新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点11数列的递推小题突破（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点11数列的递推小题突破（附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·湖南长沙模拟]若数列{an}中，a1＝eq \f(3,5)，a2＝eq \f(1,4)，且anan＋2＝an＋1(n∈N*)，记数列{an}的前n项积为∏n，则eq \f(∏2023,a2022)的值为( )
A．1B．eq \f(3,5)C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,4)
2．[2023·河南许昌模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2(n∈N*)，则a6＝( )
A．243B．244C．486D．488
3．已知数列{an}满足eq \f(an＋1＋an,an＋1－an)＝2n，a1＝1，则a2023＝( )
A．2023B．2024C．4045D．4047
4．[2023·山东潍坊模拟]数列1，3，2，…中，an＋2＝an＋1－an，则a2023＋a2024＝( )
A．6B．5C．4D．3
5．[2023·河南郑州模拟]已知数列{an}各项均为正数，a1＝3，且有an＋1＝3－eq \f(2,an)，则an＝( )
A．eq \f(1,2n－1)B．eq \f(3,2n－1)C．4－eq \f(1,2n－1)D．eq \f(1,2n－1)＋2
6．[2023·吉林模拟]大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为( )
A．22B．24C．25D．26
7．[2023·河北石家庄模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，a2＝－1，(Sn＋1－Sn)(1＋Sn－1－Sn)＝1(n≥2，n∈N*)，则S2022＝( )
A．eq \f(1,2)B．2C．1011D．2022
8．[2023·安徽淮南模拟]斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则数列{bn}的前2023项的和为( )
A．2023B．2024C．2696D．2697
二、多项选择题
9．[2023·广东广州5月联考]已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2(n≥2，n∈N*)，Sn为其前n项和，则( )
A．a4－a2＝7B．a10＝55C．S5＝35D．a8＋a4＝28
10．[2023·重庆模拟]对于数列{an}，若a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A．a4＝3B．数列{an}是等差数列
C．数列{a2n－1}是等差数列D．a2n＝2n－1
11．[2023·江苏盐城模拟]已知数列{an}对任意的整数n≥3，都有n2an－2an＋2＝(n2－4)a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，则下列说法中正确的有( )
A．若a2＝2，a4＝2，则a6＝2B．若a1＝1，a3＝3，则a2n＋1＝2n＋1(n∈N)
C．数列{an}可以是等差数列D．数列{an}可以是等比数列
12．[2023·江苏宿迁模拟]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1>0，a2＝eq \f(2,21)，3an＋1＝2SnSn＋1，则( )
A．a1＝eq \f(1,3)B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是公差为eq \f(2,3)的等差数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))的前5项和最大D．an＝eq \f(6,（2n－11）（2n－13）)
[答题区]
三、填空题
13．[2023·广东佛山模拟]数列{an}满足an＋1>an，a2n＝2an＋1，写出一个符合上述条件的数列{an}的通项公式________．
14．[2023·安徽马鞍山模拟]设数列{an}满足a1＝1，a2＝eq \f(3,2)，且n2a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝(n2－1)an＋1an－1(n∈N*，n≥2)，则a6＝________．
15．[2023·河北邯郸模拟]已知数列{an}满足：对任意n≥2，均有an＋1＝an－an－1＋n.若a1＝a2＝2，则a2023＝________．
16．[2023·安徽淮南模拟]记Sn为数列{an}的前n项和．已知eq \f(3Sn,n)＋n＝3an＋1，a1＝－eq \f(1,3)，则数列{an}的通项公式是________．
命题点11 数列的递推(小题突破)
1．解析：由题意，得a3＝eq \f(5,12)，a4＝eq \f(5,3)，a5＝4，a6＝eq \f(12,5)，a7＝eq \f(3,5)，a8＝eq \f(1,4)，
发现数列{an}是以6为周期的数列，且前6项积为1，则∏2023＝eq \f(3,5)，a2022＝eq \f(12,5)，
所以原式的值为eq \f(1,4).故选D.
