初中北师大版第二章 有理数及其运算2.1 有理数导学案

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知识清单
知识点01 有理数的分类
（1）按照性质分类：
（2）按照符号分类：
（3）小数分类：
和 统称为非负数； 和 统称为非正数.
知识点02 相反数
（1）相反数的概念：只有_________不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
（5）正数的相反数是____________，负数的相反数是____________，零的相反数是____________.
（6）互为相反数的两个数分别在原点的____________，并且到原点的____________相等.
【注意】相反数等于它本身的数是_________.
知识点03 绝对值
（1）一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值，记作 .
（2）绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离.
【例】的几何意义表示到原点的距离；的几何意义表示x到5的距离；的几何意义表示x到的距离.
（3）正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 .即当a>0时，是它
的 ；当a<0时，是它的 ；当a=0时，是 .
【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.
②若，那么a就是非负数；若，那么a就是非正数.
（4） “若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则．
知识点04 有理数的加减乘除及其乘方运算
1.有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）
（4）一个数同0相加，仍得这个数.
2.有理数的减法法则
减去一个数等于加上这个数的_______，即.
【注意】计算过程中，一定要注意符号.
3.有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.
（4）有理数的乘法运算律
①乘法交换律：；
②乘法结合律：；
③乘法分配律：．
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.
（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
5.有理数的乘方
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.
考点精析
考点一 基础知识过关
1.有理数按照性质分类可分为整数和______，0是正数还是负数？（□正数 □负数 □都不是）
2.一定是负数吗？和都是______数，它们具有什么性质？在本章通常会考查什么题型？（试举例说明）
3.什么是无理数？写几个无理数.和有理数的区别是什么？
4.数轴的三要素是______，______，______.
5.数轴上的数的特点：（1）左边的数______右边的数（填＞或＜）；（2）越往左数越______，越往右数越______.
6.数轴上计算两点之间的距离的方法是____________，计算两点的重点的方法是____________.
7.相反数的性质是：若a、b互为相反数，则______.
8.绝对值的几何意义是？
9.正数的绝对值是______，负数的绝对值是______，0的绝对值是______.
10.相反数等于它本身的数有______，倒数等于它本身的数有______，绝对值等于它本身的数有______.
11.若，那么a一定是______；若，那么a一定是______.由此我们可以得出若，那么一定是______；若，那么一定是______.
12.去绝对值的方法是正数直接去，负数_________，0 既可直接去亦可______.若，则______；
若，则______.
13.绝对值几何意义的应用：（1）对于有最____值，是多少？_______；（2）对于有最____值，是多少？_______；（3）有最____值，是多少？_______；有最____值，是多少？_______；
14.除法是否有分配率？（□有 □没得）
15.对于数，在求精确到哪一位时，是否需要展开？（□需要 □不需要）在求有效数字有几个时，是否需要展开？（□需要 □不需要）
16.计算题要多练习，尤其要注意符号.计算过程中，能够用简便运算的要用简便运算.
考点二 科学计数法
1.2022年4月18日，国家统计局发布数据，今年一季度国内生产总值270178亿元．同比增长4.8%，比2021年四季度环比增长1.3%．把27017800000000用科学记数法表示为（ ）
2.2021年5月11日上午，第七次全国人口普查主要数据结果正式发布．2020年11月1日零时，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，增长5.38%;年平均增长率为0.53%．数据141178万用科学记数法表示为（ ）
3.2020年，新冠病毒全球肆虐，据世界卫生组织公布的数据，截至2022年1月16日，美国累计确诊病例超6670万，这个数据用科学记数法表示为（ ）
考点二 近似数
1.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．
（1）0.008435（保留三个有效数字）≈_________；
（2）12.975（精确到百分位） ≈_________；
（3）548203（精确到千位） ≈_________；
（4）5365573（保留四个有效数字）≈_________．
2.截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22 699 938，精确到万位，用科学记数法表示为（ ）
3.网聚正能量，构建同心圆．以“奋斗的人民，奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段．截至2021年11月26日18点，“五个一百”活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（ ）
4.精确到______位，有______个有效数字，32845676保留5个有效数字为______．
考点三 有理数的分类
1.在数，-0.4，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100，这9个数中，有理数有______个．
2，把下列各数填入相应的大括号内上：.
有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
非正数集合：{ …}.
3.把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
考点四 数轴上点的距离和中点
1.数轴上表示和3的两点之间的距离是（ ）
2.已知点A在数轴上所对应的数为2，点A、B之间的距离为5，则点B在数轴上所对应的数是（ ）
3.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（ ）
4.数轴上点A和点B表示的数分别是-1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（ ）
5.数轴上点M与点N表示的数分别是5和-2，点P到点M、N两点的距离之和为10，则点P所在的点表示的数是 .
6.数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点的距离是 ，A、B两点的中点是 ．若a=2，b=-4，那么A、B两点的中点是 .
7.在数轴上，点A，B表示的数分别是和2，则线段AB的中点表示的数是( )
考点五 利用绝对值化简
1.有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）．

