新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点26抛物线小题突破（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点26抛物线小题突破（附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p＝( )
A．1B．2C．2eq \r(2)D．4
2.[2023·北京卷]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7B．6C．5D．4
3．[2023·安徽滁州模拟]已知P(m，2)为抛物线C：y2＝－2px(p>0)上一点，点P到C的焦点的距离为2，则C的焦点坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))C．(－1，0) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))
4．[2023·山西临汾模拟]抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则C的方程为( )
A．x2＝6yB．x2＝12yC．x2＝18yD．x2＝36y
5．[2023·河北石家庄模拟]截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)，是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1).观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( )
A．1B．2C．4D．8
6．[2023·山西晋中模拟]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若|NF|＝|MN|，则|MF|＝( )
A．eq \f(\r(3),3)B．1C．eq \f(4\r(3),3)D．4
7．[2023·湖北武汉模拟]设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A．3B．6C．9D．12
8．[2023·河北沧州模拟]设P为抛物线C：y2＝4x上的动点，A(2，4)关于P的对称点为B，记P到直线x＝－1，x＝－3的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＋|AB|的最小值为( )
A．2eq \r(17)＋2B．2eq \r(13)＋2
C．eq \r(17)＋2D．eq \r(13)＋eq \r(17)＋2
二、多项选择题
9．[2023·海南海口模拟]设F(0, eq \r(2p))为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且|AF|＝9，则( )
A．p＝8B．F(0，4)
C．直线AF的斜率为eq \f(\r(5),20)D．△AOF的面积为8eq \r(5)
10．[2023·广东惠州模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线C于A，B两点，其中A在第一象限，若|AF|＝3，则( )
A．p＝1B．|BF|＝eq \f(3,2)
C．以AF为直径的圆与y轴相切D．eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－3
11．[2022·新高考Ⅱ卷]已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|＝|AM|.则( )
A．直线AB的斜率为2eq \r(6)B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|D．∠OAM＋∠OBM0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2D．|BP|·|BQ|>|BA|2
[答题区]
三、填空题
13．[2023·全国乙卷]已知点A(1，eq \r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
14．[2020·新高考Ⅰ卷]斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
15．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
16．[2023·河北唐山模拟]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为eq \r(3)的直线l与C交于A，B两点，则△AOB的面积为________．
命题点26 抛物线(小题突破)
1．解析：抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)，
解得：p＝2(p＝－6舍去).故选B.
答案：B
2．解析：因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，
所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，
又M到直线x＝－3的距离为5，
所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
答案：D
3．解析：由题意可知，4＝－2pm，所以m＝－eq \f(2,p)；
又知抛物线C的准线方程为x＝eq \f(p,2)，
根据抛物线的定义可知，eq \f(p,2)－m＝eq \f(p,2)＋eq \f(2,p)＝2，整理得p2－4p＋4＝0，解得p＝2，
所以C的焦点坐标为(－1，0)，故选C.
答案：C
4．解析：由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py，(p>0)，
设抛物线的焦点为(0，eq \f(p,2))，则准线为y＝－eq \f(p,2)，
所以eq \f(\f(p,2)＋（－9）,2)＝－eq \f(p,2)，解得p＝6，所以方程为x2＝12y，故选B.
答案：B
5．解析：
如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，
则设抛物线的方程为x2＝2py，p>0，
由题可得抛物线上一点A(2，1)，代入抛物线方程可得22＝2p×1，所以p＝2，
即抛物线方程为x2＝4y，则抛物线的焦点坐标为(0，1)，故顶点到焦点的距离为1.故选A.
答案：A
6．解析：
由题可知，p＝2，抛物线焦点F为(1，0)，准线l为x＝－1，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，
由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MN))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))，
因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MN))，所以△MNF是正三角形，则在Rt△NEF中，因为MN∥EF，
所以∠EFN＝∠MNF＝60°，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(EF))＝2p＝4.故选D.
答案：D
7．解析：
设准线l与x轴的交点为H，依题意∠QFH＝eq \f(π,3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(HF))＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QH))＝3eq \r(3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QF))＝6，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QP))，∠PQF＝eq \f(π,3)，则△PQF为等边三角形，有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＝6.故选B.
答案：B
8．解析：如图，
因为d2＝d1＋2，且A(2，4)关于P的对称点为B，所以|PA|＝|PB|，抛物线焦点F(1，0)，
所以d1＋d2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2d1＋2＋2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＝2(d1＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA)))＋2＝2(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA)))＋2≥2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋2＝2eq \r(17)＋2.
当P在线段AF上时，d1＋d1＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))取得最小值，且最小值为2eq \r(17)＋2.故选A.
答案：A
9．解析：
由题意得eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，又p>0，故解得p＝8，所以抛物线C的方程为x2＝16y，焦点F(0，4)，故A，B正确；由抛物线定义及eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＝yA＋eq \f(p,2)＝yA＋4＝9，所以yA＝5代入抛物线方程可得xA＝±4eq \r(5)得A(±4eq \r(5)，5)，所以kAF＝eq \f(4－5,0±4\r(5))＝±eq \f(\r(5),20)，故C不正确；则△AOF的面积S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xA))＝8eq \r(5)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：设F(eq \f(p,2)，0)，则过F的直线斜率为2eq \r(2)的方程为：y＝2eq \r(2)(x－eq \f(p,2))，
代入抛物线方程消去y可得：4x2－5px＋p2＝0，
解得x1＝p，x2＝eq \f(p,4)，因为点A在第一象限，所以xA＝p，xB＝eq \f(p,4)，
则|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝eq \f(3p,2)＝3，所以p＝2，A错误，
|BF|＝xB＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3p,4)＝eq \f(3,2)，B正确，
由p＝2可得抛物线的方程为：y2＝4x，且A(2，2eq \r(2))，B(eq \f(1,2)，－eq \r(2))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，2eq \r(2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2)))＝1－4＝－3，D正确，
AF的中点横坐标为eq \f(3,2)，以AF为直径的圆的半径为eq \f(3,2)，
所以圆心到y轴的距离等于半径，则以AF为直径的圆与y轴相切，C正确．故选BCD.
答案：BCD
11．解析：由|AF|＝|AM|，可知xA＝eq \f(xF＋xM,2)＝eq \f(3,4)p.代入y2＝2px，得yA＝eq \f(\r(6),2)p(负值已舍去).kAB＝eq \f(yA,xA－\f(p,2))＝2eq \r(6)，直线AB的方程为y＝2eq \r(6)x－eq \r(6)p.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(6)x－\r(6)p，,y2＝2px，))得24x2－26px＋6p2＝0，则xAxB＝eq \f(p2,4)，得xB＝eq \f(p,3)，则yB＝－eq \f(\r(6),3)p.故A(eq \f(3,4)p，eq \f(\r(6),2)p)，B(eq \f(p,3)，－eq \f(\r(6),3)p)，F(eq \f(p,2)，0)，M(p，0).选项A，kAF＝eq \f(\f(\r(6),2)p,\f(3,4)p－\f(p,2))＝2eq \r(6)＝kAB，故正确．选项B，|OB|＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) )＝eq \f(\r(7),3)p≠eq \f(p,2)，故错误．选项C，|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(25,12)p>2p＝4|OF|，故正确．选项D，易得eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \f(3,4)p，eq \f(\r(6),2)p)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(eq \f(p,3)，－eq \f(\r(6),3)p)，eq \(MA,\s\up6(→))＝(－eq \f(p,4)，eq \f(\r(6),2)p)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(－eq \f(2,3)p，－eq \f(\r(6),3)p).因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2