新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点4平面向量小题突破（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点4平面向量小题突破（附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－1
2．[2022·全国乙卷]向量eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))＝eq \r(2)，且a＋b＋c＝0，则cs〈a－c，b－c〉＝( )
A．－eq \f(1,5)B．－eq \f(2,5)C．eq \f(2,5)D．eq \f(4,5)
3．[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n
4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6B．－5C．5D．6
5．[2023·安徽淮北模拟]已知向量a，b满足a·b＝10且b＝(3，－4)，则a在b上的投影向量为( )
A．(－6，8) B．(6，－8) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(8,5)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5)))
6．[2023·安徽马鞍山模拟]已知向量a＝(－1，1)，b＝(2，x)，若a∥b，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝( )
A．3eq \r(2)B．3C．2eq \r(2)D．2
7．[2023·河北唐山模拟]正方形ABCD边长为4，M为CD中点，点N在AD上，eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(BN,\s\up6(→))＝20，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BN,\s\up6(→))))＝( )
A．eq \r(5)B．2eq \r(5)C．5D．10
8．[2023·山东潍坊模拟]在△ABC中，BD＝eq \f(1,3)BC，点E是AD的中点，记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)bB．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,6)bC．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)bD．eq \f(2,3)a－eq \f(1,6)b
二、多项选择题
9．[2023·山东省实验中学模拟]下列说法正确的是( )
A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B．非零向量a和b，满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))
12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P1(csα，sinα)，P2(csβ，－sinβ)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．|OP1|＝|OP2|B．|AP1|＝|AP2|
C．eq \(OA,\s\up6(→))·OP3＝OP1·OP2D.eq \(OA,\s\up6(→))·OP1＝OP2·OP3
[答题区]
三、填空题
13．[2023·江西九江模拟]Rt△ABC中，A＝90°，AB＝2，D为BC的中点，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝________．
14．[2023·河南新乡模拟]已知向量a＝(t－5，3)，b＝(2，－3)，且(a－b)⊥b，则t＝________．
15．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
16．[2023·辽宁沈阳模拟]已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，若a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________.
命题点4 平面向量(小题突破)
1．解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
答案：D
2．解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.
如图，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
由题知，OA＝OB＝1，OC＝eq \r(2)，△OAB是等腰直角三角形，
AB边上的高OD＝eq \f(\r(2),2)，AD＝eq \f(\r(2),2)，
所以CD＝CO＋OD＝eq \r(2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3\r(2),2)，
tan∠ACD＝eq \f(AD,CD)＝eq \f(1,3)，cs∠ACD＝eq \f(3,\r(10))，
cs〈a－c，b－c〉＝cs∠ACB＝cs2∠ACD＝2cs2∠ACD－1
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(10))))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(4,5).故选D.
答案：D
3．解析：因为BD＝2DA，所以eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－2eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
答案：B
4．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4).由题意，得cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，即eq \f(9＋3t＋16,|c|·5)＝eq \f(3＋t,|c|·1)，解得t＝5.故选C.
答案：C
5．解析：因为向量b＝(3，－4)，且a·b＝10，那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq \r(32＋（－4）2)＝5，
所以向量a在向量b上的投影向量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))cs〈a，b〉·eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))·eq \f(（3，－4）,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5)))．故选D.
答案：D
6．解析：∵a∥b，∴－x＝1×2，x＝－2，a－b＝(－3，3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝eq \r(（－3）2＋32)＝3eq \r(2).故选A.
答案：A
7．解析：设eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))，
因为eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))，
因为正方形ABCD边长为4，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(BN,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)))·(eq \(BA,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→)))＝16λ＋8＝20，解得λ＝eq \f(3,4)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BN,\s\up6(→))))＝eq \r(16＋9)＝5.故选C.
答案：C
8．解析：
由题设eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)[eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))]＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,6)b.故选B.
答案：B
9．解析：对于A：根据数量积的运算律可知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故A正确；
对于B：向量不可以比较大小，故B错误；
对于C：非零向量a和b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))，则(a＋b)2＝(a－b)2，
即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，则a⊥b，故C正确；
对于D：因为a＝(2，eq \r(3))，b＝(1，eq \r(3))，所以a·b＝1×2＋eq \r(3)×eq \r(3)＝5，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq \r(12＋（\r(3)）2)＝2，
所以a在b上的投影向量为eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))×eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝eq \f(5,2)×eq \f(1,2)(1，eq \r(3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(5\r(3),4)))，故D错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：对于A，因为O为AD中点，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，故A正确；
对于B，由O为AD中点，则eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，故B正确；
对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(EO,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝－eq \(OE,\s\up6(→))，故C错误；
对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得eq \(OD,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，
故eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))2＝－8，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：由题意可得：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(EM,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(NF,\s\up6(→))))＝1.
对于A：可得eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PE,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \(PE,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(PE,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)(eq \(PF,\s\up6(→))－eq \(PE,\s\up6(→)))＝eq \f(7,8)eq \(PE,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(PF,\s\up6(→))，故A错误；
对于B：∵eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \(NF,\s\up6(→))，可得eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \(PF,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))，
整理得：eq \(PE,\s\up6(→))＋eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))，故B正确；
对于C：由题意可得：0°eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))，故C正确；
对于D：∵eq \(PF,\s\up6(→))－eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，但向量不能比较大小，故D错误．故选BC.
答案：BC
12．解析：A：eq \(OP1,\s\up6(→))＝(csα，sinα)，eq \(OP2,\s\up6(→))＝(csβ，－sinβ)，所以|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝eq \r(cs2α＋sin2α)＝1，
|eq \(OP2,\s\up6(→))|＝eq \r(（csβ）2＋（－sinβ）2)＝1，故|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(→))|，正确；
B：eq \(AP1,\s\up6(→))＝(csα－1，sinα)，eq \(AP2,\s\up6(→))＝(csβ－1，－sinβ)，
所以|eq \(AP1,\s\up6(→))|＝eq \r(（csα－1）2＋sin2α)＝eq \r(cs2α－2csα＋1＋sin2α)＝eq \r(2（1－csα）)＝eq \r(4sin2\f(α,2))＝2|sineq \f(α,2)|，
同理|eq \(AP2,\s\up6(→))|＝eq \r(（csβ－1）2＋sin2β)＝2|sineq \f(β,2)|，故|eq \(AP1,\s\up6(→))|，|eq \(AP2,\s\up6(→))|不一定相等，错误；
C：由题意得：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝1×cs (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝cs (α＋β)，eq \(OP1,\s\up6(→))·eq \(OP2,\s\up6(→))＝csα·csβ＋sinα·(－sinβ)＝cs (α＋β)，正确；
D：由题意得：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))＝1×csα＋0×sinα＝csα，eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝csβ×cs (α＋β)＋(－sinβ)×sin (α＋β)＝cs [β＋(α＋β)]＝cs (α＋2β)，故一般来说eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))≠eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))，错误．故选AC.
答案：AC
13．解析：如图，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs∠DAB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝2.
答案：2
14．解析：因为a－b＝(t－7，6)，(a－b)⊥b，
所以2(t－7)－3×6＝0，解得t＝16.
答案：16
15．解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(9,2).
答案：－eq \f(9,2)
16．解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，
由a·b>0，可得a·b＝1×x＋2×4＝x＋8>0，解得x>－8，
设a＝λb，可得(1，2)＝λ(x，4)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(λx＝1,4λ＝2)))，解得x＝2，此时向量a与b共线，
所以当a与b的夹角是锐角时，则满足－8