北京市海淀区2023年九年级上学期数学期末试卷附答案

这是一份北京市海淀区2023年九年级上学期数学期末试卷附答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A．点在外B．点在内
C．点在上D．无法确定
5．若点，在抛物线上，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
6．勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
8．遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．二次函数的图象与轴的交点坐标为 ．
10．半径为3且圆心角为的扇形的面积为 .
11．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 ．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．二次函数的图象如图所示，则ab 0（填“”，“”或“”）．
14．如图，是的内接三角形，于点，若的半径为，，则 ．
15．对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围 ．
16．如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，
①该圆的半径为2； ②的长为；
③平分； ④连接，，则与的面积比为．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
19．已知为方程的一个根，求代数式的值．
20．如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．
21．为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．
（1）小明抽到甲训练场的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．
22．已知：如图，是的切线，为切点．
求作：的另一条切线，为切点．
作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；
作直线．
直线即为所求．
（1）根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．
证明：连接，，．
∵是的切线，为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（ ）（填推理的依据）．
23．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1。当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
24．如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点．
（1）求证：平分；
（2）连接，若，，求的长．
25．学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
（1）请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；
（2）“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出的值；若不能实现，请说明理由．
26．在平面直角坐标系中，抛物线过点．
（1）求（用含的式子表示）；
（2）抛物线过点，，．
①判断： ▲ 0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若，，恰有两个点在轴上方，求的取值范围．
27．如图，在中，，．是边上一点，交的延长线于点．
（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）连接，延长至，使．连接，，．
①依题意补全图形；
②判断的形状，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．
（1）已知，，
①在点，，中，线段的融合点是 ▲ ；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
（2）已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
1．B
2．C
3．D
4．A
5．B
6．C
7．B
8．B
9．（0，3）
10．3π
11．0.51（答案不唯一）
12．
13．＜
14．1
15．x＞2（答案不唯一，满足即可）
16．①③④
17．解：，
，
∴，
∴，
18．解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
19．解：∵为方程的一个根，
∴．
∴．
∴原式=．
20．解：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴．
21．（1）
（2）解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等．
小明和小天抽到同一场地训练（记为事件）的结果有3种，
所以，．
22．（1）解：补全图形，如图所示：
（2）解：连接，，．
∵是的切线，A为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
23．解：如图，连接．
∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
24．（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分
（2）解：连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
25．（1）解：如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为轴，建立平面直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为．
∵抛物线过点，
∴
∴
∴这条抛物线表示的二次函数为．
（2）解：能实现；．
由“技”与“之”的水平距离为米，设“技”，“之”，
则 “科”，
“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，
，
解得：或(舍去)
26．（1）解：把代入，得
，
∴；
（2）解：①＜；②由（1）知，
∴
∴抛物线对称轴为．
∵抛物线过点，，，
∴，，．
当时，抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最小值．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最大值，且．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
综上，的取值范围是或．
27．（1）解：线段与的数量关系：．
证明： ，
．
，
；
（2）解：①补全图形，如图．
②结论：是等边三角形．
证明：延长至点使，连接，，如图．
，
．
，
是等边三角形．
，．
，，
，．
．
．
，
，
．
，
（）
，．
．
是等边三角形．
28．（1）解：①，；②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q，
∵点Q在线段的垂直平分线上，
∴，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上，
∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域．
当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示．
∵，，
∴，
∴或．
∴当时，直线上存在线段的融合点．
（2）解：或投篮次数
50
100
150
200
300
400
500
投中次数
28
49
78
102
153
208
255
投中频率
0.56
0.49
0.52
0.51
0.51
0.52
0.51
…
-1
0
1
2
3
…
…
-3
1
3
3
1
…