答案：D
2．解析：由2Sn＝3an－2，①
所以2Sn＋1＝3an＋1－2，②
②－①：2an＋1＝3an＋1－3an，
所以an＋1＝3an⇒eq \f(an＋1,an)＝3，
当n＝1时，2S1＝3a1－2，
所以a1＝2，
所以数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝3的等比数列，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)，
所以a6＝2×36－1＝2×35＝486.故选C.
答案：C
3．解析：∵eq \f(an＋1＋an,an＋1－an)＝2n，
∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，
即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，
可得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n＋1,2n－1)，
∴a2023＝eq \f(a2023,a2022)×eq \f(a2022,a2021)×eq \f(a2021,a2020)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1
＝eq \f(4045,4043)×eq \f(4043,4041)×eq \f(4041,4039)×…×eq \f(5,3)×eq \f(3,1)×1＝4045.故选C.
答案：C
4．解析：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an，
所以an＋6＝－an＋3＝an(n∈N*)，所以数列{an}的周期为6，
因为2023＝6×337＋1，2024＝6×337＋2，
所以a2023＝a1＝1，a2024＝a2＝3，
所以a2023＋a2024＝4.故选C.
答案：C
5．解析：an＋1＝3－eq \f(2,an)，an＋1－2＝1－eq \f(2,an)＝eq \f(an－2,an)，
显然若an－2＝0，则an＋1－2＝0，则∀n∈N*，an＝2，与题意矛盾，
所以∀n∈N*，an－2≠0，两边同时取倒数，得：eq \f(1,an＋1－2)＝eq \f(an,an－2)＝1＋eq \f(2,an－2)，
设bn＝eq \f(1,an－2)，b1＝1，bn＋1＝1＋2bn，bn＋1＋1＝2(bn＋1)，
因为b1＋1＝2≠0，故bn＋1≠0，故eq \f(bn＋1＋1,bn＋1)＝2，所以{bn＋1}为等比数列，
所以bn＋1＝2×2n－1＝2n，故bn＝2n－1，所以eq \f(1,an－2)＝2n－1，
故an＝eq \f(1,2n－1)＋2.故选D.
答案：D
6．解析：设该数列为{an}，
当n为奇数时，a1＝eq \f(12－1,2)＝0，a3＝eq \f(32－1,2)＝4，a5＝eq \f(52－1,2)＝12，a7＝eq \f(72－1,2)＝24，…
所以an＝eq \f(n2－1,2)，n为奇数；
当n为偶数时，a2＝eq \f(22,2)＝2，a4＝eq \f(24,2)＝8，a6＝eq \f(62,2)＝18，a8＝eq \f(82,2)＝32，…
所以an＝eq \f(n2,2)，n为偶数；
所以a25－a24＝eq \f(252－1,2)－eq \f(242,2)＝24.故选B.
答案：B
7．解析：∵数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，a2＝－1，(Sn＋1－Sn)(1＋Sn－1－Sn)＝1(n≥2，n∈N*)，
∴an＋1·(1－an)＝1，即an＋1＝eq \f(1,1－an)，
∴a3＝eq \f(1,1－a2)＝eq \f(1,1－（－1）)＝eq \f(1,2)，
a4＝eq \f(1,1－a3)＝eq \f(1,1－\f(1,2))＝2，
a5＝eq \f(1,1－a4)＝eq \f(1,1－2)＝－1，
…
可得数列{an}是周期为3的数列，且前三项为：2，－1，eq \f(1,2)，
则S2022＝674×(a1＋a2＋a3)＝674×(2－1＋eq \f(1,2))＝1011.故选C.
答案：C
8．解析：因为an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，
所以数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，
此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，是以6为周期的周期数列，
所以数列{bn}的前2023项的和S2023＝eq \f(2022,6)(1＋1＋2＋3＋1＋0)＋b1＋337×6＝2697.故选D.
答案：D
9．解析：因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，
所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，
a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，
累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，
所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，
因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46.故选ABC.
