浙江省杭州市西湖区弘益中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

这是一份浙江省杭州市西湖区弘益中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝﹣2x+1C．D．y＝x2+2
2．下列事件中，随机事件是（ ）
A．6﹣5＝1
B．打开电视机正在播报新闻
C．水中捞月
D．太阳从西边升起
3．二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
4．任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．1
5．二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（1，2），则a的值是（ ）
A．B．C．2D．4
6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠CAB＝35°，则∠D＝（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
7．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
8．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
9．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
10．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0），
①若a＞0，则该函数图象与x轴一定有两个交点，而且在原点两侧．
②无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点．则（ ）
A．①错误，②错误B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①正确，②正确
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为 ．
12．将抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是 ．
13．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
14．如图，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的B处得△A′B′C，若∠A＝35°，则∠BCB′＝ ．
15．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 米．
16．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，过点D作DG⊥BE交其延长线于点G，连接AG交BD于点F，∠DBG＝∠GDE．
（1）∠AFB等于 °；（2）若AG＝1，则AF的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．已知2a＝3b，求下列各式的值．
（1）； （2）．
18．圆圆和方方周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，她们可随机选择一个入口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）她们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为 ；
（2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入植物园的概率．
19．（1）如图1，BC为⊙O的弦，已知⊙O的半径是4，，求O到BC的距离；
（2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
任务1：如图2，BC为⊙O的弦，画一条与BC长度相等的弦；
任务2：如图3，正五边形ABCDE内接于圆，请作出一条直径；
请你选择其中一个任务，完成作图．
20．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）已知CD2＝AC•DB，求证：△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
21．如图，AB是圆O的直径．菱形AOCD交⊙O于点C，E，连结AC，BC．
（1）求证：弧CE＝弧CB；
（2）若AB＝25，BC＝15，求AC和AE的长．
22．在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，求t的取值范围；
（3）若A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）均在此二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，连接BD，延长AD，BC交点E．
（1）求证：△DCE∽△BAE；
（2）若∠BAC＝60°，，CE＝3，∠ABD＝α，用含α的代数式表示∠E，并求BC的长；
（3）在第二问的条件下，记△BDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求的值．
24．根据以下素材，探索完成任务．
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素材1
某广场的音乐喷泉形状如抛物线（图1），其出水口不变，抛物线的形状随音乐的节奏起伏变化而变化，出水口离岸边18米（图2）.

素材2
设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图3），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx．例如当k＝1时，直线y＝x，若抛物线最大高度达2米，则此时抛物线的顶点坐标为（2，2）.

素材3
若（x0，y0）是函数y＝kx图象上一点，则y0＝kx0，得.
任务一
若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3米，求此时抛物线的顶点坐标及a、b的值.
任务二
若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，求此时喷出的抛物线水线最大高度.
任务三
若，要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，求k的范围.