4C．4D．3
【分析】直接根据直线AB∥x轴作答即可．
解：∵直线AB∥x轴，
∴m﹣1＝3，
解得m＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标的特征：当直线与x轴平行时，纵坐标相同；当直线与y轴平行时，横坐标相同．
5．如图，根据以下程序，当输入x＝﹣9时，输出的y值为（ ）
A．6B．C．﹣3D．5
【分析】根据题意将x＝﹣9代入中计算即可．
解：∵x＝﹣9＜1，
∴＝＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查代数式求值，将x＝﹣9代入正确大的代数式是解题的关键．
6．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】首先根据题意建立坐标系，然后再确定根据轴对称图形的定义确定位置．
解：如图：小莹放的位置所表示的点的坐标是（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
8．若点A（﹣5，y1），B（1，y2）都在直线y＝2x+7上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2
C．y1＞y2D．无法比较大小
【分析】直接把各点坐标代入函数解析式，求出y1，y2的值，再比较大小即可．
解：∵点A（﹣5，y1），B（1，y2）都在直线y＝2x+7上，
∴y1＝2×（﹣5）+7＝﹣10+7＝﹣3，y2＝2×1+7＝2+7＝9，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
9．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a+|+|a﹣1|的结果为（ ）
A．﹣2a﹣1B．C．D．
【分析】由数轴得出﹣1＜a＜0，进一步判断出，a﹣1＜0，再根据绝对值的性质化简即可．
解：由数轴得，﹣1＜a＜0，
∴，a﹣1＜0，
∴
＝
＝，
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，得出，a﹣1＜0并根据绝对值的性质进行化简是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案．
解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴S1＝DC2＝42＝16，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝EC，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴DE2＝DC2＝S1＝8，
∴S2＝DE2＝8，
同理S3＝S2＝S1，S4＝S1，
∴S2023＝×S1＝×24＝．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．4的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
解：＝2，其算术平方根是，
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
12．请写出一个y随x的增大而减小的一次函数的表达式： y＝﹣x，或y＝﹣x+2等，答案不唯一 ．
【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数小于0即可．
解：例如：y＝﹣x，或y＝﹣x+2等，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x，或y＝﹣x+2等，答案不唯一．
【点评】此题比较简单，考查的是一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
13．若点M（m﹣1，1）与点N（3，n﹣1）关于x轴成轴对称，则m+n＝ 4 ．
【分析】根据“关于x轴对称的两点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数”进行计算即可．
解：∵点M（m﹣1，1）与点N（3，n﹣1）关于x轴成轴对称，
∴m﹣1＝3，n﹣1＝﹣1，
∴m＝4，n＝0，
∴m+n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键．
14．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 2 米．
【分析】把折面展开成平面，再根据两点之间线段最短确定最短距离，再根据勾股定理求解．
解：把立体图形展开为平面图形得：展开后AB方向上线段长度变长，长度为AB+1+1＝8+2＝10米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC，
∴AC＝＝2（米），
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，掌握平面图形与立体图形的关键是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝15，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为 3或21 ．
【分析】分两种情况：①当点D在AF上时；②当点D在BF上时；进行讨论即可求解．
解：作CF⊥AB于F，
∵在△ABC中，AC＝BC＝15，AB＝24，
∴AF＝12，
∴CF＝＝9，
①如图1，当点D在AF上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝∠EDC＝（360°﹣90°）÷2＝135°．
∴∠CDF＝45°．
∴CF＝DF．
∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣CF＝12﹣9＝3．
②如图2，当点D在BF上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠CDF＝45°．
∴CF＝DF．
∴AD＝AF+DF＝AF+CF＝12+9＝21．
故答案为：3或21．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
三、解答题（本大题共有7个小题，共55分，
16．计算：
（1）；
（2）﹣（π﹣3.14）0．
【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可；
（2）先根据绝对值和零指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可．
解：（1）原式＝13+4+4﹣（13﹣9）
＝17+4﹣4
＝13+4；
（2）原式＝2+2﹣﹣1
＝+1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出△ABC的面积 4 ；
（3）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小．（保留画图的痕迹）
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）利用割补法结合三角形的面积计算公式解答即可；
（3）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'A交y轴于点Q，则点Q即为所求．
解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；
（2）S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4；
故答案为：4；
（3）如图2所示，点Q即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
18．周末，小明和小亮去碧沙岗公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）由题意可知：BD＝12米，CD⊥BD，AB＝DE＝1.65米，
在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256，
∴CD＝16（负值已舍去），
∴CE＝CD+DE＝16+1.65＝17.65（米），
答：风筝的垂直高度CE为17.65米；
（2）∵风筝沿CD方向下降7米，DE保持不变，如图，
∴此时的C′D＝16﹣7＝9（米），
即此时在Rt△C′DB中，BD＝12米，有BC′＝＝＝15（米），