答案：ABC
10．解析：由an＋an＋1＝2n(n∈N*)，a1＝1，
得a2＝2－a1＝1，a3＝4－a2＝3，
a4＝6－a3＝3，所以A选项正确；
∵2a2≠a1＋a3，
∴数列{an}不是等差数列，故B选项错误；
又an＋an＋1＝2n，an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，
两式相减得an＋2－an＝2，
令n＝2n－1，可得a2n＋1－a2n－1＝2，
{a2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故C正确；
同理，令n＝2n，则a2n＋2－a2n＝2，
所以{a2n}是以a2＝1为首项，公差为2的等差数列，
所以a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：若a2＝2，a4＝2，
当n＝4时，16a2a6＝12a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ，
解得a6＝eq \f(3,2)，故A错；
若a1＝1，a3＝3，
当n＝3时，9a1a5＝5a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ，
解得a5＝5，
当n＝5时，25a3a7＝21a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ，
解得a7＝7，
…，
根据递推关系可知，
当n为奇数，即n＝2n＋1时，
a2n＋1＝2n＋1(n∈N)，故B正确；
若an＝n，
则n2(n－2)(n＋2)＝(n2－4)n2成立，
故数列{an}可以是等差数列，即C正确；
若数列{an}是等比数列，假设公比为q，
则由n2an－2an＋2＝(n2－4)a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，
得(n＋1)2an－1an＋3＝[(n＋1)2－4]a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ，
两式相除得，eq \f(（n＋1）2,n2)×eq \f(an－1,an－2)×eq \f(an＋3,an＋2)＝eq \f(（n＋1）2－4,n2－4)×eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ,a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) )，
即eq \f(（n＋1）2,n2)q2＝eq \f(（n＋1）2－4,n2－4)q2，
解得n＝－eq \f(1,2)，不符合题意，
则假设不成立，故D错．故选BC.
答案：BC
12．解析：∵a1>0，a2＝eq \f(2,21)，3an＋1＝2SnSn＋1，
∴3a2＝2a1(a1＋a2)，∴a1＝eq \f(1,3)或a1＝－eq \f(3,7)(舍)，故选项A正确；
又3an＋1＝2SnSn＋1，∴3(Sn＋1－Sn)＝2SnSn＋1，∴eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－eq \f(2,3)，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是公差为－eq \f(2,3)的等差数列，故选项B错误；
由eq \f(1,S1)＝eq \f(1,a1)＝3得eq \f(1,Sn)＝eq \f(1,S1)＋(n－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝3－eq \f(2（n－1）,3)＝eq \f(11－2n,3)，
∴eq \f(1,S5)>0，eq \f(1,S6)0，满足an＋1>an，
∴满足条件的数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的一个通项公式为：an＝n－1.
答案：an＝n－1(答案不唯一)
14．解析：因为n2a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝(n2－1)an＋1an－1(n∈N*，n≥2)，则(nan)2＝[(n＋1)an＋1][(n－1)an－1](n≥2)，
且1×a1＝1，2a2＝3，可得eq \f(2a2,1×a1)＝3，
所以数列{nan}是首项为1，公比为3的等比数列，
则nan＝1×3n－1，即an＝eq \f(3n－1,n)，
可得a6＝eq \f(35,6)＝eq \f(81,2).
答案：eq \f(81,2)
15．解析：由题意得an＋3＝an＋2－an＋1＋n＋2＝(an＋1－an＋n＋1)－an＋1＋n＋2＝2n＋3－an，
所以an＋6＝2(n＋3)＋3－an＋3＝2n＋9－(2n＋3－an)＝an＋6，
所以数列{an}是以6为周期的周期数列，
所以a2023＝a1＋337×6＝2＋2022＝2024.
答案：2024
16．解析：由题意得3Sn＋n2＝3nan＋n ①，
当n≥2时，3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)an－1＋(n－1) ②
①－②化简得3(an－an－1)－3n(an－an－1)＝－2n＋2，
即(3－3n)(an－an－1)＝－2n＋2，
则an－an－1＝eq \f(－2n＋2,3－3n)＝eq \f(2,3)，(n≥2)
则数列{an}是以－eq \f(1,3)为首项，公差为eq \f(2,3)的等差数列，
则an＝－eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)(n－1)＝eq \f(2,3)n－1.
答案：an＝eq \f(2,3)n－1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案