2.表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ）

3.如图，化简代数式|b-a|-|a-1|+|b+2|的结果是_______.
4.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______.
考点六 非负数的应用
1.已知，则______，______.
2.已知，则______，______.
3.已知与互为相反数，则______.
4.已知，则______，______.
考点七 绝对值的几何意义
1.若a为有理数，则|a-3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2|-|a-1|的最大值是_______．
2.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而即则表示3和-1这两点的距离．式子的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索：
（1）直接写出____________．
（2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，的所有整数的和．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由．
3.阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a-b|．回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
考点八 概念辨析
1.若两个数之和为负数，则一定是（ ）
2.下列说法正确的是（ ）
3.下说法正确的是（ ）
4.关于有理数的减法，下列说法正确的是（ ）
5.列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；
②异号两数相乘，积取负号；
③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；
④绝对值等于本身的数是正数．
考点九 因数符号判断
1.a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（ ）
2.已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，则a、b的符号是（ ）
3.若a+b＞0，a﹣b＜0，0，则下列结论正确的是（ ）
4.在下列各题中，结论正确的是（ ）
考点十 有理数的计算
1.计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
2.计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
3.计算：（1） （2）
4.用简便方法计算：（1） （2）
5.计算：
（1） （2）
6.计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
7.计算：
（1） （2）
考点十一 有理数的运算（含绝对值）
1.如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则a-b的值是_________.
2.如果|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．
3.已知|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝|a|+|b|，则a+b的值为（ ）
4.已知，，若，求a-b的值．
5.已知，，且，求的值．
6.已知，，回答下列问题：
（1）由，，可得 ， ；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
考点十二 比较大小（含数轴）
1.已知a>0，b<0，且|a|<|b|，则下列关系正确的是（ ）
2.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
3.若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（ ）
考点十三 比较大小（含绝对值）
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求的值．
2.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，|m|=2，求代数式的值．
3.若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m是绝对值等于它本身的数．求值．
4.已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，求的值．
考点十四 定义新运算
1.对于有理数a、b，定义一种新运算“”如下：，则_______．
2.定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=mn+mn-n，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：
（1）（-2）☆4；
（2）（-1）☆[（-5）☆2]．
3.已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b=2b-3a，例如：1※2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2※3）※5=__________．
4.规定一种新运算a*b=a-b2，则4*[5*（-2）]=__________．
考点十五 有理数的实际应用
1.某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东
行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上
到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，
+13，-4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
3.汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，
他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格
在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，
如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．
（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最
低，每升多少元？
（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶
的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？
4.2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每
天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，
减产为负，单位：个）．
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；
（2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？
（3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？
课程标准
1.掌握有理数定义及分类；
2.掌握相反数、数轴、绝对值的含义及其应用；
3.掌握有理数的加减乘除及其乘方运算；
4.掌握有理数在实际中的应用.
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．22.699938×108
B．22.7×1010
C．2.27×108
D．2.270×107
A．
B．
C．
D．
A．3
B．6
C．7
D．8
A．7
B．-3
C．±5
D．-3或7
A．3
B．6
C．3或9
D．2或10
A．-3
B．-3或5
C．-2
D．-2或4
A．
B．
C．
D．
A．2a
B．2a+2b-2c
C．0
D．-2c
A．2a-2b-2c
B．-2a
C．2a-2b
D．-2b
A．这两个加数都是负数
B．这两个加数只能一正一负
C．两个加数中，一个是负数，一个是0
D．两个加数中至少有一个是负数
A．两个加数之和一定大于每一个加数
B．两数之和一定小于每一个加数
C．两个数之和一定介于这两个数之间
D．以上皆有可能
A．0减任何数的差都是负数
B．减去一个正数，差一定大于被减数
C．减去一个正数，差一定小于被减数
D．两个数之差一定小于被减数
A．两个有理数相减，差一定小于被减数
B．两个负数的差一定小于0
C．两个负数相减，等于他们的绝对值相减
D．两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．a＞0，b＞0
B．a、b两数异号，且正数的绝对值大
C．a＜0，b＜0
D．a、b两数异号，且负数的绝对值大
A．同为正
B．同为负
C．a正b负
D．a负b正
A．a＞b，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a＜0，b＞0且|a|＜|b|
D．a＞0，b＜0且|a|＞|b|
A．若a＞0，b＜0，则
B．若a＞b，则a﹣b＞0
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0
D．若a＞b，a＜0，则
A．5
B．±5
C．1
D．±1
A．b<﹣aB．﹣aC．﹣aD．bA．-aB．a<-a<0<-bC．-bD．a<0<-aA．
B．
C．
D．
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
调整次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
价格变化
-0.30
+0.27
+0.27
-0.12
+0.18
-0.05
-0.10
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+150
-200
+300
-100
-50
+250
+150