相比下降之前，BC缩短长度为20﹣15＝5（米），
∴他应该往回收线5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
19．河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以得更多的茶叶？
【分析】（1）根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可；
（2）根据方式一、方式二的费用＝6500，解方程求出x进行比较即可．
解：（1）根据题意得：y1＝500+1600x，y2＝200+1800x，
∴y1关于x的函数解析式为y1＝500+1600x，y2关于x的函数解析式为y2＝200+1800x；
（2）按照第一种方式购买茶叶：500+1600x＝6500，
解得x＝；
按照第二种方式购买茶叶：200+1800x＝6500，
解得x＝．
∵＞，
∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解题的关键．
20．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）＝ ﹣ ．
（2）化简．
（3）若，则a4﹣4a3﹣4a+7的值 8 ．
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a＝+2得到a﹣2＝，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：（1）
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1+﹣+﹣+﹣…﹣+﹣+
＝﹣1+；
（3）∵，
∴a﹣2＝，
∴（a﹣2）2＝5，
即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+7
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+7
＝a2×1﹣4a+7
＝a2﹣4a+7
＝1+7
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．小颖根据学习函数的经验，对函数y＝2﹣|x﹣1|的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
①a＝ 2 ；b＝ ﹣1 ；
②若A（7，﹣4），B（m，﹣4）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ﹣5 ；
（2）描点并画出该函数的图象；
（3）①根据函数图象可得，当x＝ 1 时，该函数y的最大值为 2 ；
②观察函数y＝2﹣|x﹣1|的图象，写出该图象的两条性质： 该函数的图象是轴对称图形 ； 当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小 ．
【分析】（1）①把x＝1，x＝4分别代入y＝2﹣|x﹣1|即可得到a、b的值；
②把B（m，﹣4）代入y＝2﹣|x﹣1|得方程，即可得到结论；
（2）根据题意画出函数图象即可；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
解：（1）①把x＝1代入y＝2﹣|x﹣1|得y＝2；
把x＝4代入y＝2﹣|x﹣1|得y＝﹣1；
∴a＝2，b＝﹣1，
②把B（m，﹣4）代入y＝2﹣|x﹣1|得，﹣4＝2﹣|m﹣1|，
解得：m＝7或m＝﹣5，
∵A（7，﹣4），B（m，﹣4）为该函数图象上不同的两点，
∴m＝﹣5；
故答案为：2，﹣1；﹣5；
（2）该函数的图象如图所示：
（3）根据函数的图象知，
①当x＝1时，该函数y的最大值为2；
②性质：该函数的图象是轴对称图形；当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为：1，2；该函数的图象是轴对称图形；当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
22．【观察发现】
如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣8与x轴，y轴分别交于A，B两点．
①则∠OAB＝ 45° ；
②C，D是正比例函数y＝kx图象上的两个动点，连接AD，BC，若BC⊥CD，BC＝6，则AD的最小值是 2 ；
（2）如图2，一次函数y＝﹣3x+6的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【拓展应用】
（3）如图3，点A在x轴负半轴上，OA＝16，过点A作AB⊥x轴交直线y＝﹣4x﹣6于点B，P是直线y＝﹣4x﹣6上的动点，Q是y轴上的动点，若△APQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【分析】（1）①求出A（8，0），B（0，﹣8），可得△AOB是等腰直角三角形，故∠OAB＝45°；
②当AD⊥CD时，AD取得最小值，求出OC＝＝＝2；证明△BOC≌△OAD（AAS），即得AD＝2，即AD的最小值是2；
（2）过B作BH⊥直线l于H，过H作MN∥y轴交x轴于N，过A作AM⊥MN于M，求出A（0，6），B（2，0），设H（m，n），可证△BHN≌△HAM（AAS），有HN＝AM，BN＝MH，故，解得H（4，4），即可得直线l的函数表达式为y＝﹣x+6；
（3）设P（m，﹣4m﹣6），Q（0，n），当P在x轴的上方时，过P作PM⊥y轴于M，可证△PQM≌△QAO（AAS），得PM＝OQ，AO＝MQ；即，可解得Q（0，）；当P在x轴的下方时，过Q作MN∥x轴交AB于N，过P作PM⊥MN于M，同理可得Q（0，2）．
解：（1）①在y＝x﹣8中，令x＝0得y＝﹣8，令y＝0得x＝8；
∴A（8，0），B（0，﹣8），
∴OA＝8＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°；
故答案为：45°；
②由垂线段最短知，当AD⊥CD时，AD取得最小值，如图：
∵BC⊥CD，BC＝6，OB＝8，
∴OC＝＝＝2；
∵∠BCO＝∠ADO＝90°，∠BOC＝90°﹣∠AOD＝∠DAO，OB＝OA，
∴△BOC≌△OAD（AAS），
∴OC＝AD，
∴AD＝2，即AD的最小值是2，
故答案为：2；
（2）过B作BH⊥直线l于H，过H作MN∥y轴交x轴于N，过A作AM⊥MN于M，如图：
在y＝﹣3x+6中，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝2，
∴A（0，6），B（2，0），
设H（m，n），
∵∠BHA＝90°，∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，∠BHN＝90°﹣∠AHM＝∠HAM，
∵∠BNH＝90°＝∠M，
∴△BHN≌△HAM（AAS），
∴HN＝AM，BN＝MH，
即，
解得，
∴H（4，4），
设直线l的函数表达式为y＝kx+b，把A（0，6），H（4，4）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+6；
（3）设P（m，﹣4m﹣6），Q（0，n），
当P在x轴的上方时，过P作PM⊥y轴于M，如图：
由∠AQP＝90°，AQ＝PQ，同（2）可证△PQM≌△QAO（AAS），
∴PM＝OQ，AO＝MQ；
∴，
解得，
∴Q（0，）；
当P在x轴的下方时，过Q作MN∥x轴交AB于N，过P作PM⊥MN于M，如图：
由∠AQP＝90°，AQ＝PQ，可得△PQM≌△QNA（AAS），
∴PM＝NQ，AN＝MQ；
即，
解得，
∴Q（0，2），
综上，点Q的坐标为（0，）或（0，2）．
【点评】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
会员卡费用（元/张）
茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员
500
1600
方式二：银卡会员
200
1800
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
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1
a
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0
b
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