2024湖北省腾云联盟高三上学期12月联考数学试卷含答案

这是一份2024湖北省腾云联盟高三上学期12月联考数学试卷含答案，共9页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，椭圆C等内容，欢迎下载使用。
命题学校：红安一中命题教师：吴欢审题教师：高龙井
考试时间：2023年12月14日试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足，则
A．2B．4C．8D．16
2．下列函数是R上的单调递增函数且为奇函数的是
A．B．C．D．
3．已知，，则
A．B．C．D．
4．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为
A．B．C．D．
5．在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知为数列的前n项和，，下列说法正确的是
A．
B．
C．当数列的前n项积最大时，或者
D．数列的前n项和为
7．已知某正四棱锥P-ABCD高为h，底面ABCD边长为a，内切球半径为r，外接球半径为R，下列说法中不正确的是
A．得到a，h的值，可以确定唯一的RB．得到a，h的值，可以确定唯一的r
C．得到a，R的值，可以确定唯一的hD．得到a，r的值，可以确定唯一的h
8．椭圆C：（）的左右焦点分别为，，B为椭圆C的下顶点，延长交椭圆C于另一点A，若，则椭圆C的离心率为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是
A．B．
C．D．
10．已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线l满足，，，，则下列说法中正确的是
A．B．
C．若，则D．
11．已知数列满足，，下列说法中正确的是
A．B．，且，满足
C．（）D．记的前n项积为，则
12．函数的图象称为牛顿三叉戟曲线．若关于x的方程有3个实根，，，，且，则下列说法中正确的是
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数在点处的切线方程为 ．
14．2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛在杭州奥体中心体育馆打响，中国女篮战胜日本女篮，以6战全胜的战绩强势夺冠，第7次获得亚运会金牌。中国队6场比赛得分依次为101，101，111，104，100，74，则中国队6场比赛得分的第75百分位数是 ．
15．（），若存在，使得，则正实数的取值范围为 ．
16．MN是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点E为的中点，若空间内动点Р满足AP⊥CE，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在△ABC中，，，，AD为∠BAC的平分线．
（1）求△ABC的面积；
（2）求．
18．（12分）
如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的所有枝长均为2．
（1）设平面PAB与平面PCD的交线为l，证明：l∥平面QAB；
（2）求直线PA与平面QAB所成角的正弦值．
19．（12分）
甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得5分，负方得0分，平局各得2分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，甲学校在两个项目中平局的概率分别为0.1，0.2．各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
（2）用X表示甲学校两场比赛的总得分，求X的分布列与期望．
20．（12分）
记数列的前n项和为，满足，且．
（1）求的通项公式：
（2）记，求数列的前n项和．
21．（12分）
已知．
（1）若恒成立，求实数a的取值范同：
（2）设表示不超过x的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）
22．（12分）
已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
（1）求抛物线C的方程：
（2）当△OMN面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
数学参考答案
一、单选题
1．A2．B3．C4．A5．D6．D7．C8．B
二、多选题
9．BCD10．AC11．AD12．AD
三、填空题
13．14．10415．16．
选填题部分解析：
11．由可得，若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾．故，又，所以A正确．
由可得，因为，若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾．故，又，所以恒成立．则，是递减数列，所以B错．
代入中可知C不成立（或者取验证可知C不成立），所以C错．
由，，利用累乘法可得：
，因为，所以，则．所以D正确．
另解：由，左右两边同时取对数，，令，利用待定系数法可以求得，代入，则．可依据的通项公式来判断B、C均错．
12．，则在和单调递减，单调递增，因为，由函数图象可知时符合题意，故A正确．
由图可知，则，
，因为在上单调递增，由可得，故B错．
由可得，由图象可知，即，解得，故C错．
由，令，则（），构造（），通过求导可知．故D正确．
四、解答题
17．
（1）在△ABC中用余弦定理，，，所以．
（2）因为，解得，
因为AD为∠BAC的平分线，在△ABD和△ADC中分别用正弦定理可得①，②，①÷②可得（角平分线的性质不证明不扣分），又，所以．
在△ADC中用正弦定理，，解得．
18．解：
（1）由正四棱锥P-ABCD可知AB∥CD，面PCD，所以AB∥面PCD，由线面平行的性质定理，面PAB与面PCD的交线l∥AB．又因为面QAB且平面QAB，由线面平行的判定定理，l∥面QAB．
（2）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．由正四棱锥的性质，PQ⊥平面ABCD，取ABCD中心为O，故可以分别以直线OA、OB、OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设条件，相关各点的坐标分别是，，，，
所以，，，
设平面QAB的法向量为，由，取．
设PA与平面QAB所成角为，则．
所以PA与平面QAB所成角的正弦值为．
19．
（1）甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜．
则甲获胜的概率为．
（2）X所有可能取值为0，2，4，5，7，10．
，，，
，，
．
20．
（1）因为，用代替n可得（），
两式相减：，整理得：（），
即（），则（），
解得（），因为，所以，也满足上式，
故对于任意的，．（通过不完全归纳法猜出通项的只得3分）
（2），当时，，当时，．
记前n项和为，当时，，化简得，
当时，．
综上所述，．
21．
（1），令得，当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，因为恒成立，
所以，即，解得．
（2），则，
因为，当时，
由（1）知在单调递增，成立，
此时且时，不等式中等号不成立）；
当时，由（1）知在单调递减，，不符合题意，此时；
当时，易知有解；
因为的解集为，则，所以，即．
22．
（1）因为准线方程为，所以，解得，抛物线C的方程为．
（2）设，，对求导可得MP：，NP：，
因为两切线均经过，
所以，，均在直线上，可知MN：，则MN与y轴的交点坐标为．
联立整理得，
由韦达定理，，，则，
又因为在圆，则，
代入可得，，．
构造，，，易知在上恒成立，故在上单调递增，
当时，取得最小值，此时取到最大值，点P的坐标为．
P
0
2
4
5
7
10
X
0.1
0.12
0.02
0.38
0.14
0.24