北京市门头沟区2023年九年级上学期期末数学试卷附答案

这是一份北京市门头沟区2023年九年级上学期期末数学试卷附答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．一元二次方程的近似解为，
8．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）
A．圆的面积y与它的半径x；
B．正方形的周长y与它的边长x；
C．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
D．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；
二、填空题
9．如果，那么锐角 度．
10．如果一个扇形的圆心角为，半径为2，那么该扇形的面积为 （结果保留π）．
11．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，那么与的大小关系是 （填“”，“”或“”）时．
12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么的面积与的面积的比是 ．
13．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是 ．
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸．
15．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米．
16．如图1，在等边中，D是中点，点P为边上一动点，设，，如果y与x的函数关系的图象如图2所示，那么 ．
17．如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．
三、解答题
18．计算：．
19．下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，．
求作：等边，使得等边内接于．
作法：
①如图2，作半径；
②以M为圆心，长为半径作弧，交于点A，B，连接；
③以B为圆心，长为半径作弧，交于点C；
④连接，．
∴就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，，，．
由作图可知，
∴，是等边三角形．
∴ ▲ ．
∴．
∵，
∴．（ ）（填推理的依据）
∵，
∴是等边三角形．
20．已知二次函数
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
21．如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围．
23．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为，定都阁底端B的俯角β为，此时无人机到地面的垂直距离为米，求定都阁的高．（结果保留根号）
24．某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
25．如图，在等腰中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长．
26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
27．如图，在中，，点D在上，连接，在直线右侧作，且，连接交于点F．
（1）如图1，当时，
①依题意补全图1，猜想与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，的数量关系，并证明．
（2）如图2，当时，直接用含m的等式表示线段，的数量关系．
28．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点．
（1）在，，中，点M的等积点是 ；
（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
（3）已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
1．B
2．A
3．D
4．C
5．B
6．D
7．A
8．C
9．45
10．π
11．＞
12．
13．（答案不唯一）
14．450
15．10
16．4
17．∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析
18．解：
19．（1）解：如图所示，
（2）证明：连接，，，．
由作图可知，
∴，是等边三角形．
∴．
∴．
∵，
∴．（ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
∵，
∴是等边三角形．
20．（1）解：，
故此二次函数图象的顶点坐标为
（2）解：令，则，
解得，，
故此二次函数图象与x轴的交点坐标为与
（3）解：
21．（1）证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
22．（1）解：对于，当时，，
∴一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：k的取值范围是
23．解：如图所示，过点A作于点D，则，，
由题意得，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∵， ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即为米．
24．（1）解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）3.2
（3）解：设二次函数表达式为将，，代入得：
，
解得：
∴二次函数表达式为
（4）1或9
25．（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵等腰中，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
26．（1）解：，
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵，
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为，
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，，，
∴解得，
∴．
27．（1）解：①根据题意补全图形，如图所示：
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
过点E作于点G，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：
28．（1）、
（2）解：设点M的等积点为，则，
即，
∴点M的等积点一定在直线，
又∵点M的等积点N在双曲线上，
∴联立，
解得：，，
点N的坐标为或．
（3）解：水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…