新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点24椭圆小题突破（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点24椭圆小题突破（附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·安徽蚌埠模拟]若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的离心率为eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为( )
A．6B．eq \f(2\r(6),3)或2eq \r(6)C．2eq \r(6)D．2eq \r(2)或2eq \r(6)
2．[2022·全国甲卷]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1D．eq \f(x2,2)＋y2＝1
3.[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( )
A．eq \f(2\r(3),3)B．eq \r(2)C．eq \r(3)D．eq \r(6)
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13B．12C．9D．6
5．[2023·河北沧州模拟]某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为( )
A．eq \f(2\r(10),3)米B．eq \f(6\r(5),5)米C．eq \f(8,3)米D．eq \f(12,5)米
6.[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(\r(2),3)C．－eq \f(\r(2),3)D．－eq \f(2,3)
7．[2023·河北唐山模拟]椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2与E交于A，B两点，△ABF1为直角三角形，且|AF1|，|AB|，|BF1|成等差数列，则E的离心率为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(3,4)
8．[2023·山西临汾模拟]已知倾斜角为60°的直线l与椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点．若AC＝CD＝DB，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3)B．eq \f(\r(3),2)C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(1,2)
二、多项选择题
9．已知方程eq \f(x2,12－m)＋eq \f(y2,m－4)＝1表示椭圆，下列说法正确的是( )
A．m的取值范围为(4，12) B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12)
C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，eq \r(2))
10．[2023·黑龙江齐齐哈尔模拟]椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则( )
A．椭圆C的离心率为eq \f(1,2)B．eq \f(|PF1|,|PF2|)的最大值为3
C．∠F1PF2的最大值为eq \f(π,2)D．F1到直线PF2的距离最大值为2
11．[2023·湖南长沙模拟]已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则( )
A．直线AB的方程为y＝eq \f(1,2)(x－3) B．a2＝2b2
C．椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1D．椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)
12．[2023·云南昆明模拟]已知椭圆C：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝m与C交于A，B两点(A在y轴右侧)，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．|AF1|＋|BF1|＝2eq \r(5)
B．当m＝eq \f(4\r(5),5)时，四边形ABF1F2为矩形
C．若AF1⊥BF1，则m＝eq \f(4,3)
D．存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形
[答题区]
三、填空题
13．[2023·安徽亳州模拟]椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))作∠F1PF2的角平分线交椭圆C的长轴于点M，则点M的坐标为__________．
14．[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2eq \r(3)，则l的方程为________．
15．[2022·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为eq \f(1,2).过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
16．[2023·河北衡水模拟]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的动点．若|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(3)，且点P到直线x－y＋6＝0的最小距离为eq \r(2)，则C的离心率为________．
命题点24 椭圆(小题突破)
1．解析：当焦点在y轴时，由e＝eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(2－m),\r(2))，解得m＝eq \f(2,3)，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2eq \r(2)；
当焦点在x轴时，由e＝eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(m－2),\r(m))，解得m＝6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2eq \r(m)＝2eq \r(6).故选D.
答案：D
2．解析：由椭圆C的离心率为eq \f(1,3)，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(1,3).化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以BA1·BA2＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8a2＝9b2，,－a2＋b2＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝8.))所以C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.故选B.
答案：B
3．解析：方法一 由已知得e1＝eq \f(\r(a2－1),a)，e2＝eq \f(\r(4－1),2)＝eq \f(\r(3),2)，因为e2＝eq \r(3)e1，所以eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)×eq \f(\r(a2－1),a)，得a＝eq \f(2\r(3),3).故选A.
方法二 若a＝eq \f(2\r(3),3)，则e1＝eq \f(\r(a2－1),a)＝eq \f(\r(（\f(2\r(3),3)）2－1),\f(2\r(3),3))＝eq \f(1,2)，又e2＝eq \f(\r(3),2)，所以e2＝eq \r(3)e1，所以a＝eq \f(2\r(3),3)符合题意．故选A.
答案：A
4．解析：由题，a2＝9，b2＝4，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝2a＝6，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)),2)))2＝9(当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝3时，等号成立).故选C.
答案：C
5．解析：
根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如图所示，
根据椭圆的定义△PQF1的周长为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＋))QF1))＝4a＝3×2c，
即2a＝3c ①
由该椭球横截面的最大直径为2米，可知2b＝2米，得b＝1，
又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝c2＋1 ②
①②联立可得c＝eq \f(2\r(5),5)，a＝eq \f(3\r(5),5)，
所以该椭球的高为2a＝eq \f(6\r(5),5)米．故选B.
答案：B
6．解析：由题意，F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即eq \f(|－\r(2)＋m|,\r(2))＝2×eq \f(|\r(2)＋m|,\r(2))，解得m＝－eq \f(\r(2),3)或m＝－3eq \r(2)(舍去)，故选C.
答案：C
7．解析：
由△ABF1为直角三角形，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))成等差数列，可知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))不是最长的边，故为直角边，
结合椭圆的对称性，不妨设BF1⊥AB，
由椭圆的定义可知△ABF1的周长为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝4a，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(4,3)a，进而可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝4a－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(8,3)a，
由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))2＝(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1)))(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))2⇒eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝eq \f(2,3)a，
故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝eq \f(5,3)a，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝a，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝2a－eq \f(5,3)a＝eq \f(1,3)a，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝a，
在△F2BF1中，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))＝a，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2F1))＝2c，所以2a2＝4c2⇒e＝eq \f(\r(2),2).故选B.
答案：B
8．解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵C，D分别是线段AB的两个三等分点，∴C(－x2，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y2,2)))，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x2，－\f(y2,2)))，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－2x2,y1＝－\f(y2,2)))，∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(－\f(3y2,2),－3x2)＝eq \f(1,2)·eq \f(y2,x2)，
利用点差法，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)＝1,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,b2)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,a2)＝1))两式相减得
eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,b2)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,a2)＝0，整理得到：eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝eq \f(4a2,b2)，
即eq \f(4a2,b2)＝4k2，即eq \f(a2,b2)＝k2.因为直线AB的倾斜角为60°，所以k＝tan60°＝eq \r(3)，
得eq \f(a2,b2)＝3，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(6),3).故选A.
答案：A
9．解析：因为方程eq \f(x2,12－m)＋eq \f(y2,m－4)＝1表示椭圆，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12－m>0,m－4>0,12－m≠m－4))，解得40，解得8