新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点33利用导数研究不等式大题突破（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点33利用导数研究不等式大题突破（附解析），共7页。试卷主要包含了[2023·新课标Ⅱ卷]证明等内容，欢迎下载使用。
(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；
(2)当x≥a＋1时，f(x)≥x－1恒成立，求实数a的取值范围．
解：
2．[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋eq \f(3,2).
解：
3．[2020·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
解：
4．[2023·河北衡水模拟]已知函数f(x)＝ex－eq \f(e,2)x2－ax(a∈R).
(1)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围；
(2)若当a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))时，f(x)有两个极值点m，n，证明：eq \f(f（m）－f（n）,m－n)0时，f(x)ln (n＋1).
解：
6．[2023·新课标Ⅱ卷](1)证明：当00，得x>－lna，令f′(x)0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，
令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－eq \f(3,2)＝a2－lna－eq \f(1,2)，a∈(0，＋∞)，
所以g′(a)＝2a－eq \f(1,a)，令g′(a)>0，得a>eq \f(\r(2),2)；令g′(a)2lna＋eq \f(3,2)成立．
方法二 当a>0时，由(1)得，f(x)min＝f(－lna)＝1＋a2＋lna，
故欲证f(x)>2lna＋eq \f(3,2)成立，
只需证1＋a2＋lna>2lna＋eq \f(3,2)，
即证a2－eq \f(1,2)>lna.
构造函数u(a)＝lna－(a－1)(a>0)，
则u′(a)＝eq \f(1,a)－1＝eq \f(1－a,a)，所以当a>1时，u′(a)0，
因为a2－a＋eq \f(1,2)＝(a－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,4)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna＋eq \f(3,2)成立．
3．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－eq \f(1,x).
(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为eq \f(－2,e－1)，2.
所以S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2,e－1)))×2＝eq \f(2,e－1)，
因此所求三角形的面积为eq \f(2,e－1).
(2)当00，当x